Säleikkö E8

E 8 -hila eli Korkin-Zolotarevin hila on E 8 -ryhmän juurihila . Se toteuttaa ulottuvuudessa 8:

Suurin mahdollinen yhteysnumero ;
Tihein pallopakkaus .

Tavallisesti merkitty samoin kuin ryhmä E8 . $E_8$

Historia

osoitti tämän hilan olemassaolon vuonna 1867 [ 1 Korkin ja Zolotarev antoivat ensimmäisen eksplisiittisen konstruktion vuonna 1873 [2] .

Kuvaus

Hila E 8 voidaan toteuttaa erillisenä alaryhmänä vektoreita, joilla on seuraavat ominaisuudet: ${\mathbb {R}}^{8}$

minkä tahansa pisteen kaikki koordinaatit ovat joko kokonaislukuja tai puolikokonaislukuja (eli puolitoista kokonaislukua);
kaikkien kahdeksan koordinaatin summa on parillinen kokonaisluku .

Toisin sanoen,

E_{8}=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2)))^ {8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.

On helppo tarkistaa, että minkä tahansa kahden E8:n vektorin summa ja erotus sisältyvät E8:aan , joten E 8 on : n alaryhmä . ${\mathbb {R}}^{8}$

Hila E 8 voidaan myös toteuttaa kaikkien E' 8 :n pisteiden joukkona siten, että ${\mathbb {R}}^{8}$

kaikki koordinaatit ovat kokonaislukuja, joissa on parillinen summa, tai
kaikki koordinaatit ovat puolikkaita kokonaislukuja, joiden summa on pariton.

Toisin sanoen

E_{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} + {\tfrac {1}{2}}) ^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_{5 }\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.

tai

E_{8}'={\biggl \{}(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}:({\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\ equiv 0({\mbox{mod }}2){\biggr \}}\cup {\biggl \{}(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2} })^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2){\biggr \}}.

Hilat E 8 ja E' 8 ovat isomorfisia , toinen voidaan saada toisesta muuttamalla yhden koordinaatin etumerkkiä.

Ominaisuudet

Karakterisointi

Hila E 8 voidaan luonnehtia ainoaksi hilaksi, joka täyttää seuraavat ominaisuudet: ${\mathbb {R}}^{8}$

Tämä on unimodulaarinen hila , eli
- sen perusteella voidaan muodostaa matriisi determinantilla ± 1. ${\näyttötyyli 8\kertaa 8}$
- Toisin sanoen tämän hilan perusalueen tilavuus on 1.
- Vastaavasti E 8 on itseduaali , eli se on sama kuin sen käänteinen hila .
Tämä hila on parillinen, eli minkä tahansa sen vektorin normi on parillinen kokonaisluku.

Myös unimodulaariset hilat ovat olemassa vain 8:lla jaollisissa mitoissa. Dimensiossa 16 on kaksi tällaista hilaa: E 8 ⊕ E 8 ja D 16 + (jälkimmäinen on rakennettu samalla tavalla kuin E 8 dimensiossa 16). Dimensiossa 24 on 24 tällaista hilaa, joista tärkein on Leach-hila .

Perusta

Seuraavan ylemmän kolmiomatriisin sarakkeet antavat yhden mahdollisista perusteista E 8 :lle

\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&0&1/2\\0&0&0&0&1/2\\0&0&0&0&1/2\\0&0&0&1\0\0&0&0&1&1&0&0&0&1&1&0&0&0&1&1&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2 \\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{smallmatrix}}\right].

Eli E 8 koostuu kaikista sarakkeiden lineaarisista kokonaislukuyhdistelmistä. Kaikki muut emäkset saadaan yhdestä kertomalla oikealla matriisilla GL(8, Z ).

Minimihinta

Lyhimmällä nollasta poikkeavalla vektorilla E 8 on normi 2, hila sisältää yhteensä 240 tällaista vektoria. Nämä vektorit muodostavat E8 - ryhmän juurijärjestelmän . Eli hila E 8 on juurihila E 8 . Mikä tahansa 8 yksinkertaisen juuren valinta antaa perustan E 8 .

Perusalue

Voronoi - hilan E 8 alueet ovat 5 21 solua .

Symmetriaryhmä

Hilan symmetriaryhmä R n :ssä määritellään ortogonaalisen ryhmän O( n ) aliryhmäksi, joka säilyttää hilan. E 8 -hilan symmetriaryhmä, joka syntyy heijastuksista hypertasoissa, jotka ovat kohtisuorassa hilan 240 juureen nähden. Sen järjestys on

|W(\mathrm {E} _{8})|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!.

Tämä ryhmä sisältää aliryhmän luokkaa 128 8!, joka koostuu kaikista koordinaattien permutaatioista ja parillisesta määrästä etumerkkimuutoksia. Täysi symmetriaryhmä generoi tämä aliryhmä ja lohkodiagonaalimatriisi H 4 ⊕ H 4 jossa H 4 on Hadamard-matriisi

H_{4}={\tfrac {1}{2}}\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\ \\end{smallmatrix}}\right].

Ilmapallopakkaus

Pallien pakkausongelma kysyy, kuinka kiinteäsäteiset pallot pakataan tiheimmällä tavalla tilassa ilman päällekkäisyyksiä. R 8 :ssa säteisten pallojen sijoittaminen hilan E 8 pisteisiin antaa pakkauksen, jonka suurin tiheys on yhtä suuri kuin $1/\sqrt{2}$

{\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0.25367.

Se, että tämä tiheys on maksimi hilatiivisteille, on ollut tiedossa jo pitkään [3] . Lisäksi tiedettiin, että tällainen hila on ainutlaatuinen samankaltaisuuteen asti [4] . Marina Vyazovskaya osoitti äskettäin, että tämä pakkaus on optimaalinen jopa kaikkien pakkausten joukossa [5] [6] .

Pallon pakkausongelman ratkaisu tunnetaan vain mitoissa 1, 2, 3, 8 ja 24. Se, että ratkaisut tunnetaan mitoissa 8 ja 24, johtuu hilan E 8 ja sen 24-ulotteisuuden erityisominaisuuksista. Leech -hilan analogi .

Yhteysnumero

Yhteysnumeroongelma kysyy, kuinka monta kiinteäsäteistä palloa voi koskettaa saman säteen keskipalloa. Dimensiossa 8 vastaus on 240; tällainen konfiguraatio voidaan saada asettamalla pallot hilan E 8 pisteisiin miniminormilla. Tämä todistettiin vuonna 1979 [7] [8] .

Yhteysnumeroongelman ratkaisu tunnetaan vain mitoissa 1, 2, 3, 4, 8 ja 24. Se, että ratkaisut tunnetaan mitoissa 8 ja 24, liittyy myös E 8 -hilan ja sen erityisominaisuuksiin. Leach-hilan 24-ulotteinen analogi .

Theta-funktio

Hilan Λ theta-funktio määritellään summaksi

\Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau>0.

Se on holomorfinen funktio ylemmällä puolitasolla. Lisäksi parillisen unimodulaarisen hilan, jonka arvo on n , theta-funktio on painon n /2 modulaarinen muoto .

Normalisointiin asti painolla 4 on vain yksi modulaarinen muoto: Eisensteinin sarja G 4 (τ). Toisin sanoen hilan E 8 theta-funktion on oltava verrannollinen G4 : ään (τ). Tämä antaa

\Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}

jossa σ 3 ( n ) on jakajien ja funktio . $q=e^{i\pi \tau }$

Tästä seuraa, että normin 2 n vektorien lukumäärä hilassa E 8 on yhtä suuri kuin (jakajien kuutioiden summa n ). Tämä on sekvenssi A004009 OEIS : ssä : $240\cdot$

\Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q ^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).

Hilan E 8 theta-funktio voidaan kirjoittaa Jacobin theta-funktioilla seuraavasti:

\Theta _{E_{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3} (q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\oikea)

missä

\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2)))^{2}}\ qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\summa _ {n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.

Hamming-koodi

Hamming-koodi H (8,4) on binäärikoodi , jonka pituus on 8 ja arvo 4; eli se on äärellisen ( F 2 ) 8 vektoriavaruuden 4-ulotteinen aliavaruus . Elementtien ( F 2 ) 8 kirjoittaminen 8- bittisinä kokonaislukuina heksadesimaalikoodiin H (8,4) voidaan kirjoittaa eksplisiittisesti muodossa

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

Koodi H (8,4) on kaksoistyypin II koodi. Sen Hamming-paino on vähintään 4; tämä tarkoittaa, että mitkä tahansa kaksi koodisanaa eroavat toisistaan vähintään 4 bitin verran. Neljännen luokan binäärikoodeille, joiden pituus on 8, tämä on maksimi.

Kun binäärikoodi C , jonka pituus on n , voidaan muodostaa hila Λ ottamalla kaikkien vektorien joukko siten, että se osuu (modulo 2) C:n koodisanojen kanssa; usein on kätevää skaalata Λ kertoimella 1/ √2, $x\in \mathbb {Z} ^{n}$ $x$

\Lambda ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\,{\bmod {\,}}2\ in C\right\}.

Tämän rakenteen soveltaminen itsekaksoistyyppiseen II koodiin tuottaa tasaisen, unimodulaarisen hilan. Erityisesti Hamming-koodille H(8,4) saadaan hila E 8 .

Ongelma eksplisiittisen isomorfismin löytämiseksi tuloksena olevan hilan ja edellä määritellyn hilan E 8 välillä ei ole täysin triviaali.

Kokonaisluku oktoniot

Hilaa E 8 käytetään kokonaislukuoktonioiden määrittelyssä samalla tavalla kuin kokonaislukukvaternioneja .

Kokonaislukuoktoniot muodostavat luonnollisesti hilan O :ssa . Tämä hila on samanlainen kuin hila E 8 kertoimella . (Miniminormi kokonaislukuina on 1, ei 2). $1/\sqrt{2}$

Kokonaislukuoktoniot muodostavat ei-assosiatiivisen renkaan.

Sovellukset

Vuonna 1982 Friedman rakensi topologisen nelijakoisen , nimeltään E 8 -monikanava , jonka leikkausmuodon antaa hila E 8 . Tämä jakotukki on esimerkki topologisesta jakoputkesta, joka ei salli tasaista rakennetta eikä ole edes kolmiomaista.
Merkitysteoriassa heteroottinen merkkijono on eräänlainen 26-ulotteisten bosonisten merkkijonojen ja 10-ulotteisten supermerkkijonojen hybridi . Jotta teoria toimisi oikein, 16 ylimääräistä ulottuvuutta on tiivistettävä parillisella unimodulaarisella hilalla, jonka arvo on 16. Tällaisia hiloja on kaksi: E 8 ⊕E 8 ja D 16 + (rakennettu samalla tavalla kuin E 8 ). Tämä johtaa kahteen versioon heteroottisista merkkijonoista, jotka tunnetaan nimellä E 8 ×E 8 ja SO(32).

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Smith, HJS Enemmän kuin kolme määrittelemätöntä sisältävien neliöllisten muotojen järjestyksistä ja suvuista // Proceedings of the Royal Society : Journal . - 1867. - Voi. 16 . - s. 197-208 . - doi : 10.1098/rspl.1867.0036 .
↑ Korkine, A.; Zolotareff, G. Sur les muodostaa quadratique-positiivisia (ranska) // Mathematische Annalen . - 1877. - Voi. 6 . - s. 366-389 . - doi : 10.1007/BF01442795 .
↑ Blichfeldt, HF Positiivisten neliömuotojen vähimmäisarvot kuudessa, seitsemässä ja kahdeksassa muuttujassa // Mathematische Zeitschrift : päiväkirja. - 1935. - Voi. 39 . - s. 1-15 . - doi : 10.1007/BF01201341 .
↑ Vetcinkin, NM (1980). "Positiivisten neliömuotojen luokkien ainutlaatuisuus, joissa Hermite-vakion arvot saavutetaan 6 ≤ n ≤ 8". Positiivisten neliömuotojen geometria . 152 . Trudy Math. Inst. Steklov. s. 34-86.
↑ Klarreich, Erica (30. maaliskuuta 2016), Sphere Packing Solved in Higher Dimensions , Quanta Magazine , < https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions > Arkistoitu 12. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa
↑ Viazovska, Maryna (2016), Pallon pakkausongelma dimensiossa 8, arΧiv : 1603.04246 .
↑ Levenshtein, VI Pakkaamisen rajoissa n - ulotteiseen euklidiseen avaruuteen // Neuvostoliiton Mathematics Doklady : Journal . - 1979. - Voi. 20 . - s. 417-421 .
↑ Odlyzko, A.M.; Sloane, NJA Uudet rajat yksikköpallojen määrälle, jotka voivat koskettaa yksikköpalloa n - ulotteisessa muodossa // Journal of Combinatorial Theory : Journal. - 1979. - Voi. A26 . - s. 210-214 . - doi : 10.1016/0097-3165(79)90074-8 .

Kirjallisuus

Conway, J. Kvadraattiset muodot, jotka meille annetaan tunneissa . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 s. - 1000 kappaletta. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
John Horton Conway Sloane, Neil JAPallopakkaukset ,ristikot ja ryhmät . – 3. - New York: Springer-Verlag , 1998. - ISBN 0-387-98585-9 .
John Horton Conway Smith, Derek A. Kvaternioneistaja oktonioista . - Natick, Massachusetts: A.K. Peters, Ltd, 2003. - ISBN 1-56881-134-9 . Luvussa 9 käsitellään kokonaislukuoktiinioita ja hilaa E8.