Luonnollisten lukujen vuorotteleva sarja

Luonnollisten lukujen merkki-vuorotteleva sarja on merkki- vuorotteleva sarja , jonka termit modulo ovat peräkkäisiä luonnollisia lukuja ja joilla on vuorotteleva merkki: 1 - 2 + 3 - 4 + .... Tämän sarjan osasummaa m numerolla kuvataan lausekkeella:

\sum _{{n=1}}^{m}n(-1)^{{n-1}}

Sellainen lukusarja hajoaa eli sarjan osasummat eivät pyri mihinkään äärelliseen rajaan . Kuitenkin 1700-luvun puolivälissä Leonhard Euler ehdotti ilmaisua, jota hän kuvaili " paradoksaaliksi ":

1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.

Matemaattinen laite tämän lausekkeen tulkitsemiseksi kehitettiin paljon myöhemmin. Vuodesta 1890 lähtien Cesaro , Borel ja muut matemaatikot muotoilivat tiukasti menetelmiä erilaisten sarjojen yleistettyjen summien saamiseksi ja täydensivät Eulerin ideoita uusilla tulkinnoilla. Monet näistä menetelmistä sarjan summalle antavat tuloksen, joka on yhtä suuri kuin 1⁄4 . Cesaron summaus on yksi harvoista menetelmistä, jolla ei voida määrittää summaa 1 − 2 + 3 − 4 + .. . Näin ollen loppusumman saamiseksi yleistetyllä summausmenetelmällä tälle sarjalle tarvitaan erilaista lähestymistapaa, esimerkiksi Abel-summausmenetelmää käyttäen .

Vaihteleva luonnollinen sarja liittyy läheisesti Grandi-sarjaan ( 1 − 1 + 1 − 1 + … ). Euler käsitteli näitä sarjoja kahtena erikoistapauksena sarjasta 1 − 2 n + 3 n − 4 n + … , joita hän tutki mielivaltaiselle n : lle työskennellessään Baselin ongelman parissa ja sai funktionaaliset yhtälöt funktioille , jotka tunnetaan nykyään nimellä Dirichlet eta . funktio ja zeta-Riemannin funktio .

Ero

Jakson termit (1, −2, 3, −4, ...) eivät yleensä ole nolla , joten sarja hajoaa välttämättömän konvergenssiehdon mukaan [1] :8 :

1 = 1 1 - 2 = -1 , 1 - 2 + 3 = 2 , 1 - 2 + 3 - 4 = -2 , 1–2 + 3–4 + 5 = 3 , 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = -3 , …

\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n-1}n\;\;={\frac {(-1)^{m-1}(2m+1) +1}{4}}

Tämä sekvenssi on merkittävä siinä mielessä, että siinä on jokainen kokonaisluku - jopa nolla, kun otetaan huomioon tyhjä osasumma - ja siten tämän sekvenssin jäsenten arvojoukko on laskettavissa [2] :23 . Tämä osittaissummien sarja osoittaa, että sarja ei konvergoi mihinkään tiettyyn numeroon (jolle tahansa x :lle löytyy termi, jonka jälkeen kaikki seuraavat osasummat ovat välin ulkopuolella ), ja siksi vuorotteleva luonnollinen sarja hajoaa. $[x-1,x+1]$

Heuristiikka summausta varten

Vakaus ja lineaarisuus

Koska termit 1, -2, 3, -4, 5, -6, ... noudattavat yksinkertaista kaavaa, vuorottelevat luonnolliset sarjat voidaan muuntaa siirrolla ja termittäin yhteenlaskemalla, jotta sille voidaan antaa jokin numeerinen arvo. Jos lauseke s = 1 − 2 + 3 − 4 + … jollekin tavalliselle luvulle s on järkevä, niin seuraava muodollinen muunnos antaa meille mahdollisuuden väittää, että sen arvo on jossain mielessä yhtä suuri kuin s = 1 ⁄ 4 : [1] : 6 .

{\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3 -4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3 -4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[ &(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6 )+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}

Siksi . Oikealla tämä päätelmä on havainnollistettu graafisesti. $s={\frac {1}{4))$

Vaikka vuorotteleva luonnollinen sarja poikkeaa eikä sillä ole summaa tavallisessa merkityksessä, lauseke s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 ⁄ 4 antaa luonnollisen vastauksen, jos tällainen summa voidaan määrittää. Divergentin sarjan "summan" yleistettyä määritelmää kutsutaan summausmenetelmäksi , jonka avulla voit löytää summia kaikkien sekvenssien jollekin osajoukolle. On olemassa monia yleistettyjä sarjasummausmenetelmiä (joista osa on kuvattu alla ), joilla on joitain tavanomaisen sarjan summauksen ominaisuuksia. Yllä todistettiin seuraavaa: jos käytät jotakin yleistettyä summausmenetelmää, joka on lineaarinen ja vakaa , jonka avulla saat sarjan 1 − 2 + 3 − 4 + … summan, niin tämä summa on 1 ⁄ 4 . Lisäksi koska:

{\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+&(-2+ 3-4+\cdots )&{}+1-2&+(3-4+5\cdots )\\&=&0+&(-2+3)+(3-4)+(-4+5) +\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \end{array}}

tämä menetelmä antaa myös Grandi - sarjan summan , joka on 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 ⁄ 2 .

Cauchyn tuote

Vuonna 1891 Ernesto Cesaro toivoi, että erilaisten sarjojen analyysi johtaisi itselaskentaan , huomauttaen: "Kirjoita jo

{(1-1+1-1+\pisteet )}^{2}=1-2+3-4+\ldots

ja väittää, että molemmat osapuolet ovat tasa-arvoisia ." [3] :130 . Cesarolle tämä lauseke oli sovellus hänen vuotta aiemmin julkaisemaansa lauseeseen, jota voidaan pitää ensimmäisenä lauseena summattavien divergenttien sarjojen historiassa. Tämän summausmenetelmän yksityiskohdat on esitetty alla ; pääideana on se, mikä Cauchyn tuote on päällä . $1/4$ ${\näyttötyyli 1-2+3-4+\ldots }$ $1-1+1-1+\ldots$ $1-1+1-1+\ldots$

Cauchyn tulo kahdelle äärettömälle sekvenssille määritellään, vaikka ne molemmat eroavat. Siinä tapauksessa kun

\sum {a_{n}}=\sum {b_{n}}=\sum {{(-1)}^{n}},

Cauchyn tulon termit saadaan äärellisestä diagonaalisummasta:

{\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{{k=0}}^{n}a_{k}b_{{nk}}=\sum _{{k= 0}}^{n}(-1)^{k}(-1)^{{nk}}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{{k=0}}^{n}( -1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{array}}

Ja sitten tuloksena oleva sekvenssi: $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\ldots .$

Siksi summausmenetelmä, joka säilyttää Cauchyn tuotteen ja antaa summan

1-1+1-1+\ldots ={\frac {1}{2)),

antaa myös summan

1-2+3-4+\ldots ={\frac {1}{4)).

Edellisessä osiossa saatuja tuloksia käyttäen tämä tarkoittaa summattavuuden vastaavuutta käytettäessä summausmenetelmiä , jotka ovat lineaarisia, stabiileja ja säilyttävät Cauchyn tuotteen. $1-1+1-1+\ldots$ ${\näyttötyyli 1-2+3-4+\ldots }$

Cesaron lause on vain esimerkki. Rivi

1-1+1-1+\ldots

on Cesaro summattava heikossa merkityksessä, ja sitä kutsutaan -summattavaksi , while $(C,\;1)$

{\näyttötyyli 1-2+3-4+\ldots }

vaatii vahvemman muodon Cesaron lauseesta [1] :3 [4] :52-55 ja sitä kutsutaan -summattavaksi. Koska kaikki Cesaron summausmenetelmän muodot ovat lineaarisia ja vakaita, summien arvot ovat edellä lasketut. ${\näyttötyyli (C,2)}$

Yksityiset menetelmät

Cesaron ja Hölderin menetelmä

Cesaron summan (C, 1) löytämiseksi arvolle 1 − 2 + 3 − 4 + …, jos se on olemassa, on laskettava sarjan osasummien aritmeettinen keskiarvo . Osasummat ovat:

1, -1, 2, -2, 3, -3, ...,

ja niiden aritmeettinen keskiarvo on:

1, 0, 2 ⁄ 3 , 0, 3 ⁄ 5 , 0, 4 ⁄ 7 , ….

Sarja ei suppene, joten 1 − 2 + 3 − 4 + … ei ole Cesaron summattava.

Cesaron summauksesta on kaksi tunnettua yleistystä: käsitteellisesti yksinkertaisempi on luonnollisten lukujen n menetelmien sarja (H, n ) , jossa summa (H, 1) on Cesaron summaus ja korkeammat menetelmät saadaan. käyttämällä toistuvasti Cesaron summausmenetelmää. Yllä olevassa esimerkissä parilliset keskiarvot konvergoivat arvoon 1⁄2 , kun taas parittomat ovat nollia, joten aritmeettisten keskiarvojen aritmeettinen keskiarvo konvergoi nollan ja 1⁄2:n väliseen keskiarvoon , joka on 1⁄4 [ 1 ] : 9 [ 4] :17 -18 Joten 1 − 2 + 3 − 4 + … on (H, 2) , jolloin summa on 1⁄4 .

"H" on lyhenne Otto Hölderin nimestä , joka vuonna 1882 todisti ensimmäisenä sen, mitä matemaatikot pitävät nykyään Abel-menetelmän summauksen ja summauksen (H, n ) välisenä yhteydena; sarjaa 1 − 2 + 3 − 4 + ... hän käytti ensimmäisenä esimerkkinä. [3] :118 [5] :10 Se tosiasia, että 1 ⁄ 4 on sekvenssin 1 − 2 + 3 − 4 + … summa (H, 2), varmistaa, että se on myös Abelin summa; tämä osoitetaan suoraan alla.

Toinen usein todettu Cesaron summauksen yleistys on menetelmien järjestys (C, n ). On todistettu, että summaamalla (C, n ) ja (H, n ) saadaan samat tulokset, mutta niillä on eri historia. Vuonna 1887 Cesaro oli lähellä summauksen (C, n ) määrittelyä, mutta rajoittui antamaan muutamia esimerkkejä. Erityisesti hän sai summan 1 ⁄ 4 arvolle 1 − 2 + 3 − 4 + … menetelmällä, joka voitiin muotoilla uudelleen muotoon (C, n ), mutta jota ei pidetty sellaisena tuolloin. Hän määritteli virallisesti (C, n)-menetelmät vuonna 1890 muotoillakseen lauseensa, jonka mukaan (C, n )-summattavan ja (C, m )-summattavan sarjan tulo ovat (C, m + n + 1)- summattava. [3] :123-128

Abelin summaus

Vuoden 1749 raportissa Euler myönsi, että sarja eroaa, mutta aikoi löytää sen summan joka tapauksessa:

…kun sanottiin, että sarjan 1−2+3−4+5−6 jne. summa on 1 ⁄ 4 , sen on täytynyt vaikuttaa paradoksaalilta. Lisäämällä tämän sarjan 100 termiä saadaan -50, mutta 101 termin summa antaa +51, joka on hyvin erilainen kuin 1⁄4 ja eroaa vielä enemmän termien määrän kasvaessa. Mutta olen jo aiemmin huomannut, että sanalle summa on annettava laajempi merkitys .... [6] :2

Euler ehdotti useaan otteeseen "sarjan summan" käsitteen yleistämistä. Kun kyseessä on 1 − 2 + 3 − 4 + …, hänen ajatuksensa ovat samankaltaisia kuin nyt kutsutaan Abelin summausmenetelmäksi:

... ei ole enää epäilystäkään siitä, että sarjan 1−2+3−4+5 + jne. summa on 1 ⁄ 4 ; koska tämä seuraa kaavan 1⁄ ( 1 +1) 2 esittämisestä , jonka arvo on epäilemättä 1⁄4 . Ajatus selkenee, kun tarkastellaan yleistettyä sarjaa 1 − 2 x + 3 x ² − 4 x ³ + 5 x 4 − 6 x 5 + jne. joka johtuu lausekkeen 1 ⁄ (1+ x ) 2 laajennuksesta , jolle tämä sarja on ekvivalentti, kun annamme x = 1. [6] :3, 25

On monia tapoja nähdä, mitä ainakin absoluuttisille arvoille | x | <1, Euler on oikeassa

1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.

Voit avata oikean puolen Taylorin mukaan tai soveltaa muodollista prosessia polynomien jakamiseksi sarakkeella [7] :23 . Vasemmalta alkaen voidaan käyttää yllä olevaa yleisheuristiikkaa ja kertoa (1+ x ) itsellään [8] tai neliöida sarja 1 − x + x 2 − …. Euler ilmeisesti ehdotti myös tämän sarjan termikohtaista erottelua [6] :3, 26 .

Nykyajan näkökulmasta jono 1 − 2 x + 3 x ² − 4 x ³ + … ei määrittele funktiota pisteessä x = 1, joten tätä arvoa ei voi yksinkertaisesti korvata tuloksena olevaan lausekkeeseen. Koska funktio on määritelty kaikille | x | < 1, raja voidaan laskea siten, että x pyrkii yhteen, ja tämä on Abelin summan määritelmä:

\lim _{{x\rightarrow 1-0}}\sum _{{n=1}}^{\infty }n(-x)^{{n-1}}=\lim _{{x\rightarrow 1-0}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac 14}.

Euler ja Borel

Euler lähestyi sekvenssejä eri tavalla: Euler-muunnos , yksi hänen keksinnöistään. Eulerin muunnoksen laskemiseksi aloitetaan positiivisten termien sarja - tässä tapauksessa 1, 2, 3, 4, .... Tämän sekvenssin ensimmäinen jäsen on merkitty 0 : lla .

Seuraavaksi sinun on hankittava äärellisten erojen sarja 1, 2, 3, 4, ... ; se on vain 1, 1, 1, 1,…. Tämän uuden sekvenssin ensimmäinen elementti on merkitty Δ a 0 . Eulerin muunnos riippuu myös erojen ja korkeampien iteraatioiden erosta, mutta kaikki erot 1, 1, 1, 1, ... välillä ovat 0. Tällöin Euler-muunnos arvolle 1 − 2 + 3 − 4 + . .. määritellään seuraavasti:

{\frac 12}a_{0}-{\frac 14}\Delta a_{0}+{\frac 18}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac 12}-{\frac neljätoista}.

Nykyaikaisessa terminologiassa 1 − 2 + 3 − 4 + … kutsutaan Euler-summaksi, jonka summa on 1 ⁄ 4 .

Eulerin summattavuus merkitsee myös toisenlaista summattavuutta. Edustaa 1 − 2 + 3 − 4 + … as

\sum _{{k=0}}^{\infty }a_{k}=\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),

saadaan jokaisessa pisteessä suppeneva sarja:

a(x)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!)}}= e ^{{-x}}(1-x).

Näin ollen sarjan 1 − 2 + 3 − 4 + … Borel-summa on [4] :59 :

\int _{0}^{\infty }e^{{-x}}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{{-2x}}(1-x )\,dx={\frac 12}-{\frac 14}.

Vaakojen erottelu

Saichev ja Voichynsky päätyivät arvoon 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 ⁄ 4 soveltamalla kahta fysikaalista periaatetta: infinitesimaalien hylkäämistä ja asteikkojen jakoa . Tarkemmin sanottuna nämä periaatteet auttoivat heitä muotoilemaan laajan perheen " φ -summausmenetelmiä", jotka kaikki yhteensä ovat 1⁄4 :

Jos φ ( x ) on funktio, jonka ensimmäinen ja toinen derivaatta ovat jatkuvasti integroitavissa arvoon (0, ∞), niin että φ(0) = 1 ja rajat φ( x ) ja x φ( x ), koska ne pyrkivät +∞ ovat molemmat nollia, sitten [9] :260-264 :

\lim _{{\delta \rightarrow 0}}\sum _{{m=0}}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\ frac 14}.

Tämä tulos on yleistys Abelin summasta, joka saadaan korvaamalla φ ( x ) = exp(− x ). Yleinen väite voidaan todistaa ryhmittelemällä m -sarjan termipareilla ja muuttamalla lauseke Riemannin integraaliksi . Viimeisessä vaiheessa vastaava todistus 1 − 1 + 1 − 1 + … soveltaa Lagrangen keskiarvolausetta , mutta vaatii vahvemman Taylorin lauseen Lagrangen muodon .

Sarjan yleistykset

Kolmois Cauchyn tulo sarjalle 1 − 1 + 1 − 1 + … antaa sarjan 1 − 3 + 6 − 10 + …, on kolmiolukujen vaihtuva sarja , jonka Abelin ja Euler summat ovat 1 ⁄ 8 . [10] :313 Sarjan 1 − 1 + 1 − 1 + … Cauchyn nelinkertainen tulo antaa sarjan 1 − 4 + 10 − 20 + …, vuorottelevan sarjan tetraedrisia lukuja , joiden Abelin summa on 1 ⁄ 16 .

Toinen yleistys sarjasta 1 − 2 + 3 − 4 + … on mahdollista hieman eri suuntaan: se on sarjan 1 − 2 perhe n + 3 n − 4 n + … muille n: n arvoille . Positiiviselle n : lle tällaisella sarjalla on seuraava Abelin summa:

1-2^{{n}}+3^{{n}}-\cdots ={\frac {2^{{n+1}}-1}{n+1}}B_{{n+1} }

missä B n ovat Bernoullin lukuja . Jopa n :lle tämä pienenee arvoon

1-2^{{2k}}+3^{{2k}}-\cdots =0.

Jälkimmäisestä summasta tuli Niels Abelin pilkan kohteeksi vuonna 1826:

”Eririvit ovat täysin paholaisen työtä, ja häpeä jokainen, joka yrittää löytää niistä todisteita. Voit saada heistä mitä haluat, ja juuri he ovat luoneet niin paljon surua ja paradokseja. Voiko mikään olla kauheampaa kuin sen sanominen

0 = 1 − 2n + 3n − 4n + jne.

missä n on positiivinen luku. Täällä on jotain naurettavaa, ystävät. [11] :80

Cesaron opettaja Eugène Catalan suhtautui myös halveksivasti erilaisiin sarjoihin. Katalonian vaikutuksen alaisena Cesaro luonnehtii sarjan 1 − 2 n + 3 n − 4 n + ... "ehdollisia kaavoja" "absurdeiksi ilmauksiksi", ja vuonna 1883 Cesaro ilmaisi yleisesti hyväksytyn näkemyksen, että nämä kaavat ovat virheellinen, mutta voi olla jollain tapaa muodollisesti hyödyllinen. Lopulta Cesaro saavutti vuoden 1890 työssään Sur la multiplication des séries modernin lähestymistavan, joka aloitti määritelmistä [3] :120-128 .

Sarjoista tutkittiin myös n: n ei-kokonaislukuarvot ; ne antavat Dirichlet eta -funktion . Osa Eulerin motivaatiota tutkia sarjaan 1 − 2 + 3 − 4 + … liittyviä sarjoja oli eta-funktion funktionaalinen yhtälö, joka johtaa suoraan Riemannin zeta-funktion funktionaaliseen yhtälöön. Euler oli jo kuuluisa siitä, että hän löysi näiden funktioiden arvot positiivisille parillisille kokonaisluvuille (mukaan lukien Baselin ongelman ratkaiseminen ), ja yritti löytää arvoja myös positiivisille parittomille kokonaisluvuille (mukaan lukien Apéryn vakio ) – ongelmaa, jota ei ole ratkaistu . ratkaistu tähän päivään asti. Tällä funktiolla on hieman helpompi työskennellä Euler-menetelmien kanssa, koska sen Dirichlet-sarjat ovat Abel-summatettavia kaikkialla; Zeta-funktion Dirichlet-sarjoja on paljon vaikeampi tiivistää, missä ne eroavat [6] :20-25 . Esimerkiksi 1 − 2 + 3 − 4 + … zeta-funktiossa vastaa kiinteämerkkisarjaa 1 + 2 + 3 + 4 + … , jota käytetään nykyfysiikassa , mutta vaatii paljon vahvempia summausmenetelmiä.

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 Hardy, GH Divergent -sarja . - Oxford University Press , 1949 .:
↑ Beals, Richard. Analyysi: johdanto (neopr.) . - Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0-521-60047-2 .
↑ 1 2 3 4 Ferraro, Giovanni. Ensimmäinen moderni määritelmä eroavan sarjan summasta: 1900-luvun matematiikan nousun näkökohta (englanniksi) // Tarkkojen tieteiden historian arkisto : aikakauslehti. - 1999. - Kesäkuu ( osa 54 , nro 2 ) . - s. 101-135 . - doi : 10.1007/s004070050036 .
↑ 1 2 3 Weidlich, John E. Summoitavuusmenetelmät divergenttisille sarjoille (indefinite) . - Stanfordin MS-tutkielmat, 1950.
↑ Tucciarone, John. Summoitavien eriävien sarjojen teorian kehitys vuosina 1880-1925 (englanniksi) // Archive for History of Exact Sciences : aikakauslehti. - 1973. - tammikuu ( osa 10 , nro 1-2 ). - s. 1-40 . - doi : 10.1007/BF00343405 .
↑ 1 2 3 4 Euler, Leonhard; Lucas Willis; ja Thomas J Osler. Käännös Eulerin paperin muistiinpanoilla: Huomautuksia suoran ja vastavuoroisen tehosarjan kauniista suhteesta . Euler-arkisto (2006). Haettu 22. maaliskuuta 2007. Arkistoitu alkuperäisestä 10. heinäkuuta 2012. (määrätön) ; Teos kirjoitettiin vuonna 1749, mutta se julkaistiin alun perin vasta vuonna 1968: Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques (ranska) // Memoires de l'academie des sciences de Berlin: aikakauslehti. - 1768. - Voi. 17 . - s. 83-106 .
↑ Lavine, Shaughan. Äärettömän ymmärtäminen (uuspr.) . - Harvard University Press , 1994. - ISBN 0-674-92096-1 .
↑ Vretblad, Anders. Fourier-analyysi ja sen sovellukset (neopr.) . - Springer, 2003. - ISBN 0-387-00836-5 .
↑ Saichev, A.I. ja W. A. Woyczyński. Jakelut fysiikan ja tekniikan tieteissä, osa 1 . - Birkhaüser, 1996. - ISBN 0-8176-3924-1 .
↑ Kline, Morris Euler and Infinite Series (englanniksi) // Mathematics Magazine : aikakauslehti. - 1983. - marraskuu ( osa 56 , nro 5 ). - s. 307-314 . - doi : 10.2307/2690371 .
↑ Grattan-Guinness, Ivor Matemaattisen analyysin perusteiden kehitys Eulerista Riemanniin . - MIT Press , 1970. - ISBN 0-262-07034-0 .

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi