Barysentriset koordinaatit

Barysentriset koordinaatit ovat skalaariparametreja, joiden joukko määrittelee yksiselitteisesti pisteen affiineavaruudessa (edellyttäen, että tähän avaruuteen valitaan jokin pistekanta ).

Pistekanta (joskus käytetään termiä "barysentristen koordinaattien kanta" [1] ) -ulotteisessa affiinissa avaruudessa on järjestelmä -: nneistä pisteistä , joiden oletetaan olevan affiinisesti riippumattomia (eli jotka eivät sijaitse -ulotteisessa aliavaruudessa harkittava tila). $n$ $A$ $(n+1)$ $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$ $(n-1)$

Määritelmä

Olkoon mielivaltainen kohta . Jokainen piste voidaan yksilöllisesti esittää barysentrisenä yhdistelmänä $P$ $A$ $M\in A$

M=P+\alpha _{0}\cdot \overrightarrow {PP}_{0}+\alpha _{1}\cdot \overrightarrow {PP}_{1}+\ldots +\alpha _{n}\cdot \overrightarrow {PP}_{n};

oikean puolen lineaarisen pisteiden yhdistelmän barysentrisyys tarkoittaa, että reaaliluvut (yhdistelmän kertoimet) täyttävät ehdon $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$

\alpha _{0}+\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}=1.

Numeroita ja kutsutaan pisteen barysentrisiksi koordinaateiksi . On helppo nähdä, että barysentriset koordinaatit eivät riipu valinnasta . $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ $M$ $P$

Yllä barysentrisen laskun symboliikassa kirjoitettu yhtäläisyys voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

M=\alpha _{0}P_{0}+\alpha _{1}P_{1}+\ldots +\alpha _{n}P_{n}.

Ominaisuudet

Barysentriset koordinaatit ovat affiineja invariantteja.
Simplexin pisteiden barysentriset koordinaatit, joiden kärjet ovat in, ovat ei-negatiivisia ja niiden summa on yksi. $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$
Barysentrisen koordinaatin katoaminen vastaa sitä tosiasiaa, että piste sijaitsee tasossa, joka sisältää pisteen vastakkaisen simpleksin pinnan . Tämän ominaisuuden avulla voimme tarkastella yksinkertaisen kompleksin pisteiden barysentrisiä koordinaatteja suhteessa sen kaikkiin pisteisiin. $\alpha_i$ $P_{i}$
Barysentrisissä koordinaateissa kahden kolmion sisällä olevan pisteen isotominen konjugaatio saadaan kaavalla . Tässä suhteessa barysentriset koordinaatit ovat usein käteviä käytettäessä isotomista konjugaatiota. $(x:y:z)\mapsto (x^{-1}:y^{-1}:z^{-1})$
Kolmion sisällä olevan pisteen osalta kolmion pinta-alat voidaan ottaa barysentrisinä koordinaatteina . $X$ $ABC$ ${\näyttötyyli (S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX})}$
Barysentriset koordinaatit liittyvät läheisesti trilineaarisiin koordinaatteihin . Nimittäin jos ovat pisteen barysentriset koordinaatit suhteessa kolmioon ja ovat sen sivujen pituudet, niin $(\alpha :\beta :\gamma )$ $X$ $ABC$ $a,b,c$ $(x:y:z)=\left({\frac {\alpha }{a)):{\frac {\beta }{b)):{\frac {\gamma }{c))\ oikein)$

sen trilineaariset koordinaatit . Trilineaariset koordinaatit, kuten barysentriset, määritetään suhteellisuusperiaatteen mukaisesti.

Piste on niiden painojen massakeskus, joiden massat sijaitsevat pisteissä . $M$ $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$

Historia

Möbius otti barysentriset koordinaatit käyttöön vuonna 1827 [2]

Muistiinpanot

↑ Aleksandrov P. S. , Pasynkov V. A. Johdatus ulottuvuusteoriaan. - M .: Nauka, 1973. - 576 s. - C. 197.
↑ Bogolyubov, 1983 , s. 95-96.

Kirjallisuus

Balk M. B., Boltyansky V. G. Massien geometria . - M .: Nauka, 1987. - 160 s. - ( Kirjasto "Quantum" . Numero 61).
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineaarinen algebra ja geometria. - M .: Nauka, 1986. - 304 s.
Bogolyubov A. N. Matematiikka. Mekaniikka. Elämäkertaopas. - Kiova: Naukova Dumka, 1983. - 639 s.

Katso myös

Koordinaattijärjestelmät
Koordinaattien nimi	Abskissa Ordinate Applikointi
Koordinaattijärjestelmien tyypit	Suoraviivainen koordinaattijärjestelmä Kaareva koordinaattijärjestelmä
2D koordinaatit	Kaksikulmaiset koordinaatit Kaksikeskiset koordinaatit Hyperboliset koordinaatit Polaarikoordinaatit Bipolaariset koordinaatit Paraboliset koordinaatit Elliptiset koordinaatit Tetrasykliset koordinaatit Trilineaariset koordinaatit
3D-koordinaatit	Sylinterimäiset koordinaatit Pallomaiset koordinaatit Bisfääriset koordinaatit Toroidaaliset koordinaatit Lieriömäiset paraboliset koordinaatit Kaksisylinteriset koordinaatit Ellipsoidiset koordinaatit Kartiokoordinaatit Pentasfääriset koordinaatit Dipolaarinen koordinaattijärjestelmä
$n$ -ulotteiset koordinaatit	Suorakulmaiset koordinaatit Affine koordinaatit Projektiiviset koordinaatit Plückerin koordinaatit barysentriset koordinaatit
Fyysiset koordinaatit	Rindlerin koordinaatit Syntymäkoordinaatit Taivaallinen koordinaattijärjestelmä Maantieteelliset koordinaatit Ortodrominen pääkoordinaattijärjestelmä
Aiheeseen liittyvät määritelmät	Koordinaattimenetelmä Alkuperä Koordinaattiakseli Vektori Orth viitejärjestelmä Vertailuarvo Huonot kertoimet Metrinen tensori