Galilealaiset muunnokset

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Galilean muunnokset - klassisessa mekaniikassa ( Newtonin mekaniikka ) ja ei-relativistisessa kvanttimekaniikassa : koordinaattien ja nopeuden muunnokset siirtymisen aikana yhdestä inertiaalisesta vertailukehyksestä (ISR) toiseen [1] . Termiä ehdotti Philipp Frank vuonna 1909 [2] . Galileon muunnokset perustuvat Galileon suhteellisuusperiaatteeseen , joka tarkoittaa samaa aikaa kaikissa vertailujärjestelmissä ("absoluuttinen aika" [3] ).

Galilean muunnokset ovat rajoittava (erikoistapaus) Lorentzin muunnoksille nopeuksille, jotka ovat pieniä verrattuna valon nopeuteen tyhjiössä ja rajoitetussa tilassa. Nopeuksilla aina aurinkokunnan planeettojen nopeuksien luokkaan asti (ja vieläkin korkeammilla) Galileon muunnokset ovat suurin piirtein oikeita erittäin suurella tarkkuudella.

Suhteellisuusperiaatteen vaatimus (postulaatti) yhdessä Galileon intuitiivisesti ilmeisiltä vaikuttavien muunnosten kanssa voidaan katsoa suurelta osin määrittäväksi newtonilaisen mekaniikan rakenteen. Tällaisten lisäideoiden, kuten avaruuden symmetria ja superpositioperiaate muodossa tai toisessa (joka ilmaisee monien kappaleiden vuorovaikutuksen vastaavuuden lyhyessä ajassa näiden kappaleiden kuvitteellisten peräkkäisten parivuorovaikutusten koostumuksesta), ohella Galileon muunnokset. voi olla käytännössä riittävä perusta Newtonin mekaniikan (päätelmänä sen peruslait) muotoilulle.

Kollineaaristen akseleiden muunnostyypit [4]

Jos IFR S' liikkuu suhteessa IFR S :ään vakionopeudella akselia pitkin ja origot ovat molemmissa järjestelmissä samat alkuhetkellä, niin Galileo-muunnokset ovat muotoa: $sinä\$ $x\$

x=x'+ut,\

{y}=y',\

{z}=z',\

t=t'\

tai käyttämällä vektorimerkintää,

{\vec {r}}={\vec {r}}'+{\vec {u}}t,\

t=t'\

(viimeinen kaava pätee mihin tahansa koordinaattiakselien suuntaan).

Kuten näette, nämä ovat vain kaavoja origon siirtymälle, joka on lineaarisesti riippuvainen ajasta (jonka oletetaan olevan sama kaikissa vertailujärjestelmissä).

Näistä muunnoksista seuraa pisteen nopeuksien ja sen kiihtyvyyksien välinen suhde kummassakin vertailukehyksessä:

{\vec {v}}={\vec {v'}}+{\vec {u}},

{\vec {a}}={\vec {a'}}

Galilean muunnokset ovat rajoittava (erityinen) tapaus Lorentzin muunnoksille pienille nopeuksille (paljon pienemmille kuin valon nopeus). $u\ll c$

Galileon ryhmä

Galilealainen ryhmä on joukko inertiaalisten viitekehysten luokan muunnoksia itseensä yhdistettynä ajallisiin käännöksiin. [5] Galilealaisen ryhmän tärkeimmät muunnokset ovat myös ryhmiä:

Aikaviittauksen alkuperän muutosta vastaavat aikakäännökset: $P_{0}:t\rightarrow t'=t+\tau ,\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x}$
Avaruuden käännökset, jotka vastaavat muutosta koordinaattien origossa: $P_{3}:t\rightarrow t'=t,\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x} +\mathbf {a}$
Galilean muunnokset , jotka yhdistävät suhteellisella nopeudella liikkuvia vertailujärjestelmiä : $\mathbf{v}$ ${\displaystyle K:t\rightarrow t'=t,x_{k}\rightarrow x_{k}'=-v_{k}t+x_{k))$
Karteesisten akselien kierto : . Ne muodostavat erityisen ortogonaalisen kolmiulotteisen avaruuden ryhmän . ${\displaystyle R:t\rightarrow t'=t,x_{k}\rightarrow x_{k}'=R_{kl}x_{l))$ $SO(3)$

tässä - aika, - koordinaatit euklidisessa avaruudessa , - vertailukehysten suhteellinen nopeus, - ortogonaalinen matriisi . $t$ $\mathbf {x}$ $R^{3}$ $\mathbf{v}$ $R$

Galilean ryhmägeneraattorit

Merkitään rotaatioryhmän generaattoreiksi - aika-avaruusmuunnosten generaattoreita, - Galileo-muunnosten generaattoreita, symbolia - Lie-algebran kommutaattoria . Galilealaisen ryhmän generaattorit on yhdistetty seuraavilla kommutaatiosuhteilla: [6] ${\näyttötyyli l_{k))$ $P_{\mu },\mu =0.1,2,3$ $K_{i},i=1,2,3$ $[...,...]$

{\displaystyle [l_{k},l_{m}]=\varepsilon _{kmn}l_{n))

{\displaystyle [l_{k},P_{m}]=\varepsilon _{kmn}P_{n))

{\displaystyle [l_{k},K_{m}]=\varepsilon _{kmn}K_{n))

[l_{k},P_{0}]=[P_{\mu },P_{\nu }]=[K_{m},K_{n}]=[P_{m},K_{n }]=0

{\displaystyle [P_{0},K_{m}]=P_{m))

tässä: , - algebran rakennevakiot - matriisit. $k,m,n=1,2,3;\mu ,\nu =0,1,2,3$ $\varepsilon _{kmn}$ $\sigma$

Nopeuden muunnoskaava

Riittää, kun erotetaan yllä annetussa Galileon muunnoskaavassa, ja heti sen vieressä samassa kappaleessa annettu nopeusmuunnoskaava saadaan. ${\vec {r))$

Tehdään alkeellisempi, mutta myös yleisempi johtopäätös - tapaukselle, jossa yhden järjestelmän vertailupiste liikkuu mielivaltaisesti suhteessa toiseen (ilman kiertoa). Tällaista yleisempää tapausta varten saat nopeusmuunnoskaavan esimerkiksi näin.

Tarkastellaan mielivaltaisen origon siirtymän muuntamista vektoriin , ${\vec r}_{o}$

jossa jonkin kappaleen A sädevektoria viitekehyksessä K merkitään , ja viitekehyksessä K' - kuten , ${\vec {r))$ ${\vec {r'))$

mikä tarkoittaa, kuten aina klassisessa mekaniikassa, että aika molemmissa viitekehyksessä on sama ja kaikki sädevektorit riippuvat tästä ajasta: . $t$ ${\vec r}_{o}={\vec r}_{o}(t),{\vec r}={\vec r}(t),{\vec {r'))={\vec {r'}}(t)$

Siis milloin tahansa

{\vec r}={\vec r}_{o}+{\vec {r'))

ja erityisesti ottaen huomioon

\Delta {\vec r}={\vec r}(t+\Delta t)-{\vec r}(t),~\Delta {\vec r}_{o}={\vec r}_{o }(t+\Delta t)-{\vec r}_{o}(t),~\Delta {\vec {r'}}={\vec {r'}}(t+\Delta t)-{\ vec{r'}}(t)

meillä on:

{\begin{matrix}{\vec r}(t)={\vec r}_{o}(t)+{\vec {r'}}(t)\\{\vec r}(t+\Delta t)={\vec r}_{o}(t+\Delta t)+{\vec {r'}}(t+\Delta t)\end{matrix}}({\Bigg \}}}\quad \ Oikea nuoli \quad \Delta {\vec r}=\Delta {\vec r}_{o}+\Delta {\vec {r'))\quad \Rightarrow \quad {\frac {\Delta {\vec r} }{\Delta t))={\frac {\Delta {\vec r}_{o)){\Delta t))+{\frac {\Delta {\vec {r'))}{\Delta t }}

$\Rightarrow \quad \langle {\vec {V}}\rangle =\langle {\vec {V}}_{o}\rangle +\langle {\vec {V'}}\rangle$

missä:

\langle {\vec {V}}\rangle

on kappaleen A keskinopeus suhteessa järjestelmään K ;

\langle {\vec {V))'\rangle

- kappaleen A keskinopeus suhteessa järjestelmään K' ;

\langle {\vec {V}}_{o}\rangle

on järjestelmän K' keskinopeus suhteessa järjestelmään K.

Jos sitten keskinopeudet ovat samat kuin hetkellinen : $\Delta t\rightarrow 0$

{\vec {V}}\;=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\;{\Bigg (}\langle {\vec {V}}_{o}\rangle +\langle { \vec {V'}}\rangle {\Bigg )}={\vec {V}}_{o}+{\vec {V'}}

tai lyhyempi

{\vec V}\;={\vec V}_{o}+{\vec {V'}}

- sekä keski- että hetkellisille nopeuksille (nopeuden lisäyskaava).

Näin ollen kappaleen nopeus suhteessa kiinteään koordinaattijärjestelmään on yhtä suuri kuin kappaleen nopeuden vektorisumma suhteessa liikkuvaan koordinaattijärjestelmään ja vertailujärjestelmän nopeus suhteessa kiinteään vertailujärjestelmään.

(Samalla tavalla voidaan saada kaava kiihtyvyyksien muunnokselle siirryttäessä yhdestä koordinaattijärjestelmästä toiseen, mikä on oikein, jos järjestelmien liike suhteessa toisiinsa on tasaisesti kiihdytettyä ja translaatiota:) . ${\vec a}={\vec {a'}}+{\vec {a_{o}}}$

Galilealaiset muunnokset ei-relativistisessa kvanttimekaniikassa

Schrödingerin yhtälö ei-relativistisessa kvanttimekaniikassa on invariantti Galilean muunnoksissa. Tästä tosiasiasta seuraa useita tärkeitä seurauksia: useiden kvanttimekaniikan operaattoreiden olemassaolo, jotka liittyvät Galilean muunnoksiin ( Schrödingerin ryhmä ), mahdottomuus kuvata tiloja, joilla on massaspektri tai epävakaita alkuainehiukkasia ei-relativistisessa kvanttimekaniikassa ( Bargmannin lause ), Galilean muunnosten synnyttämien kvanttimekaanisten invarianttien olemassaolo [7] .

Muistiinpanot

↑ Puhtaasti kinemaattisina Galileon muunnoksia voidaan soveltaa myös ei-inertiaalisiin vertailukehyksiin - mutta vain sillä ehdolla, että ne ovat tasaisesti suoraviivaisia translaatioliikettä suhteessa toisiinsa - mikä rajoittaa niiden merkitystä tällaisissa tapauksissa. Yhdessä inertiaalisten viitekehysten etuoikeutetun roolin kanssa tämä tosiasia johtaa siihen, että suurimmassa osassa tapauksia Galileon muunnoksia käsitellään juuri jälkimmäisen yhteydessä.
↑ Frank P./Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien.—1909.—Ila, Bd 118.—S. 373 (erityisesti s. 382).
↑ Absoluuttisesta ajasta fysiikasta yleisesti ottaen täytyi hylätä 1900-luvun alussa - jotta suhteellisuusperiaate säilyisi vahvassa muotoilussaan, mikä merkitsee vaatimusta, että kaikki fysiikan perusyhtälöt on kirjoitettava samalla tavalla missä tahansa (inertiaalinen; ja myöhemmin suhteellisuusperiaate laajennettiin ei-inertiaaliseksi) viitejärjestelmäksi.
↑ Fysiikan kannalta perustavanlaatuinen on vain tapaus, jossa niiden inertiajärjestelmien koordinaattiakselit (jos koordinaattiesitystä ollenkaan käytetään; tätä asiaa voidaan pitää merkityksettömänä kirjoituksen symbolisen vektorimuodon kannalta) suoritetaan samalla tavalla. Periaatteessa niitä voidaan suunnata eri tavoin, mutta tällaiset muunnokset ovat teknisesti kiinnostavia vain fysikaalisesta näkökulmasta, koska ne rajoittuvat tässä artikkelissa tarkasteltujen samansuuntaisten akselien muunnoksen koostumukseen ja kiinteään (ajasta riippumaton) koordinaattiakselien kierto , joka edustaa puhtaasti geometrista ongelmaa, lisäksi periaatteessa yksinkertaista. Akselien kierto, joka riippuu ajasta, merkitsisi koordinaattijärjestelmien kiertymistä toisiinsa nähden, eikä ainakaan yksi niistä voisi silloin olla inertiaalinen.
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Symmetriaryhmät ja alkuainehiukkaset. - L., Leningradin valtionyliopisto , 1983. - s. yksitoista
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Symmetriaryhmät ja alkuainehiukkaset. - L., Leningradin valtionyliopisto , 1983. - s. kahdeksantoista
↑ Kaempfer, 1967 , s. 390.

Kirjallisuus

Kaempfer F. Kvanttimekaniikan perusteet. - M .: Mir, 1967. - 391 s.

Katso myös

Galileo Galilei
Elämäkerta ja tieteelliset saavutukset	Galilean prosessi • Galilean kellon poisto • Galilean satelliitit • Galilean muunnokset • Putoavien kappaleiden tutkiminen • Termoskooppi • Celatone • Galilean paradoksi
Proceedings	Määrittäjä • Vuoropuhelu maailman kahdesta pääjärjestelmästä • Sidereus Nuncius • Kahden uuden tieteen keskusteluja ja matemaattisia todisteita
Perhe	Vincenzo Galilei (isä) • Michelangelo Galilei (veli) • Vincenzo Gamba (poika) • Maria Celesta (tytär) • Marina Gamba (avovaimo)