Ilmainen moduuli

Vapaa moduuli  on moduuli F renkaan R päällä ( jota yleensä pidetään assosiatiivisena identiteettielementin kanssa), jos se on joko nolla tai sillä on kanta , eli ei-tyhjä järjestelmä S elementeistä e 1 ,…e i … , joka on lineaarisesti riippumaton ja tuottaa F . Itse renkaalla R , jota pidetään vasemmanpuoleisena moduulina itsensä yläpuolella, on ilmeisesti kanta, joka koostuu renkaan yhdestä identtisyyselementistä, ja jokainen moduuli, jonka äärellinen kanta on n elementtiä , on isomorfinen suoralle summalle R nrenkaat R katsotaan moduuleiksi.

On tärkeää huomata, että joissain tapauksissa vapaassa moduulissa voi olla kaksi äärellistä kantaa, jotka koostuvat eri määrästä elementtejä. Koska tässä tapauksessa moduuli M on isomorfinen sekä Rm : n että Rn : n kanssa, missä m≠n , niin tämä tapaus on mahdollinen, jos ja vain jos renkaan R päällä on matriisit A , joiden koko on m×n ja B , joiden koko on n . ×m , niin että AB=I m ja BA=I n , missä I m ja I n  ovat neliömatriiseja. On selvää, että siinä tapauksessa, että rengas R hyväksyy homomorfismin jakorenkaaksi ( tämä tulee olemaan esimerkiksi kommutatiivisten renkaiden tapauksessa), tämä tilanne on matriisin rankominaisuuden vuoksi mahdoton. Tässä tapauksessa kannan elementtien lukumäärää kutsutaan renkaan R arvoksi ja sitä merkitään arvolla R tai rk R . Vektoriavaruuden tapauksessa avaruuden arvo on sen ulottuvuus.

Jos moduulilla on ääretön kanta, niin kaikki tällaiset kantakannat ovat ekvivalentteja.

Koska mikä tahansa Abelin ryhmä on moduuli kokonaislukujen Z renkaan yläpuolella, kaikki yllä oleva koskee myös vapaita Abelin ryhmiä.

Yleinen ominaisuus

Moduulin ominaisuus olla vapaa voidaan ilmaista kategoriateorian avulla . Lineaarinen funktio vapaiden moduulien välillä määräytyy yksiselitteisesti sen arvojen perusteella -perusteella , päinvastoin, perusteella määritelty mielivaltainen funktio voidaan laajentaa lineaariseksi funktioksi. Nämä perustan ominaisuudet voidaan formalisoida käyttämällä universaalia ominaisuutta .

Jokainen renkaan R päällä oleva moduuli voidaan liittää sen tukijoukkoon: siellä on unohtava funktio F  : R-Mod → Set . Olkoon A  jokin R -moduuli; i: X → F(A)  on jokin joukkojen välinen funktio. Sanomme, että A  on vapaa moduuli, jonka vektorikanta on i ( X ), jos ja vain jos jollekin kuvaukselle on olemassa ainutlaatuinen lineaarinen kuvaus , jossa .

Yleistykset

Jotkut ilmaisia ​​moduuleja koskevat lauseet pitävät paikkansa laajemmissa rengasluokissa. Projektiivinen moduuli  on täsmälleen jonkin vapaan moduulin suora summa , joten projektiivista moduulia koskevan väitteen todistamiseksi voimme harkita sen upottamista vapaaseen moduuliin ja käyttää perustaa. Vielä kaukaisempia yleistyksiä ovat litteät moduulit , jotka voidaan esittää äärellisesti generoitujen vapaiden moduulien suorana rajana , ja vääntövapaat moduulit .

Kirjallisuus