Affinista tilaa

Affine avaruus on matemaattinen objekti (avaruus), joka yleistää joitain euklidisen geometrian ominaisuuksia . Toisin kuin vektoriavaruus , affiiniavaruus ei toimi yhdellä, vaan kahdella objektilla: "vektorit" ja "pisteet".

Määritelmä

Kentän yläpuolella olevaan vektoriavaruuteen liittyvä affiiniavaruus on joukko , jossa on additiivisen ryhmän vapaa transitiivinen toiminta (jos kenttää ei ole erikseen määritelty, oletetaan, että tämä on reaalilukujen kenttä ). $V$ $\mathbb {K}$ $A$ $V$ $\mathbb {K}$

Kommentti

Tämä määritelmä tarkoittaa [1] , että operaatio avaruuselementtien (kutsutaan affiinisen avaruuden pisteiden ) lisäämiseksi avaruuden vektoreilla (jota kutsutaan affiinin avaruuden vapaiden vektorien avaruudeksi ) on määritelty, mikä täyttää seuraavat aksioomit: $A$ $V$ $A$

${\näyttötyyli (M+v)+w=M+(v+w)\in A}$ kaikille ja kaikille ; $M\in A$ $v,w\in V$
$M+0 = M$ kaikille ; $M\in A$
kahdelle pisteelle on ainutlaatuinen vektori (merkitty tai ) ominaisuudella . $M,N\in A$ $v\in V$ $\overrightarrow {MN}$ $\overrightarrow {NM}$ $N = M+v$

Siten toimintatapaa on merkitty . $v\in V$ $M\in A$ $M+v$

Affine aliavaruus

Affiinisen avaruuden affine aliavaruus on osajoukko , joka on jonkin lineaarisen aliavaruuden siirtymä eli jossain pisteessä . Joukko määritellään yksiselitteisesti, kun taas se määritellään vain vektorin siirtymiseen asti . Dimensio määritellään aliavaruuden dimensioksi . $A$ $A'\subset A$ $V'\subset V$ $A'=x+V'$ $x\in A$ $A'$ $V'$ $x$ $V'$ $A'$ $V'$

Jos ja , niin jos ja vain jos ja . $A_{1}=v_{1}+V'$ $A_{2}=v_{2}+V'$ $A_{1}=A_{2}$ $v_{1}-v_{2}\in V'$

Affiinisten aliavaruuksien leikkauspiste on joko affiininen aliavaruus tai tyhjä. Jos se ei ole tyhjä, sen ulottuvuus tyydyttää suhteen

\dim(A_{1}\cap A_{2})\geq \dim A_{1}+\dim A_{2}-\dim A

Affinista aliavaruutta, jota koodiulottuvuuden 1 aliavaruus vastaa , kutsutaan hypertasoksi .

Lineaarisen avaruuden (joissa on standardi affiine rakenne, itseensä kohdistuva lisäys) affineja avaruutta tarkastellaan usein. Niitä kutsutaan joskus lineaarisiksi jakoputkiksi [2] [3] .

Tällainen affiininen aliavaruus on lineaarinen aliavaruus silloin ja vain, jos se sisältää 0:n.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

On mahdollista tarkastella [4] mielivaltaisia lineaarisia pisteiden yhdistelmiä affiinissa avaruudessa. Tulos on kuitenkin järkevä seuraavissa kahdessa tapauksessa:

yhdistelmä on barysentrinen yhdistelmä (eli sen kertoimien summa on 1), ja sitten se on piste alkaen ; $A$
yhdistelmä on tasapainotettu yhdistelmä (eli sen kertoimien summa on 0), ja sitten se on vektori alkaen . $V$

Analogisesti vektorien lineaarisen riippumattomuuden käsitteen kanssa otetaan käyttöön affinisessa avaruudessa olevien pisteiden affinisen riippumattomuuden käsite. Nimittäin: pisteitä kutsutaan [5] affinisesti riippuviksi , jos jokin niistä voidaan esimerkiksi esittää barysentrisenä yhdistelmänä muita pisteitä. Muuten näiden pisteiden sanotaan olevan affinally riippumattomia . $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$ $P_0$

Pisteiden affiinin riippumattomuuden ehto voidaan antaa toisessa muodossa: väite, että affiinin avaruuden pisteet ovat affiinisesti riippumattomia, on totta, jos ja vain, jos ei ole olemassa ei-triviaalista tasapainotettua näiden pisteiden yhdistelmää, joka olisi yhtä suuri kuin nollavektori [6] .

Affiinisen avaruuden dimensio on [7] vapaan vektorin vastaavan avaruuden dimensiolla. Tässä tapauksessa affiinin avaruuden suurimman affiinisti riippumattoman pistejoukon pisteiden lukumäärä osoittautuu yhden suuremmiksi kuin tilan ulottuvuus.

Mitä tahansa maksimaalista affiinisesti riippumatonta pistejoukkoa affiinissa avaruudessa voidaan käsitellä pisteperustana ( numeroimalla nämä pisteet uudelleen tavalla tai toisella).

Mikä tahansa piste avaruudessa voidaan esittää barysentrisenä yhdistelmänä pisteitä, jotka sisältyvät pistepohjaan; tämän yhdistelmän kertoimia kutsutaan [8] tarkasteltavan pisteen barysentrisiksi koordinaateiksi .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Jakorenkaan päällä oleva affiinitila määritellään samalla tavalla .

Muistiinpanot

↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. 193.
↑ Ulyanov A.P. Tason ja tilan algebra ja geometria fysiikan opiskelijoille Arkistokopio 22.9.2018 Wayback Machine Lecturesissa NSU:n fysiikan tiedekunnan 1. vuoden opiskelijoille.
↑ Dieudonné J. Lineaarinen algebra ja alkugeometria. Ranskasta kääntänyt G. V. Dorofejev. - M.: Nauka, 1972. - 335 s.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. 198.
↑ Boltyansky, 1973 , s. 138.
↑ Aleksandrov P. S. , Pasynkov V. A. Johdatus ulottuvuusteoriaan. - M .: Nauka, 1973. - 576 s. - C. 193.
↑ Boltyansky, 1973 , s. 135.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. 199.

Kirjallisuus

Beklemishev DV Analyyttinen geometria ja lineaarinen algebra. - M . : Korkeakoulu, 1998. - 320 s.
Boltyansky VG Optimaalinen erillisten järjestelmien ohjaus. - M .: Nauka, 1973. - 446 s.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineaarinen algebra ja geometria. - M .: Nauka, 1986. - 304 s.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - M .: Fizmatlit, 2009. - 511 s.

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu

Tilan mitat
Tilat mittojen mukaan	Nollaulotteinen yksiulotteinen 2D 3D neliulotteinen viisiulotteinen Kuusiulotteinen Seitsemänulotteinen oktaali Yhdeksänulotteinen n-ulotteinen Negatiivinen ulottuvuus
Polytoopit ja hahmot	Yksinkertainen hyperkuutio tesserakti Hypersuorakulmio (ortotooppi) Puolihyperkuutio Cross-polytooppi hypersfääri
Tilojen tyypit	äärellisulotteinen avaruus Euklidinen avaruus affinista tilaa projektiivinen tila Ilmainen moduuli Jakotukki Algebrallisen muuttujan ulottuvuus aika-avaruus
Muut ulottuvuuskäsitteet	Krullin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus Induktiivinen ulottuvuus Murtoluku ( Minkowskin ulottuvuus , Hausdorffin ulottuvuus ) fraktaali ulottuvuus Vapauden asteet
Matematiikka