Luettelo trigonometristen funktioiden integraaleista

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Alla on luettelo trigonometristen funktioiden integraaleista ( antiderivaatteista ) . Integroinnin additiivinen vakio on jätetty pois kaikkialta luettelosta .

Vakio ei ole nolla. $c$

Integraalit, jotka sisältävät vain sinin

\int \sin cx\;dx=-{\frac {1}{c))\cos cx

\int \sin ^{n}cx\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos cx}{nc))+{\frac {n-1}{n} }\int \sin ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)))

\int x\sin cx\;dx={\frac {\sin cx}{c^{2))}-{\frac {x\cos cx}{c))

\int x^{2}\sin cx\;dx={\frac {2\cos cx}{c^{3))}+{\frac {2x\sin cx}{c^{2} }}-{\frac {x^{2}\cos cx}{c}}

\int x^{3}\sin cx\;dx=-{\frac {6\sin cx}{c^{4))}+{\frac {6x\cos cx}{c^{3 ))}+{\frac {3x^{2}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{3}\cos cx}{c}}

\int x^{4}\sin cx\;dx=-{\frac {24\cos cx}{c^{5}}}-{\frac {24x\sin cx}{c^{4 ))}+{\frac {12x^{2}\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {4x^{3}\sin cx}{c^{2}}}-{\ frac {x^{4}\cos cx}{c}}

\int x^{5}\sin cx\;dx={\frac {120\sin cx}{c^{6))}-{\frac {120x\cos cx}{c^{5} }}-{\frac {60x^{2}\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {20x^{3}\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {5x^{4}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{5}\cos cx}{c}}

\begin{align} \int x^n\sin cx\;dx & = n! \cdot \sin cx \left[ \frac{x^{n-1}}{c^2 \cdot (n-1)!} -\frac{x^{n-3}}{c^4 \cdot (n-3)!} +\frac{x^{n-5}}{c^6 \cdot (n-5)!} - ... \oikea] - \\ & - n! \cdot \cos cx \left[ \frac{x^n}{c \cdot n!} -\frac{x^{n-2}}{c^3 \cdot (n-2)!} +\frac {x^{n-4}}{c^5 \cdot (n-4)!} - ... \right] \end{align}

\int x^{n}\sin cx\;dx=-{\frac {x^{n}}{c}}\cos cx+{\frac {n}{c}}\int x^{ n-1}\cos cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n\geq 0{\mbox{)))

\int {\frac {\sin cx}{x}}dx=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i +1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}}

\int {\frac {\sin cx}{x^{n))}dx=-{\frac {\sin cx}{(n-1)x^{n-1))}+{\ frac {c}{n-1}}\int {\frac {\cos cx}{x^{n-1}}}dx

\int\frac{dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\ln \left|\operaattorinnimi{tg}\frac{cx}{2}\right|

\int {\frac {dx}{\sin ^{n}cx}}={\frac {\cos cx}{c(1-n)\sin ^{n-1}cx}}+{ \frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n>1{\mbox{) }}

\int\frac{dx}{1\pm\sin cx} = \frac{1}{c}\operaattorinnimi{tg}\left(\frac{cx}{2}\mp\frac{\pi}{4 }\oikea)

\int\frac{x\;dx}{1+\sin cx} = \frac{x}{c}\operaattorinnimi{tg}\left(\frac{cx}{2} - \frac{\pi}{ 4}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\cos\left(\frac{cx}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|

\int\frac{x\;dx}{1-\sin cx} = \frac{x}{c}\operaattorinnimi{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{cx}{ 2}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{cx}{2}\right)\right|

\int\frac{\sin cx\;dx}{1\pm\sin cx} = \pm x+\frac{1}{c}\operaattorinnimi{tg}\left(\frac{\pi}{4}\ mp\frac{cx}{2}\right)

\int \sin c_{1}x\sin c_{2}x\;dx={\frac {\sin((c_{1}-c_{2})x)}{2(c_{1 }-c_{2})}}-{\frac {\sin((c_{1}+c_{2})x)}{2(c_{1}+c_{2))}}\qquad {\ mbox{( }}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)))

Integraalit, jotka sisältävät vain kosinin

\int \cos cx\;dx={\frac {1}{c))\sin cx+C

\int \cos ^{n}cx\;dx={\frac {\cos ^{n-1}cx\sin cx}{nc))+{\frac {n-1}{n)) \int \cos ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)))

\int x\cos cx\;dx={\frac {\cos cx}{c^{2))}+{\frac {x\sin cx}{c))

\int x^{n}\cos cx\;dx={\frac {x^{n}\sin cx}{c}}-{\frac {n}{c}}\int x^{ n-1}\sin cx\;dx

\int {\frac {\cos cx}{x}}dx=\ln |cx|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac { (cx)^{2i}}{2i\cdot (2i)!}}

\int {\frac {\cos cx}{x^{n))}dx=-{\frac {\cos cx}{(n-1)x^{n-1))}-{\ frac {c}{n-1}}\int {\frac {\sin cx}{x^{n-1}}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)} }

\int\frac{dx}{\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\operaattorinnimi{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{ 4}\oikea)\oikea|

\int {\frac {dx}{\cos ^{n}cx}}={\frac {\sin cx}{c(n-1)\cos ^{n-1}cx}}+{ \frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n>1{\mbox{) }}

\int {\frac {dx}{1+\cos cx}}={\frac {1}{c}}\operaattorinimi {tg} {\frac {cx}{2}}

\int {\frac {dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {1}{c}}\operaattorinimi {ctg} {\frac {cx}{2}}

\int\frac{x\;dx}{1+\cos cx} = \frac{x}{c}\operaattorinnimi{tg}\frac{cx}{2} + \frac{2}{c^2} \ln\left|\cos\frac{cx}{2}\right|

\int\frac{x\;dx}{1-\cos cx} = -\frac{x}{c}\operaattorinimi{ctg}\frac{cx}{2}+\frac{2}{c^2 }\ln\left|\sin\frac{cx}{2}\right|

\int {\frac {\cos cx\;dx}{1+\cos cx))=x-{\frac {1}{c))\operaattorinimi {tg} {\frac {cx}{2 }}

\int {\frac {\cos cx\;dx}{1-\cos cx))=-x-{\frac {1}{c))\operaattorin nimi {ctg} {\frac {cx}{ 2}}

\int \cos c_{1}x\cos c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}- c_{2})}}+{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{( } }|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)))

Integraalit, jotka sisältävät vain tangentin

\int \operaattorinimi {tg} cx\;dx=-{\frac {1}{c))\ln |\cos cx|

\int \operaattorinnimi {tg} ^{n}cx\;dx={\frac {1}{c(n-1)}}\operaattorinimi {tg} ^{n-1}cx-\int \ operaattorin nimi {tg} ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {dx}{\operatorname {tg} cx+1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx+ \cos cx|

\int {\frac {dx}{\operaattorinimi {tg} cx-1}}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx-\cos cx|

\int {\frac {\operaattorinimi {tg} cx\;dx}{\operaattorinimi {tg} cx+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2c }}\ln |\sin cx+\cos cx|

\int {\frac {\operaattorinimi {tg} cx\;dx}{\operaattorinimi {tg} cx-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c }}\ln |\sin cx-\cos cx|

Integraalit, jotka sisältävät vain sekantin

\int \sec{cx} \, dx = \frac{1}{c}\ln{\left| \sec{cx} + \operaattorinnimi{tg}{cx}\right|}

\int \sec ^{n}{cx}\,dx={\frac {\sec ^{n-1}{cx}\sin {cx}}{c(n-1)))\, +\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{cx}\,dx\qquad {\mbox{ ( }}n\neq 1{\mbox{ )}}

\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \operaattorinnimi{tg}{\frac{x}{2}}

Integraalit, jotka sisältävät vain kosekantin

\int \operaattorinnimi {cosec} {cx}\,dx=-{\frac {1}{c}}\ln {\left|\operaattorinimi {cosec} {cx}+\operaattorinimi {ctg} {cx }\right|}

\int \operaattorinimi {cosec} ^{n}{cx}\,dx=-{\frac {\operaattorinimi {cosec} ^{n-1}{cx}\cos {cx}}{c(n -1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \operaattorinimi {cosec} ^{n-2}{cx}\,dx\qquad {\mbox{ ( }}n\neq 1{\mbox{)))

Integraalit, jotka sisältävät vain kotangentin

\int \operaattorinimi {ctg} cx\;dx={\frac {1}{c))\ln |\sin cx|

\int \operaattorinnimi {ctg} ^{n}cx\;dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\operaattorinimi {ctg} ^{n-1}cx-\int \operaattorinnimi {ctg} ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {dx}{1+\operaattorinimi {ctg} cx}}=\int {\frac {\operaattorinimi {tg} cx\;dx}{\operaattorinimi {tg} cx+1}}

\int {\frac {dx}{1-\operaattorinimi {ctg} cx}}=\int {\frac {\operaattorinimi {tg} cx\;dx}{\operaattorinimi {tg} cx-1}}

Integraalit, jotka sisältävät vain sinin ja kosinin

\int\frac{dx}{\cos cx\pm\sin cx} = \frac{1}{c\sqrt{2}}\ln\left|\operaattorinnimi{tg}\left(\frac{cx}{ 2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|

\int\frac{dx}{(\cos cx\pm\sin cx)^2} = \frac{1}{2c}\operaattorinnimi{tg}\left(cx\mp\frac{\pi}{4} \oikea)

\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^n} = \frac{1}{n-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{(\cos x) + \sin x)^{n - 1}} - 2(n - 2)\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^{n-2}} \oikea)

\int\frac{\cos cx\;dx}{\cos cx + \sin cx} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln\left|\sin cx + \cos cx\right|

\int\frac{\cos cx\;dx}{\cos cx - \sin cx} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\left|\sin cx - \cos cx\right|

\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx + \sin cx} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\left|\sin cx + \cos cx\right|

\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx - \sin cx} = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\left|\sin cx - \ cos cx\right|

\int\frac{\cos cx\;dx}{\sin cx(1+\cos cx)} = -\frac{1}{4c}\operaattorinnimi{tg}^2\frac{cx}{2}+ \frac{1}{2c}\ln\left|\operaattorin nimi{tg}\frac{cx}{2}\right|

\int {\frac {\cos cx\;dx}{\sin cx(1-\cos cx)))=-{\frac {1}{4c))\operaattorin nimi {ctg} ^{2} {\frac {cx}{2}}-{\frac {1}{2c}}\ln \left|\operaattorinimi {tg} {\frac {cx}{2}}\right|

\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx(1+\sin cx)} = \frac{1}{4c}\operaattorinnimi{ctg}^2\left(\frac{cx}{2 }+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2c}\ln\left|\operaattorinimi{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi }{4}\oikea)\oikea|

\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx(1-\sin cx)} = \frac{1}{4c}\operaattorinnimi{tg}^2\left(\frac{cx}{2 }+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2c}\ln\left|\operaattorinimi{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi }{4}\oikea)\oikea|

\int \sin cx\cos cx\;dx={\frac {1}{2c))\sin ^{2}cx

\int \sin c_{1}x\cos c_{2}x\;dx=-{\frac {\cos(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1} +c_{2})}}-{\frac {\cos(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}\qquad {\mbox{( }}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)))

\int \sin ^{n}cx\cos cx\;dx={\frac {1}{c(n+1)}}\sin ^{n+1}cx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int \sin cx\cos ^{n}cx\;dx=-{\frac {1}{c(n+1)))\cos ^{n+1}cx\qquad {\mbox{ ( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int \sin ^{n}cx\cos ^{m}cx\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos ^{m+1}cx}{c( n+m)))+{\frac {n-1}{n+m}}\int \sin ^{n-2}cx\cos ^{m}cx\;dx\qquad {\mbox{( } }m,n>0{\mbox{)))

\int \sin ^{n}cx\cos ^{m}cx\;dx={\frac {\sin ^{n+1}cx\cos ^{m-1}cx}{c(n +m)))+{\frac {m-1}{n+m}}\int \sin ^{n}cx\cos ^{m-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }} m,n>0{\mbox{)))

\int\frac{dx}{\sin cx\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\operaattorinnimi{tg} cx\right|

\int {\frac {dx}{\sin cx\cos ^{n}cx}}={\frac {1}{c(n-1)\cos ^{n-1}cx}}+ \int {\frac {dx}{\sin cx\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {dx}{\sin ^{n}cx\cos cx}}=-{\frac {1}{c(n-1)\sin ^{n-1}cx}} +\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}cx\cos cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\sin cx\;dx}{\cos ^{n}cx))={\frac {1}{c(n-1)\cos ^{n-1}cx} }\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int\frac{\sin^2 cx\;dx}{\cos cx} = -\frac{1}{c}\sin cx+\frac{1}{c}\ln\left|\operaattorinnimi{tg} \left(\frac{\pi}{4}+\frac{cx}{2}\right)\right|

\int {\frac {\sin ^{2}cx\;dx}{\cos ^{n}cx))={\frac {\sin cx}{c(n-1)\cos ^{ n-1}cx}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n \neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos cx))=-{\frac {\sin ^{n-1}cx}{c(n-1)} }+\int {\frac {\sin ^{n-2}cx\;dx}{\cos cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos ^{m}cx))={\frac {\sin ^{n+1}cx}{c(m- 1)\cos ^{m-1}cx}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos ^{m-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos ^{m}cx))=-{\frac {\sin ^{n-1}cx}{c(nm )\cos ^{m-1}cx))+{\frac {n-1}{nm))\int {\frac {\sin ^{n-2}cx\;dx}{\cos ^{m }cx}}\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)))

\int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos ^{m}cx))={\frac {\sin ^{n-1}cx}{c(m- 1)\cos ^{m-1}cx}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-1}cx\;dx}{\cos ^{m-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\cos cx\;dx}{\sin ^{n}cx}}=-{\frac {1}{c(n-1)\sin ^{n-1}cx }}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\left(\cos cx+\ln\left|\operaattorinnimi{tg}\frac{cx}{ 2}\oikea|\oikea)

\int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\sin^n cx} = -\frac{1}{n-1}\left(\frac{\cos cx}{c\sin^{n -1} cx)}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} cx}\oikea) \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}

\int {\frac {\cos ^{n}cx\;dx}{\sin ^{m}cx))=-{\frac {\cos ^{n+1}cx}{c(m -1)\sin ^{m-1}cx}}-{\frac {nm-2}{m-1}}\int {\frac {cos^{n}cx\;dx}{\sin ^{ m-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\cos ^{n}cx\;dx}{\sin ^{m}cx))={\frac {\cos ^{n-1}cx}{c(nm) \sin ^{m-1}cx}}+{\frac {n-1}{nm}}\int {\frac {cos^{n-2}cx\;dx}{\sin ^{m}cx }}\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)))

\int {\frac {\cos ^{n}cx\;dx}{\sin ^{m}cx))=-{\frac {\cos ^{n-1}cx}{c(m -1)\sin ^{m-1}cx}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {cos^{n-2}cx\;dx}{\sin ^{m-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)))

Integraalit, jotka sisältävät vain sinin ja tangentin

\int \sin cx\operaattorinimi {tg} cx\;dx={\frac {1}{c))(\ln |\sec cx+\operaattorinimi {tg} cx|-\sin cx)

\int {\frac {\operaattorinimi {tg} ^{n}cx\;dx}{\sin ^{2}cx}}={\frac {1}{c(n-1)))\ operaattorin nimi {tg} ^{n-1}(cx)\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

Integraalit, jotka sisältävät vain kosinin ja tangentin

\int {\frac {\operaattorinnimi {tg} ^{n}cx\;dx}{\cos ^{2}cx}}={\frac {1}{c(n+1)))\ operaattorin nimi {tg} ^{n+1}cx\qquad {\mbox{( }}n\neq -1{\mbox{)))

Integraalit, jotka sisältävät vain sinin ja kotangentin

\int {\frac {\operatorname {ctg} ^{n}cx\;dx}{\sin ^{2}cx}}={\frac {1}{c(n+1)))\ operaattorin nimi {ctg} ^{n+1}cx\qquad {\mbox{( }}n\neq -1{\mbox{)))

Integraalit, jotka sisältävät vain kosinin ja kotangentin

\int {\frac {\operaattorinnimi {ctg} ^{n}cx\;dx}{\cos ^{2}cx}}={\frac {1}{c(1-n)))\ operaattorin nimi {tg} ^{1-n}cx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

Integraalit, jotka sisältävät vain tangentin ja kotangentin

\int {\frac {\operaattorinimi {tg} ^{m}(cx)}{\operaattorinimi {ctg} ^{n}(cx)))\;dx={\frac {1}{c( m+n-1)}}\operaattorinimi {tg} ^{m+n-1}(cx)-\int {\frac {\operaattorinnimi {tg} ^{m-2}(cx)}{\operaattorinimi { ctg} ^{n}(cx)}}\;dx\qquad {\mbox{( }}m+n\neq 1{\mbox{)))

Bibliografia

Kirjat

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Integraalit, summat, sarjat ja tuotteet. - 4. painos - M .: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Integraalitaulukot Pietari: Kustantaja ja painotalo JSC VNIIG im. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 s. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqWorld
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , 31. painos, 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz ja I. A. Stegun, toim. Matemaattisten funktioiden käsikirja kaavoilla, kaavioilla ja matemaattisilla taulukoilla , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille . - M . : " Nauka ", 1974.

Integraalitaulukot

Integraalien laskeminen

Listat integraaleista funktiotyypeittäin
Perus järkevää irrationaalinen trigonometrinen käänteinen hyperbolinen käänteinen eksponentiaalinen logaritmiset funktiot

Trigonometria
Kenraali	Trigonometrian yleiskatsaus Tarina Käyttö Toiminnot Käänteinen Harvoin käytetty Yleistetty trigonometria
Hakemisto	Identiteetit Tarkat vakiot taulukoita yksikköympyrä
Lait ja lauseet	Sinilause Pythagoraan lause Kosinilause Tangenttilause Kotangenttilause Kolmioiden ratkaiseminen
Matemaattinen analyysi	Trigonometrinen korvaaminen Integraalit ( käänteisfunktiot ) Johdannaiset