Isogonaalinen kaveri

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 28. kesäkuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 13 muokkausta .

Isogonaalinen konjugaatio on geometrinen muunnos, joka saadaan heijastamalla suorat, jotka yhdistävät aloituspisteet tietyn kolmion kärkipisteisiin suhteessa kolmion kulmien puolittajiin .

Määritelmä

Pisteitä ja kutsutaan isogonaalisesti konjugaateiksi (vanhentuneet nimet ovat isogonaalisia, käänteisiä [1] ) kolmiossa , jos , , . Tämän määritelmän oikeellisuus voidaan todistaa Cevan lauseella sinimuodossa , ja tämän määritelmän oikeellisuudesta on myös puhtaasti geometrinen todiste. Isogonaalinen konjugaatio on muunnos, joka yhdistää pisteen isogonaalikonjugaatteihinsa. Koko tasossa, lukuun ottamatta kolmion sivuja sisältäviä viivoja, isogonaalinen konjugaatio on yksi yhteen -kuvaus . $P$ $P^*$ $\kolmio ABC$ $\angle ABP = \angle CBP^*$ $\angle BAP = \angle CAP^*$ $\angle BCP = \angle ACP^*$

Ominaisuudet

Isogonaalinen konjugaatio jättää vain kirjoitetun ja excircles - pisteen paikoilleen .
Piste isogonaalisesti konjugoitu rajatun ympyrän pisteeseen on äärettömässä . Tämän pisteen antama suunta on kohtisuorassa alkuperäisen pisteen Simson-viivaa vastaan .
Jos pisteet , , ovat symmetrisiä pisteen suhteen kolmion sivujen suhteen, niin kolmion rajatun ympyrän keskusta on isogonaalisesti konjugoitu pisteeseen . $P_a$ $P_b$ $P_c$ $P$ $P_aP_bP_c$ $P$
Jos ellipsi on piirretty kolmioon , sen polttopisteet ovat isogonaalisesti konjugoituja .

Kahden isogonaalisesti konjugoidun pisteen projektiot sivuilla ovat samalla ympyrällä (myös päinvastoin) [2] . Tämän ympyrän keskipiste on konjugaattipisteiden välisen janan keskipiste . Erikoistapaus on yhdeksän pisteen ympyrä .
Jälkimmäinen tarkoittaa, että kahden isogonaalisesti konjugoidun pisteen subdermaaliset ympyrät osuvat yhteen. Erityisesti ortosenterin osaympyrä ja rajatun ympyrän keskipiste on Eulerin ympyrä . Poder tai pedaaliympyrä on subdermaalisen kolmion rajattu ympyrä .
Kolmion kaksi pistettä ovat konjugoituja isogonaalisesti silloin ja vain, jos niiden kolmen etäisyyden tulot kolmion kolmeen sivuun ovat yhtä suuret [2] .

Isogonaalisesti konjugoitujen viivojen parit

Suoran kuva isogonaalisessa konjugaatiossa on kolmion ympärille rajattu kartio . Erityisesti äärettömyyden viiva ja rajattu ympyrä , Eulerin viiva ja Enzhabekin hyperboli , Brocardin akseli ja Kiepertin hyperboli , piirrettyjen ja rajattujen ympyröiden keskusviiva ja Feuerbachin hyperboli ovat isogonaalisesti konjugoituja .
Jos kartio on isogonaalisesti konjugoitu viivaan , niin kaikkien pisteiden trilineaariset polaarit kulkevat kolmiviivaiseen napaan isogonaalisesti konjugoidun pisteen läpi . $\alpha$ $l$ $\alpha$ $l$
Jotkut tunnetut kuutiot , kuten Thompson - kuutio, Darboux - kuutio, Neuberg -kuutio, ovat isogonaalisesti itseliittyviä siinä mielessä, että jos kaikki niiden kolmion pisteet konjugoidaan isogonaalisesti, saadaan taas kuutioita.

Isogonaalisesti konjugoitujen pisteiden parit

Piirretyn ympyrän keskipiste ja ortosentti ( katso kuva).
Mediaanien ja Lemoinen pisteen (simediaanien leikkauspiste) leikkauspiste.
Gergonnen piste ja sisäänkirjoitettujen ja rajattujen ympyröiden negatiivisen homoteetin keskipiste.
Nagelin piste ja sisäympyrän ja ympyrän positiivisen homoteetin keskus ( Verrier-piste ).
Kaksi Brocard-pistettä
Apollonius- piste ja Torricelli-piste .
Piirretyn ympyrän keskipiste ( incenter ) on isogonaalisesti konjugoitu itseensä.

Koordinaattimerkintä

Barysentrisissä koordinaateissa isogonaalinen konjugaatio kirjoitetaan seuraavasti:

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {a^{2}}{x}}:{\frac {b^{2}}{y}}:{\frac { c^{2}}{z}}\oikea)

jossa , , ovat kolmion sivujen pituudet. Trilineaarisissa koordinaateissa sen merkintä on muotoa: $a$ $b$ $c$

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}\oikea )

siksi ne ovat käteviä työskennellessäsi isogonaalisten kumppanien kanssa. Muissa koordinaateissa isogonaalinen konjugaatio on hankalampaa.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Vastaavasti voidaan määritellä isogonaalinen konjugaatio monikulmion suhteen. Monikulmioon kirjoitetut ellipsien kohdat ovat myös isogonaalisesti konjugoituja. Isogonaalisesti konjugoitua pistettä ei kuitenkaan määritellä kaikille pisteille: esimerkiksi nelikulmiossa niiden pisteiden lokus, joille isogonaalinen konjugaatio on määritelty, on jokin kolmannen kertaluvun käyrä; viisikulmiossa on vain yksi pari isogonaalisesti konjugoituja pisteitä (ainoan siihen kirjoitetun ellipsin polttopisteitä), ja monikulmioissa, joissa on suuri määrä pisteitä, ei yleensä ole isogonaalisesti konjugoituja pisteitä.

Voit myös määritellä isogonaalikonjugaation tetraedriin , kolmiviivaisissa koordinaateissa se kirjoitetaan samalla tavalla kuin tasainen isogonaalinen konjugaatio [3] .

Isogonaalikonjugaatioon liittyy läheisesti antigonaalinen konjugaatio , joka mainitaan artikkelissa Ponceletin lause .

Seuraukset

Pascalin lause voidaan päätellä isogonaalisesta konjugaatiosta .

Muistiinpanot

↑ D. Efremov. Uusi kolmion geometria. Odessa, 1902
↑ 1 2 Zetel S.I. Uusi kolmion geometria. Opas opettajille. 2. painos .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 97, s. 80.
↑ Isogonaalinen konjugaatio tetraedrissä ja sen pinnassa (pääsemätön linkki)