Jaettavuus

Jaotuvuus on yksi aritmeettisen ja lukuteorian peruskäsitteistä, joka liittyy jakooperaatioon . Joukkoteorian näkökulmasta kokonaislukujen jaollisuus on kokonaislukujoukolle määritelty relaatio .

Määritelmä

Jos jollekin kokonaisluvulle ja kokonaisluvulle on olemassa sellainen kokonaisluku , niin he sanovat, että luku on jaollinen tai joka jakaa $a$ $b$ $q$ $bq=a,$ $a$ $b$ $b$ $a.$

Tässä tapauksessa lukua kutsutaan luvun jakajaksi , osinko on luvun kerrannainen ja lukua kutsutaan luvulla jakamisen osamääräksi . $b$ $a$ $a$ $b$ $q$ $a$ $b$

Vaikka jaollisuuden ominaisuus määritellään koko kokonaislukujoukolle , huomioidaan yleensä vain luonnollisten lukujen jaollisuus . Erityisesti luonnollisen luvun jakajien lukumäärän funktio laskee vain sen positiiviset jakajat.

Merkintä

$a\,\vdots \,b$ tarkoittaa [1] , joka on jaollinen : lla tai että luku on : n kerrannainen . $a$ $b$ $a$ $b$

$b/mid a$ tarkoittaa, että jakaa , tai mikä on sama: - jakaja . $b$ $a$ $b$ $a$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Jokaisella luonnollisella luvulla, joka on suurempi kuin 1 , on vähintään kaksi luonnollista jakajaa: 1 ja itse luku. Tässä tapauksessa luonnollisia lukuja, joissa on täsmälleen kaksi jakajaa, kutsutaan alkuluvuksi , ja niitä, joissa on enemmän kuin kaksi jakajaa, kutsutaan yhdistelmäluvuksi . Yksikössä on täsmälleen yksi jakaja, eikä se ole alkuluku eikä yhdistelmä.
Jokaisella luonnollisella luvulla, joka on suurempi kuin , on vähintään yksi alkujakaja . $yksi$
Luvun oikea jakaja on mikä tahansa muu jakaja kuin itse luku. Alkuluvuilla on täsmälleen yksi oikea jakaja, yksi.
Myös triviaalisten jakajien käsitettä käytetään : tämä on itse numero ja yksikkö. Alkuluku voidaan siis määritellä luvuksi, jolla ei ole muita jakajia kuin triviaaleja.
Huolimatta kokonaisluvun jaetavuudesta kokonaisluvulla , luku voidaan aina jakaa jäännöksellä , eli se esitetään seuraavasti: $a$ $b\neq 0$ $a$ $b$ $a=b\,q+r,$ missä . $0\leqslant r<|b|$

Tässä suhteessa lukua kutsutaan epätäydelliseksi osamääräksi ja luku on jaon jäännös . Sekä osamäärä että jäännös on yksilöllisesti määritelty.

q

r

a

b

Luku on tasaisesti jaollinen jos ja vain, jos jaon jäännös on nolla.

a

b

a

b

Mikä tahansa luku, joka jakaa molemmat ja jota kutsutaan niiden yhteiseksi jakajaksi ; suurinta näistä luvuista kutsutaan suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi . Jokaisella kokonaislukuparilla on vähintään kaksi yhteistä jakajaa: ja . Jos muita yhteisiä jakajia ei ole, näitä lukuja kutsutaan suhteellisen alkuluvuiksi . $a$ $b$ $+1$ $-yksi$
Kaksi kokonaislukua ja sanotaan olevan yhtä jaollinen kokonaisluvulla , jos joko ja , Ja on jaollinen , tai ei kumpikaan , eikä se ole jaollinen. $a$ $b$ $m$ $a$ $b$ $m$ $a$ $b$
Luvun sanotaan olevan luvun kerrannainen , jos se on jaollinen ilman jäännöstä. Jos luku on jaollinen ilman jäännöstä luvuilla ja , niin sitä kutsutaan niiden yhteiseksi kerrannaiseksi . Pienin tällainen luonnollinen luku kutsutaan pienin yhteinen kerrannainen numerot ja . $a$ $b$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b$

Ominaisuudet

Huomautus: Kaikki tämän osan kaavat olettavat, että ne ovat kokonaislukuja.

a,\,b,\,c

Mikä tahansa kokonaisluku on nolla jakaja ja osamäärä on nolla:

\quad0\,\vdots\,a.

Mikä tahansa kokonaisluku on jaollinen yhdellä:

\quad a\,\vdots\,1.

Vain nolla on jaollinen nollalla:

a\,\vdots \,0\quad \Rightarrow \quad a=0

ja osamäärää ei tässä tapauksessa määritellä.

Yksi on vain jaollinen yhdellä:

1\,\vdots \,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1.

Jokaiselle kokonaisluvulle on olemassa kokonaisluku , jolle $a\neq 0$ $b\neq a,$ $b\,\vdots\,a.$

Jos ja sitten Siitä seuraa myös, että jos ja sitten $a\,\vdots \,b$ $\left|b\right|>\left|a\right|,$ $a\,=\,0.$ $a\,\vdots \,b$ $a\neq 0$ $\left|a\right|\geqslant \left|b\right|.$

Jotta se olisi tarpeellista ja riittävää $a\,\vdots \,b$ $\left|a\right|\vdots \left|b\right|.$

Jos sitten $a_{1}\,\vdots \,b,\,a_{2}\,\vdots \,b,\,\dots ,\,a_{n}\,\vdots \,b,$ $\left(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right)\,\vdots \,b.$

Luonnollisten lukujen jakosuhde on ei-tiukan järjestyksen relaatio, ja se on erityisesti:
- refleksiivisesti eli mikä tahansa kokonaisluku on jaollinen itsestään: $\quad a\,\vdots \,a.$
- transitiivinen , eli jos ja sitten $a\,\vdots \,b$ $b\,\vdots\,c,$ $a\,\vdots\,c.$
- antisymmetrinen , eli jos ja sitten $a\,\vdots \,b$ $b\,\vdots\,a,$ $a\,=\,b.$

Kokonaislukujärjestelmässä näistä kolmesta ominaisuudesta vain kaksi ensimmäistä ovat voimassa; esimerkiksi ja mutta . Toisin sanoen kokonaislukujen jakosuhde on vain ennakkotilaus .

2\,\vdots-2

-2\,\vdots \,2,

2\neq -2

Jakajien lukumäärä

Luonnollisen luvun positiivisten jakajien lukumäärä , jota yleensä merkitään, on kertova funktio , jolle asymptoottinen Dirichlet-kaava pätee : $n,$ $\tau(n),$

\sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\vasen(N^{\theta }\oikea).

Tässä on Euler-Mascheroni-vakio , ja Dirichletille tätä tulosta on parannettu monta kertaa, ja se on tällä hetkellä tunnetuin tulos (Huxley sai vuonna 2003). Kuitenkin pienin arvo , jolla tämä kaava pysyy totta, on tuntematon (on todistettu, että se ei ole pienempi kuin ). [2] [3] [4] $\gamma$ $\theta$ ${\frac {1}{2}}.$ $\theta ={\frac {131}{416}}$ $\theta$ ${\frac {1}{4))$

Tässä tapauksessa suuren luvun n keskimääräinen jakaja kasvaa keskimäärin , jonka A. Karatsuba löysi [5] . M. Korolevin tietokonearvioiden mukaan . ${\frac {c_{1}n}{{\sqrt {\ln n))))$ $c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}} \ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\noin 0{,}7138067$

Yleistykset

Jaotuvuuden käsite yleistyy mielivaltaisiin renkaisiin , kuten Gaussin kokonaislukuihin tai polynomirenkaaseen .

Katso myös

Linkit

Video jakautumisesta

Muistiinpanot

↑ Vorobjov, 1988 , s. 7.
↑ A. A. Bukhshtab. Numeroteoria . - M . : Koulutus, 1966.
↑ I. M. Vinogradov. Analyyttinen lukuteoria // Matemaattinen tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja . - 1977-1985. (Venäjän kieli)
↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ V. ja Arnold. Galois'n kenttien dynamiikka, tilastot ja projektiiivinen geometria. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 s.

Kirjallisuus

Vinogradov I.M. Numeroteorian perusteet. M.-L.: Valtio. toim. tekninen ja teoreettinen kirjallisuus, 1952, 180 s.
Vorobjov N. N. Jakautuvuuden merkit . - 4. painos - M .: Nauka, 1988. - T. 38. - 96 s. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ). — ISBN 5-02-013731-6 .
Jaetuvuus // Nuoren matemaatikon tietosanakirja / Comp. A.P. Savin. - M .: Pedagogiikka , 1985. - S. 95 . — 352 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Britannica (verkossa)

Numerot jakautuvuusominaisuuksien mukaan
Yleistä tietoa	Kokonaislukujen faktorointi Jaettavuus yhtenäinen jakaja Jakajatoiminto alkuluku Aritmetiikan peruslause Aritmeettinen luku
Faktorisointilomakkeet	alkuluku Yhdistelmänumero Semiprime suorakaiteen muotoinen numero Sphenic numero Neliötön luku Täysi moninkertainen Täydellinen tutkinto Akilleuksen numero sileä numero Tavallinen numero karkea luku epätavallinen määrä
Rajoitettujen jakajien kanssa	täydellinen numero Hieman riittämättömät määrät Hieman tarpeettomia numeroita Monitoiminen luku Hemitäydelliset luvut hypertäydellinen luku super täydellinen numero yhtenäinen alkuluku puolitäydellinen luku pararytminen numero Erdős-Nicolas numero
Lukuja, joissa on monia jakajia	Ylimääräiset numerot Primitiiviset ylimääräiset numerot Erittäin tarpeettomia numeroita Super Redundant Numbers Todella tarpeettomia lukuja superkomposiittiluku Erittäin superkomposiittiluku outo numero
Liittyy alikvoottisekvensseihin _	pyhä numero ystävällisiä numeroita julkisia numeroita Melko ystävällisiä numeroita
muu	Ei tarpeeksi numeroita kaverin numerot sublimoituja numeroita Malmi numerot nöyrä numero Samat numerot ekstravagantti numero