Viisikymmentäyhdeksän ikosaedria

The Fifty - Nine Icosahedra on Harold Coxeterin , Patrick du Valin , H. T. Flaserin ja J. F. Petrien kirjoittama  ja kuvittama kirja . Kirjassa luetellaan joitain tähtimuotoja säännöllisistä kuperista ( platonisista ) ikosaedreistä , jotka on rakennettu J. C. P. Millerin ehdottamien sääntöjen mukaisesti .

Kirjan julkaisi University of Toronto Press vuonna 1938. Springer-Verlag julkaisi toisen painoksen vuonna 1982. Keith ja David Crennell kirjoittivat tekstin kokonaan uudelleen ja piirsivät uudelleen välilehdet ja kaaviot kolmannelle painokselle (Tarquin) vuonna 1999 ja lisäsivät uutta vertailumateriaalia ja valokuvia.

Tekijän panokset

Millerin säännöt

Vaikka J. C. P. Miller ei kirjoittanut kirjaa suoraan, hän oli Coxeterin ja Petrien läheinen kollega. Hänen panoksensa on ikuistettu hänen sääntöihinsä sen määrittämiseksi, mitä tähtiä voidaan pitää "olennaisina ja erillisinä":

1. Kasvojen on sijaittava kahdellakymmenellä tasolla, eli säännöllisen ikosaedrin rajatasoilla.
2. Kaikkien osien, jotka muodostavat kasvot, on oltava samat jokaisessa tasossa, vaikka ne olisivat täysin erotettuja.
3. Mihin tahansa (yhteen) tasoon kuuluvilla osilla on oltava trigonaalinen symmetria heijastuksella tai ilman. Tämä tarjoaa ikosaedrisen symmetrian koko keholle.
4. Mihin tahansa tasoon kuuluvien osien on oltava kaikki "päästävissä" tuloksena olevaan kappaleeseen (eli niiden on oltava "ulkoisia". Joissain tapauksissa meidän on rakennettava valtavia malleja nähdäksemme kaikki osat. Normaalikokoisissa malleissa jotkut osat, vaikka ne ovat "ulkoiset", ne voidaan havaita vain ryömivien hyönteisten avulla).
5. Tapaukset jätetään huomioimatta, kun osat voidaan jakaa kahteen ryhmään, jotka yksittäin antavat rungon, jolla on suurempi symmetria kuin itse hahmo. Mutta sallimme enantiomorfisen parin yhdistämisen, jolla ei ole yhteisiä osia (itse asiassa tämä tapahtuu vain yhdessä tapauksessa).

Kolme ensimmäistä sääntöä vastaavat pintatasojen symmetriavaatimuksia. Sääntö 4 sulkee pois sisäiset ontelot, mikä varmistaa, ettei kaksi tähtimuotoa näytä samalta. Sääntö 5 sulkee pois kaikki yksinkertaisempien muotojen epäjohdonmukaiset komponentit.

Coxeter

Coxeter oli työn tärkein liikkeellepaneva voima. Hän suoritti Millerin sääntöihin perustuvan analyysin käyttämällä useita tekniikoita, kuten kombinatoriikkaa ja abstraktia graafiteoriaa , joiden soveltaminen geometriassa oli tuolloin uutta.

Hän huomasi, että tähtikaavio sisältää monia segmenttejä. Sitten hän kehitti menetelmän työskennellä vierekkäisten tasaisten alueiden yhdistelmien kanssa, jotta voitaisiin muodollisesti luetella Millerin sääntöjen alaiset yhdistelmät.

Tässä esitetty kaavio näyttää tähtikaaviossa esitettyjen eri kasvojen liitettävyyden (katso alla). Kreikkalaiset kirjaimet määrittelevät joukon mahdollisia vaihtoehtoja:

Du Val

Du Val kehitti symbolisen merkinnän kongruette-solujen sarjoille perustuen havaintoon, että ne sijaitsevat "kuorella" alkuperäisen ikosaedrin ympärillä. Tämän perusteella hän testasi kaikkia mahdollisia yhdistelmiä Millerin sääntöjä vastaan, mikä vahvisti Coxeterin analyyttisemmän lähestymistavan tulokset.

Flazer

Flaserin panos ei ollut suora - hän teki pahvimalleja kaikista 59 polyhedrasta. Ennen kuin tapasi Coxeterin, hän oli jo tehnyt monia tähtimuotoja, mukaan lukien joitain polyhedroneja, jotka eivät olleet Millerin sääntöjen alaisia. Hän jatkoi työskentelyä täydellisen sarjan luomiseksi, joka on tallennettu Cambridgen yliopiston (Englanti) matemaattiseen kirjastoon. Kirjastossa on myös useita ei-Millerin malleja, mutta ei tiedetä, ovatko ne myöhemmin Flaserin vai Millerin oppilaiden valmistamia [1] .

Petri

John Flinders Petriellä, Coxeterin pitkäaikaisella ystävällä, oli huomattava kyky esittää hahmoja neliulotteisessa avaruudessa. Hän ja Coxeter työskentelivät yhdessä monien matemaattisten ongelmien parissa. Hänen suora panoksensa kirjaan on monissa täydellisissä kolmiulotteisissa piirustuksissa, jotka tarjoavat kirjan viehätyksen.

Krennels

Kolmannelle painokselle Keith ja David Crennell muuttivat tekstin kokonaan ja piirsivät uudelleen kuvitukset ja lisäykset. He lisäsivät myös viiteosan, joka sisälsi taulukoita, kaavioita ja valokuvia joistakin Cambridge-malleista (tuhon aikaan ajateltiin, että kaikki olivat Flazerin valmistamia). Indeksi sisälsi kaikki 59 polyhedraa, jotka on numeroitu peräkkäin siinä järjestyksessä, jossa ne esiintyivät kirjassa. Muokkausprosessin aikana tuli useita virheitä. PDF-tiedosto korjatuilla sivuilla saatavilla verkossa.

Luettelo 59 ikosaedrista

Ennen Coxeteria vain Brückner ja Wheeler kuvasivat joitain merkittäviä tähtikuvioita, vaikka jotkut, kuten suuri ikosaedri, tunnetaan aiemmin. 59 ikosaedria käsittelevän kirjan julkaisemisen jälkeen Wenninger julkaisi ohjeet joidenkin sarjan mallien rakentamiseen. Hänen kirjassaan omaksuttua numerointia käytettiin laajalti, vaikka hän antoi vain muutaman tähtimuodon.

Muistiinpanot

Numerointi on Krennelien mukaan, ellei toisin mainita.

Krennelit

• Krennelin kolmannessa painoksessa lisäämässä numeroinnissa ensimmäiset 32 ​​mallia (numerot 1-32) ovat peilisymmetrisiä ja viimeiset 27 (numerot 33-59) ovat kiraalisia , ja vain oikeanpuoleinen muoto on annettu mallissa. kirja. Numerointi vastaa sitä järjestystä, jossa monitahot esiintyvät kirjassa.

VRML

• Linkki Hartin tekemiin VRML 3D -grafiikkatiedostoihin .

soluja

• Jos yhdistät minkä tahansa avaruuden pisteen segmentillä ikosaedrin keskustaan ​​ja lasket janan leikkauspisteiden lukumäärän ikosaedrin pintojen tasojen kanssa, saat pisteen tason (ei lasketa tasoa, jolla itse kohta voi olla). Kaikki pisteet , joiden taso ei ylitä tiettyä arvoa , muodostavat jonkin monitahoisen . Säännölliselle ikosaedrille on mahdollista 8 tällaista monitahoa, jotka on merkitty isoilla kirjaimilla A , B , C , …, H , missä A  on alkuperäinen ikosaedri (taso 0). On pisteitä, joiden taso on 8 tai korkeampi, mutta vastaavat säteet menevät äärettömyyteen, eikä sellaisia ​​pisteitä oteta huomioon.
• Saman tason pisteet muodostavat kuoren . Du Valin merkinnöissä kuoret on numeroitu samoilla kirjaimilla kuin polyhedra, mutta isoilla kirjaimilla. Kuoret koostuvat soluista .
• Jotkut solut on jaettu kahteen tyyppiin, niille annetaan indeksit. Esimerkiksi ryhmä e sisältää solut e1 ja e2 . Joukko f 1 on edelleen jaettu oikeaan ja vasempaan muotoon, joita merkitään f 1 (tavallinen kirjain) ja f 1 (viisto). Kun kaikki tasot ovat läsnä, ne kirjoitetaan isoilla kirjaimilla ja korvataan koko sekvenssi, esimerkiksi a + b + c + e 1 kirjoitetaan Ce 1 :ksi .

Fasetit

• Kaikki tähtimuodot voidaan määrittää tähtikaaviolla . Yllä olevassa kaaviossa värilliset numeroidut alueet osoittavat osat, joiden on näytettävä yhdessä kokonaisuutena, jos halutaan saavuttaa täysi ikosaedrisymmetria. Kaavio sisältää 13 tällaista sarjaa. Jotkut niistä jakautuvat kiraalisiin pareihin (ei esitetty), jolloin saadaan tähtimuotoja, joilla on pyörimissymmetria, mutta ei peilisymmetriaa. Taulukossa alapuolelta näkyvät kasvot on merkitty heittomerkillä, esimerkiksi 3' .

Weninger

• Numerot ja numeroidut nimet vastaavat esiintymisjärjestystä M. Wenningerin kirjassa Models of Polyhedra . Järjestys on yleensä satunnainen (kirjan toimittajien mielivaltaisesti valitsema), eikä siinä ole matemaattista järkeä. Vain muutamat mallit Wenningerin kirjassa ovat ikosaedrejä. Niiden nimet on annettu lyhennetyssä muodossa, sanat "... ikosaedri" on jätetty pois (esimerkiksi "Ikosaedrin toinen tähti" taulukossa on "Ikosaedrin toinen tähti").

Wheeler

• Wheeler löysi hahmonsa valitsemalla segmenttejä tähtikaaviosta. Hän erotti tämän prosessin huolellisesti Keplerin klassisesta stellatiosta . Coxeter ym. jättivät nämä erot huomiotta.

Brueckner

• Brückner teki ja valokuvasi malleja monista monitahoista, joista vain muutama oli ikosaedriä.

Huomautuksia

• Nro 8 kutsutaan Echidnahedroniksi , koska se muistuttaa pinnallisesti neulalla peitettyä echidnaa . Tämä nimi ei liity Keplerin kuvaukseen Kepler - Poinsot -kappaleista echidnae .

Viisikymmentäyhdeksän ikosaedrin taulukko

Katso myös

• Luettelo Wenninger Polyhedra -malleista - Wenningerin  kirja Models of Polyhedra sisältää 21 mallia tästä luettelosta.
• Rungot, joilla on ikosaedrinen symmetria

Muistiinpanot

1. ↑ Todellisia kadonneita tähtiä . Haettu 14. marraskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 13. maaliskuuta 2016. (määrätön)

Kirjallisuus

• Max Bruckner. Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte . - Leipzig: BG Treubner, 1900. - ISBN 978-1-4181-6590-1 .  (saksankielinen) Englanninkielinen painos: Polygons and Polyhedra: Theory and History .
• H.S.M. Coxeter , Patrick du Val H.T. Flather, J.F. Petrie. Viisikymmentäyhdeksän ikosahedraa. - Toronton yliopiston opinnot, 1938. - (matemaattinen sarja 6: 1-26.). Kolmas painos (1999) TarquinISBN 978-1-899618-32-3. (Englanti)
• Magnus J. Weninger . Polyhedron mallit. — Pehmeäkantinen painos (2003). - Cambridge University Press , 1983. - ISBN 978-0-521-09859-5 .  (Englanti)
• M. Weninger. polyhedra mallit. - "Mir", 1974.
• A. H. Wheeler. Tietyt ikosaedrin muodot ja menetelmä korkeampien polyhedrien johtamiseksi ja osoittamiseksi. — Kansainvälisen matemaatikoiden kongressin julkaisut . - Toronto, 1924. - T. 1. - S. 701-708.  (Englanti)

Linkit

• Esimerkki  ikosaedrin tähtiä
• Säännöllisen ikosaedrin viisikymmentäyhdeksän  tähtiä
• Weisstein, Eric W. Viisikymmentäyhdeksän icosahedron stellatiota  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
• Weisstein, Eric W. Echidnahedron  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
• Ikosaedrin  tähtikuvat
• George Hart, 59 Stellaation of the Icosahedron  - VRML 3D-tiedostot. (Englanti)