Fourier-muunnos ryhmissä

Ryhmien Fourier-muunnos on yleistys diskreetistä Fourier-muunnoksesta syklisestä paikallisesti kompaktiin Abelin ryhmiin tai mielivaltaisiin kompakteihin ryhmiin.

Apukäsitteet

Ryhmän äärellisulotteinen esitys on vektoriavaruuden käännettävien lineaaristen muunnosten kuvaaminen ryhmästä siten , että mille tahansa $G$ $\pi :G\mapsto GL(V)$ $G$ $V$ $g_{1},g_{2}\in G$

\pi (g_{1})\pi (g_{2})=\pi (g_{1}g_{2}).

Toisin sanoen, on homomorfismi ryhmistä ja .

\pi

G

GL(V)

Esitystä kutsutaan unitaariksi jos , missä on avaruuden unitaaristen muunnosten ryhmä . $\pi (G)\subset U(V)$ $U(V)$ $V$
Esityksiä ja kutsutaan ekvivalenteiksi , jos siirtyminen yhdestä toiseen voidaan suorittaa tasaisella perustan muutoksella , eli jos tapahtuu muunnos , joka $\pi :G\mapsto GL(V)$ $\rho :G\mapsto GL(V)$ $T\in GL(V)$ $g\in G$ $T\pi (g)T^{-1}=\rho (g)$

Näkymää kutsutaan näkymän alinäkymäksi , jos se on minkä tahansa ja :n aliavaruus $\rho :G\mapsto GL(W)$ $\pi$ $W$ $V$ $g\in G$ $w\in W$

\rho (g)w=\pi (g)w.

Toisin sanoen, on invariantti aliavaruus ja on rajoitus .

W

\pi (g)

{\näyttötyyli \rho (g)}

\pi (g)

W

Esityksen sanotaan olevan redusoitumaton , jos sillä ei ole muita aliesitystyksiä kuin hän itse ja aliesitys, joka kartoitetaan nollaulotteiseen aliavaruuteen .

Kaksoisjoukko on täydellinen sarja ei-ekvivalentteja pelkistymättömiä unitaarisia esityksiä. ${\näyttötyyli {\hattu {G}}}$ $G$

Määritelmä

Funktion Fourier-muunnos määritellään matriisifunktioksi siten, että $f\in L^{2}(G)$ ${\hat {f}}\in L^{2}({\hat {G)))$

{\hat {f}}(\pi )=\sum \limits _{g\in G}f(g)\pi (g^{-1}).

Tällaisessa merkinnässä käänteismuunnos kirjoitetaan muodossa

{\textstyle f(g)={\frac {1}{|G|}}\sum \limits _{\pi \in {\hat {G}}}d_{\pi }{\text{tr}} [\pi (g){\hat {f}}(\pi )],}

missä on sen lineaarisen avaruuden ulottuvuus, jonka muunnokset määritetään .

{\displaystyle d_{\pi ))

\pi (g)

Motivaatio

Jatkuvassa tapauksessa neliöintegroitavan funktion Fourier-muunnos vastaa Hilbert Lebesguen avaruuden ortonormaalia kantalaajennusta . ${\näyttötyyli {\hattu {f))}$ $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$ $f(x)$ ${\displaystyle \{e^{2\pi iyx}|y\in \mathbb {R} \))$ $L^{2}(\mathbb {R} )$

{\textstyle f(x)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(y)e^{2\pi iyx}dy.}

Jaksottaisen funktion Fourier-muunnos vastaa sen laajenemista ortonormaalissa avaruuskannassa $f\in L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle \{e^{2\pi kx}|k\in \mathbb {Z} \))$ $L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$

{\textstyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(k)e^{2\pi ikx}.}

Funktion diskreetti Fourier-muunnos vastaa ortonormaaliavaruuden kantaa $f\in L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ ${\textstyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {n}}}e^{\frac {2\pi ikj}{n}}{\bigg |}k=0,1,\dots , n-1\oikea\}}$ $L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$

{\textstyle f(j)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\hat {f}}(k)e^ {\frac {2\pi ikj}{n))}

Yleisesti ottaen Fourier-muunnos ryhmissä vastaa funktion laajennusta jollain ortonormaalilla perusteella . $f\in L^{2}(G)$ $L^{2}(G)$

Kirjallisuus

Terras A. Fourier Analysis on Finite Groups and Applications (englanniksi) - Cambridge University Press , 1999. - 456 s. - ISBN 978-0-511-62626-5 - doi:10.1017/CBO9780511626265
Mensah Y. Fourier-muunnos ryhmistä ja sovelluksista (englanniksi) // Data-Driven Modeling for Sustainable Engineering - 2019. - S. 21-28. doi:10.1007/ 978-3-030-13697-0_2

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muutosryhmä Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos