Liikeyhtälö

Liikeyhtälö ( liikeyhtälöt ) on yhtälö tai yhtälöjärjestelmä , joka asettaa mekaanisen tai dynaamisen järjestelmän (esimerkiksi kentän ) kehityksen lain ajassa ja tilassa [1] .

Fyysisen järjestelmän evoluutio määräytyy yksiselitteisesti liike- ja alkuehtojen yhtälöillä .

Johdanto

Dynaamisen järjestelmän liikeyhtälö sisältää täydellisen joukon muuttujia, jotka määräävät tämän järjestelmän tilan (esimerkiksi kaikki koordinaatit ja nopeudet tai kaikki koordinaatit ja momentit) sekä niiden aikaderivaatat, mikä mahdollistaa, kun tietää tällaisen asetettu tiettyyn ajankohtaan, sen laskemiseksi hetkeksi, jonka erottaa pieni (ääretön pieni) aikaväli. Periaatteessa toistamalla tätä laskentaprosessia peräkkäin suuren (äärettömän) määrän kertoja, on mahdollista laskea kaikkien näiden muuttujien arvo hetkeksi, joka on mielivaltaisen kaukana alkuperäisestä [2] . Tällaisen prosessin avulla on mahdollista (valitsemalla riittävän pieni, mutta äärellinen) saada likimääräinen numeerinen ratkaisu liikeyhtälöistä. Tarkan [3] ratkaisun saamiseksi on kuitenkin käytettävä muita matemaattisia menetelmiä. $\Delta t$

Nykyaikaisessa kvanttiteoriassa termiä liikeyhtälö käytetään usein osoittamaan vain klassisia liikeyhtälöitä, eli vain erottamaan klassiset ja kvanttitapaukset. Tässä käytössä esimerkiksi sanat "liikeyhtälöiden ratkaisu" tarkoittavat juuri klassista (ei-kvanttia) approksimaatiota, jota voidaan sitten käyttää tavalla tai toisella kvanttituloksen saamiseksi tai siihen vertailuun. Tässä mielessä aaltofunktion evoluutioyhtälöitä ei kutsuta liikeyhtälöiksi, esimerkiksi alla mainittuja Schrödingerin yhtälöitä ja Diracin yhtälöitä ei voida kutsua elektronin liikeyhtälöiksi. Tietyn selkeyden tuo tähän lisäys, joka osoittaa liikeyhtälön, josta puhumme: joten vaikka Dirac-yhtälöä ei voida kutsua elektronin liikeyhtälöksi, se voi jopa tässä kappaleessa käsitellyssä mielessä. , jota kutsutaan spinorikentän klassiseksi liikeyhtälöksi.

Esimerkkejä

Yksinkertainen mekaaninen esimerkki

Tarkastellaan Newtonin mekaniikan puitteissa pistehiukkasta, joka pystyy liikkumaan vain yhtä suoraa linjaa pitkin (esimerkiksi sileää pinnaa pitkin liukuva helmi). Kuvaamme hiukkasen sijaintia viivalla yhdellä numerolla - koordinaatilla - x . Olkoon tähän hiukkaseen vaikutettava (esimerkiksi jollain jousella) voima f , joka riippuu hiukkasen sijainnista Hooken lain mukaan, eli valitsemalla sopiva referenssipiste x , voidaan kirjoittaa f = - kx . Tässä tapauksessa, kun otetaan huomioon Newtonin toinen laki ja kinemaattiset suhteet, jotka merkitsevät nopeutta v :lla, meillä on järjestelmällemme seuraavat liikeyhtälöt:

dv/dt=-(k/m)x

dx/dt=v

tai v poissuljettuna järjestelmästä:

d^{2}x/dt^{2}=-(k/m)x

Korvaamalla alkukoordinaatin ja nopeuden näiden yhtälöiden oikeisiin osiin ja korvaamalla äärettömän pieni d t pienellä, mutta äärellisellä , ja kirjoittamalla yhtälöt suunnilleen tämän mukaisesti ensimmäisessä muodossa - muodossa arvo ( ) = arvo (t) + derivaatta , saamme: $\delta t$ $t+\delta t$ $\delta t$

v(t+\delta t)=v(t)-(k/m)x(t)\delta t

x(t+\delta t)=x(t)+v(t)\delta t

ja siirtymällä edellisestä hetkestä seuraavaan (joka kerta kun aika kasvaa ), voimme saada näiden liikeyhtälöiden numeerisen ratkaisun taulukon muodossa , joka likimäärin edustaa x(t) ja v( t) ajoissa (askel ). Voidaan nähdä, että if valittiin tarpeeksi pieneksi, jotta x(t) ja v(t) ovat hyvin lähellä funktiota . $\delta t$ ${x(0),v(0);x(\delta t),v(\delta t);x(2\delta t),v(2\delta t);\pisteet ;x(n\delta t) ),v(n\delta t);}$ $\delta t$ $\delta t$ $const\cdot \cos({\sqrt {k/m}}\cdot t+const')$

Käyttämällä tätä likimääräistä ratkaisua tai muita näkökohtia arvauksena voimme, jos jo epäilemme, mikä ratkaisun pitäisi olla, yksinkertaisesti korvata

x=A\cos(\omega t+\phi )

missä ovat yksinkertaisesti vakiot, täsmällisiin liikeyhtälöihin, ottaen tämän lausekkeen tarvittavat aikaderivaatat. Samalla voimme varmistaa, että tämän korvaamisen aikana ei ole vaikeaa valita tiettyjä arvoja tasa-arvon toteutumiselle, ja myös löytää tähän tarpeelliset arvot (osoittaa, että ja voi olla mikä tahansa, mutta . Saimme näin liikeyhtälöiden tarkan ratkaisun ja jopa yleisen tarkan ratkaisun (eli sopivan kaikkiin alkuolosuhteisiin, mikä on helppo nähdä). $A,\omega ,\phi$ $A,\omega ,\phi$ $A,\omega ,\phi$ $A$ $\phi$ $\omega = {\sqrt {k/m))$

Nyt kun on tämä yleinen tarkka ratkaisu, voimme valita yleisten ratkaisujen joukosta (eri ja ) tietyn ratkaisun, joka täyttää tietyt alkuehdot. Näin ratkaisemme ongelman tietylle liikeyhtälölle ja alkuehtoille. $A$ $\phi$

Tämä havainnollistaa liikeyhtälön käsitettä (liikeyhtälöt) ja niiden ratkaisua tietyllä yksinkertaisella esimerkillä.

Esimerkkejä liikeyhtälöistä fysiikan eri alueilla

Klassisessa mekaniikassa Newtonin lait (Varsinaisen Newtonin lakien - nimittäin toisen - lisäksi Newtonin mekaniikan liikeyhtälöt sisältävät kinemaattisia yhtälöitä ja erityisiä voimien lakeja, kuten esimerkiksi universaalin gravitaatiolaki tai Hooken laki ). Euler-Lagrange yhtälöt Hamiltonin yhtälöt
Klassisessa tilastomekaniikassa: Liouvillen yhtälö Bogolyubovin yhtälö Boltzmannin yhtälö Vlasovin yhtälö
Klassisessa kenttäteoriassa: Maxwellin yhtälöt (voidaan kirjoittaa ja käyttää eri muodoissa). Jatkuvan väliaineen liikeyhtälö
Kvanttimekaniikassa (katso pääartikkelin huomautus liikeyhtälön sovellettavuuden mahdollisista rajoituksista tällä alueella ) Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Lindbladin yhtälö Von Neumannin yhtälö Diracin yhtälö

Muistiinpanot

↑ Kun ihmiset puhuvat liikeyhtälöistä terveessä mielessä, ne tarkoittavat differentiaali- tai integro-differentiaaliyhtälöitä (vaikka jotkin muun tyyppiset yhtälöt, kuten diskreettien järjestelmien differentiaaliyhtälöt , voivat olla melko läheinen analogia).
↑ Sanat " periaatteessa ... niin pitkälle kuin haluat " tarkoittavat, että tämä pätee yleensä vain matemaattiselle mallille (joka kuvaa aina fyysistä todellisuutta vain jossain määrin virheellisesti), kun taas täysin täsmällisesti annetuilla lähtötiedoilla; todellisuudessa järjestelmän tilan ennustamisen oikeellisuus liikeyhtälöitä käyttäen pitkäksi eteenpäin määräytyy virheet itse yhtälöiden kirjoittamisessa (verrattuna niiden kuvaamaan todellisuuteen), virhe alkuperäisten tietojen asettamisessa, ja tämän tietyn tyyppisten yhtälöiden ratkaisujen stabiilisuus ; kuitenkin useissa tapauksissa (tosin ei suinkaan kaikissa) käytännössä liikeyhtälöitä käyttävä ennustus on riittävän pitkiä aikavälejä (kuten esimerkiksi taivaanmekaniikassa) erittäin tarkkaa tai ainakin tyydyttävää.
↑ Tarkka ratkaisu tarkoittaa tietysti "tarkka matemaattisen mallin puitteissa", eli ottamatta huomioon virhettä itse yhtälöiden kirjoittamisessa; saattaa tuntua siltä, että tarkkojen ratkaisujen saamisesta ei tarvitse huolehtia, koska yhtälöt eivät sinänsä täysin heijasta fyysistä todellisuutta, puhumattakaan siitä, että usein mallin virhe on melko pieni ja ratkaisut, jotka ovat matemaattisessa mielessä tarkat ovat silloin varsin tarkkoja fysikaalisessa mielessä , tarkoilla ratkaisuilla on yleensä yksi lisäetu: ne on kirjoitettu kaavojen muodossa sellaiseen muotoon, että niitä on paljon helpompi käyttää jatkossa laskelmissa ja analyyseissa, mikä on tärkeää sekä käytännön että teoreettisen ymmärryksen kannalta, koska yksi tarkka ratkaisu useilla parametreilla on tietue äärettömästä singulaariratkaisujen perheestä.

Linkit

Liikeyhtälöt

mekaaninen liike
viitejärjestelmä	inertiaalinen viitekehys Ei-inertiaalinen viitekehys Yhdistelmäliike Suhteellisuusperiaate
Materiaalipiste	Tasainen liike Suoraviivainen liike Liikeyhtälö Liikeyhtälöt ei-inertiaalisessa vertailukehyksessä Liikerata (polku) liikkuva Nopeus Kiihtyvyys ( keskipetaalinen kiihtyvyys tangentiaalinen kiihtyvyys ) ääliö
Fyysinen vartalo	translaatioliike Taso-rinnakkaisliike ( Rinnakkaiskäännös ) Pallomainen liike ( kiertoliike Pyöreä liike Precessio nutaatio )
jatkumo	laminaari virtaus turbulentti virtaus
Liittyvät käsitteet	Nopeussuunnitelma Junan pito Kuusi vapausastetta