Laurent-sarja

Kompleksisen funktion Laurent-sarja on esitys tästä funktiosta potenssisarjana, jossa on termejä, joilla on negatiivinen potenssi. Nimetty ranskalaisen matemaatikon P. A. Laurentin mukaan .

Määritelmä

Laurent-sarja loppupisteessä on funktionaalinen sarja kokonaislukupotenssien joukossa kompleksilukujen kentässä : $z_{0}\in \mathbb {C}$ ${\näyttötyyli (z-z_{0})}$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},\quad

missä on muuttuja ja kertoimet .

{\displaystyle z\in {\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\))

c_{n}\in \mathbb {C}

n\in \mathbb {Z}

Tämä sarja on kahden tehosarjan summa:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n))$ on osa ei-negatiivisissa voimissa , ${\näyttötyyli (z-z_{0})}$
$\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}$ on osa negatiivisia voimia . ${\näyttötyyli (z-z_{0})}$

Laurent-sarja konvergoi silloin ja vain, jos sen molemmat osat (sekä negatiivisesti että positiivisina) lähentyvät.

Jos on Laurent-sarjan konvergenssialue sellainen, että , Sitten varten $A_{z_{0}}\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\})$ ${\displaystyle z_{0}\in \partial {A_{z_{0))))$ $A_{z_{0))$

riviä kutsutaan oikeaksi osaksi ,

{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n))

riviä kutsutaan pääosiksi .

\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

Laurentin sarja äärettömyydessä on funktionaalinen sarja kokonaislukupotenssilla kompleksilukukentän yli: $z_{0}=\infty \in {\overline {\mathbb {C} }}$ $z$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad

missä on muuttuja ja kertoimet .

{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\))

c_{n}\in \mathbb {C}

n\in \mathbb {Z}

Ulkonäöltään sarja for on sama kuin sarja , mutta muodollisesti se saatiin korvaamalla . $z_{0}=\infty$ $z_{0}=0$ $z\leftrightarrow {\frac {1}{\zeta }}$ $\zeta _{0}=0$

Jos on Laurent-sarjan konvergenssialue sellainen, että , Sitten varten $A_{\infty }\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\})$ $\infty \in \partial {A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty ))$

riviä kutsutaan oikeaksi osaksi ,

\sum _{n=-\infty }^{0}c_{n}z^{n}

riviä kutsutaan pääosiksi .

\sum _{n=+1}^{+\infty }{c_{n}}{z^{n}}

Ominaisuudet

Osa konvergoi positiivisissa voimissa sädeympyrän sisällä , ${\näyttötyyli (z-z_{0})}$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$ $R={\dfrac {1}{{\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{n}|^{1/n}}}\in [0;+\ infty ]$

negatiivisten potenssien osa konvergoi säteen ympyrän ulkopinnalla .

{\näyttötyyli (z-z_{0})}

\Delta _{r}={\overline {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {D}}_{r}=\{z\in {\overline {\mathbb {C} } }:|z-z_{0}|>r\}

{\näyttötyyli D_{r))

r={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{-n}|^{1/n}\in [0;+\infty ]

Siksi, jos , Laurent-sarjan konvergenssialueen sisäpuoli on ei-tyhjä ja on pyöreä rengas

r<R\,

A

A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}=\Delta _{r}\cap D_{ R}

Laurent-sarjan käyttäytyminen rajaympyrän pisteissä riippuu vain mielivaltaisesta , ${\displaystyle C_{R}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=R\))$ $\sum _{n=n_{s}}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$ $n_{s}\in \mathbb {N}$

ja rajaympyrän pisteissä - vain alkaen mielivaltaiselle .

{\displaystyle C_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=r\))

\sum _{n=-\infty }^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

n_{s}\in \mathbb {N}

Siten, kuten potenssisarjoissa , Laurent-sarjan käyttäytymistä renkaan rajapisteissä voidaan vaihdella.

A

Laurent - sarja konvergoi ehdottomasti kaikissa renkaan kohdissa . $A$
Missä tahansa kompaktissa osajoukossa sarja konvergoi tasaisesti . $K\subset A$
Jokaiselle pisteelle on arvo , joka on sellainen , ja Laurent-sarja voidaan kirjoittaa sarjaksi, joka suppenee potenssien suhteen : $\zeta _{0}\in A$ $\rho (\zeta _{0})=\min\{{\textrm {dist}}(C_{r}(z_{0}),\zeta _{0}),{\textrm {dist }}(C_{R}(z_{0}),\zeta _{0})\}>0$ $D_{\rho }(\zeta _{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-\zeta _{0}|<\rho (\zeta _{0})\ }\alajoukko A$ $f(z)$ $D_{\rho }(\zeta _{0})$ $(z-\zeta _{0})$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{k=0}^{+\infty } t_{k}(\zeta _{0})(z-\zeta _{0})^{k},\quad

missä ja varten ,

z\in D_{\rho }(\zeta _{0})

t_{k}(\zeta _{0})={\frac {f^{(k)}(\zeta _{0})}{k!)}}

k\in \{0\}\cup \mathbb {N}

nuo. on oikealle kohdalle . Laurentin sarjan summa on siis analyyttinen funktio .

{\displaystyle \zeta _{0))

f(z)

A

f(z)

Sillä raja-ympyröissä lähentymisrengas , On ei-tyhjiä joukkoja Pisteitä , jotka eivät ole säännöllisiä. $0<r<R<+\infty$ $A$ $I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0})$ $I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0})$ $f(z)$
Laurent-sarja voidaan erottaa millä tahansa kompaktilla termillä. $K\subset A$
Laurent-sarjan integrointi antaa yksiarvoisen funktion vain , koska mille tahansa arvolle $A$ $c_{-1}=0$ $\rho >0$ $\int \limits _{\;\,|z-z_{0}|=\rho }c_{n}(z-z_{0})^{n}\cdot dz=\left\{{ \begin{array}{ll}c_{-1}\cdot 2\pi i\,,&n=-1\,;\\0\,,&n\neq -1\,.\end{array}}\ oikein.$

Sarjat , jotka edustavat funktiota kaksoisliitetyssä toimialueessa mille tahansa kompaktille ja mille tahansa tasasuuntaiselle suuntautuneelle käyrälle , voidaan integroida termi kerrallaan , kun taas integroinnin tulos riippuu vain alku- ja loppupisteistä , eikä se riipu käyrän muodosta .

\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\,

A

f(z)-{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}\,

K\subset A

\gamma \subset K

\gamma

\gamma

\gamma

Laurent-sarjan kertoimet tyydyttävät suhteet $(c_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ $f(z)$

c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0} )^{n+1))}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z-z_{0}|=\rho }{\frac {f(z)\ ,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}

, missä on mikä tahansa tasasuuntautuva käyrä, joka sijaitsee kompaktissa ja kiertää pistettä vastapäivään kerran . Erityisesti voidaan ottaa mikä tahansa ympyrä , jonka säde on keskitetty , joka sijaitsee konvergenssirenkaan sisällä ja on suunnattu positiivisesti (parametrin täytyy kasvaa).

\gamma

K\subset A

z_{{0}}

\gamma

{\displaystyle C_{\rho }=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0;2\pi ]\))

\rho \in (r;R)

z_{{0}}

t

Laajentuminen Laurent-sarjaksi on ainutlaatuinen , eli jos kahdelle Laurent-sarjalle potenssien , jotka suppenevat in ja vastaavasti, summat osuvat yhteen tietyllä ympyrällä tai tasauskäyrällä, joka on homotooppinen siihen , niin näiden sarjan kaikki kertoimet osuvat yhteen. ${\näyttötyyli (z-z_{0})}$ $A_{1}$ $A_{2}$ $C_{\rho }=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=\rho \}\subset (A_{1}\cap A_{2})$ $A_{1}\cap A_{2}$ ${\displaystyle \gamma \sim C_{\rho ))$

Laurentin lause

Laurent-sarjan sovellus perustuu pääasiassa seuraavaan Laurentin lauseeseen:

Mikä tahansa funktio , joka on yksiarvoinen ja analyyttinen renkaassa, voidaan esittää konvergenttina Laurent-sarjana potenssien .

f(z)

{\displaystyle A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \))

A

{\näyttötyyli (z-z_{0})}

Yksiselitteisen analyyttisen funktion esitys Laurent-sarjan muodossa toimii päätyökaluna tutkittaessa sen käyttäytymistä eristetyn yksittäisen pisteen läheisyydessä : $f(z)$ $A_{z_{0))$

1) jos piste on , niin siellä on sellainen säde , että puhjennetussa naapurustossa $z_{0}\neq \infty$ $R_{z_{0}}\in (0;+\infty ]$

A_{z_{0}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad

funktio on esitettävissä (konvergoivalla) Laurent-sarjalla; $f(z)$

2) jos piste on , niin siellä on sellainen säde , että puhjennetussa naapurustossa $z_{0}=\infty$ $r_{\infty }\in [0;+\infty )$

{\displaystyle A_{\infty }=\{z\in \mathbb {C} \mid r_{\infty }<|z|<\infty \))

funktio on esitetty (konvergoivalla) Laurent-sarjalla. $f(z)$

Eristetyn singulaaripisteen tyypin määrittää Laurent-sarjan pääosa puhkaisualueella : $z_{{0}}$ $A_{z_{0))$

Irrotettava yksittäinen piste - Laurent-sarjan pääosa on yhtä suuri kuin 0.
Napa - pääosa sisältää äärellisen määrän nollasta poikkeavia termejä.
Pohjimmiltaan yksittäinen piste – pääosa sisältää äärettömän määrän nollasta poikkeavia termejä.

Kirjallisuus

Evgrafov M. A. Analyyttiset toiminnot. - 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Markushevich AI Analyyttisten funktioiden teoria. Osa 1: Teorian alku. - Toim. 2. - M .: Nauka , 1967 . — 486 s.
Privalov II Johdatus kompleksisen muuttujan funktioiden teoriaan. -13. - M .: Nauka , 1984 . — 432 s.
Titchmarsh E. Funktioteoria: Per. englannista. - 2. painos, tarkistettu. - M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. - M .: Nauka , 1969 . — 577 s.

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi