Liikeyhtälö ei-inertiaalisessa vertailukehyksessä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 31. tammikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 12 muokkausta .

Liikeyhtälöt ei-inertiaalisessa vertailukehyksessä ovat aineellisen pisteen (1) liikeyhtälöitä konservatiivisten voimien alalla klassisessa mekaniikassa , jotka on kirjoitettu ei-inertiaaliseen viitekehykseen (NFR), joka liikkuu suhteessa inertiakehys (ISR), jolla on translaatioliikkeen nopeus ja pyörivän liikkeen kulmanopeus . ${\mathbf {V}}$ $\mathbf {\Omega }$

ISO :ssa liike Lagrangen yhtälöllä on muotoa [1] [2] :

m{\frac {d\mathbf {v} _{0}}{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} )),

NSO:ssa yhtälö saa neljä lisätermiä (ns. Euler- inertiavoimat ) [3] :

m{\frac {d\mathbf {v} }{dt))=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}-m{\frac {d\mathbf {V } }{dt))+m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt))]+2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[\ mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]],

(yksi)

missä:

lihavoitu osoittaa vektorisuureita, hakasulkeet - vektorin kertolasku ;
indeksi viittaa ISO-arvoihin; ${\näyttötyyli _{0}}$
$t$ - aika;
$m$ on pisteen massa;
$\mathbf{v}$ on pisteen nopeusvektori;
$\mathbf {r}$ on pisteen sädevektori ;
$U$ - potentiaalinen energia .

Kaavan johtaminen

Mikä tahansa liike voidaan hajottaa translaatio- ja pyörimisliikkeiden koostumukseksi [4] . Siksi siirtymistä IFR K 0 :sta NSO K :ksi voidaan tarkastella kahden peräkkäisen vaiheen muodossa: ensinnäkin siirtyminen K 0 :sta välireferenssikehykseen K' , joka liikkuu K 0 :n suhteen eteenpäin nopeudella , ja sitten K :hen, joka pyörii suhteessa K' :ään kulmanopeudella . ${\mathbf {V}}$ $\mathbf {\Omega }$

Pienimmän toiminnan periaate ei riipu koordinaattijärjestelmästä, sen kanssa myös Lagrangen yhtälöt ovat sovellettavissa missä tahansa koordinaattijärjestelmässä.

Lagrangean kirjaimella K' ,

L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}+m\mathbf {v} '\mathbf {V} +{\frac {m\mathbf {V} ^{2}}{2}}-U,

(2)

saadaan korvaamalla hiukkasnopeuden translaatiomuunnos ISO:ssa kirjoitetuksi Lagrangian [5] : $\mathbf {v} _{0}=\mathbf {v} '+\mathbf {V}$

L_{0}={\frac {m\mathbf {v} _{0}^{2}}{2}}-U.

Sekä IFR:n että NFR:n lausekkeet kuvaavat hiukkasen kehitystä vastaavissa viitekehyksessä - energian säilymisen laissa .

Kuten tiedetään, termit, jotka ovat joidenkin funktioiden kokonaisaikajohdannaisia, voidaan jättää Lagrangin ulkopuolelle, koska ne eivät vaikuta liikeyhtälöihin (katso Lagrangin mekaniikka ). Kaavassa (2) on ajan funktio ja siten toisen ajan funktion kokonaisderivaata, vastaava termi voidaan jättää pois. vuodesta , ${\displaystyle \mathbf {V} ^{2))$ $\mathbf {v} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt))$

m\mathbf {v} '\mathbf {V} =m\mathbf {V} {\frac {d\mathbf {r} '}{dt))={\frac {d}{dt))( m\mathbf {V} \mathbf {r} ')-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} ',

jossa kokonaisaikaderivaata voidaan jälleen jättää pois. Tämän seurauksena Lagrangian (2) muuttuu $m\mathbf {V} \mathbf {r} '$

L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} '- U.

(3)

Siirrettäessä K' :sta K :hen (puhdas kierto), nopeus muuttuu . Kun korvataan yhtälöön (3), Lagrangian muodostuu K :ssa (ottaen huomioon, että ): $[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]$ $\mathbf {v} '=\mathbf {v} +[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]$ $\mathbf {r} =\mathbf {r} '$

L={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+{\frac {m }{2}}[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]^{2}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} -U.

Tämän Lagrangian kokonaisero näyttää tältä:

dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]+m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ][\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]-m{\frac {d\mathbf {V} } {dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r}

Käyttämällä Lagrangen kaavaa ja muuttamalla operaatioiden järjestystä vektorien sekatulossa Lagrangin differentiaali voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+md\mathbf {r} [\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]\mathbf {\Omega } ]d\mathbf {r} -m{\frac {d\mathbf {V} }{ dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r} .

Lagrangin osittaiset johdannaiset suhteessa ja vastaavasti ovat: $\mathbf{v}$ $\mathbf {r}$

{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=m\mathbf {v} +m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ],

{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r } ]\mathbf {\Omega } ]-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt))-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} )).

Sen jälkeen kun osittaiset derivaatat on korvattu Euler-Lagrange-muodossa olevaan liikeyhtälöön

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }} ,

saadaan kaava (1).

Fyysinen merkitys

Vektoriyhtälö (1) kuvaa materiaalipisteen liikettä ei-inertiaalisessa vertailukehyksessä (NRS), joka liikkuu suhteessa inertiaaliseen kehykseen (ISR ) translaationopeudella ja pyörimisliikkeen kulmanopeudella . Tässä tapauksessa kehoon kohdistettu ulkoinen voima, joka saa aikaan translaatioliikkeen, korvataan potentiaalikentällä , jossa konservatiiviset voimat vaikuttavat . [6]

Samaan aikaan NFR:n liikettä suhteessa IFR:ään kutsutaan kannettavaksi, minkä seurauksena NFR:ään liittyviä nopeuksia, kiihtyvyksiä ja voimia kutsutaan myös kannettavaksi. [7] [8]

Lauseke on yhtälön (1) oikealla puolella olevien voimien summan tuloksena oleva vektori [9] . $m{\frac {d\mathbf {v} }{dt))$

Hiukkasen potentiaalienergian osittainen derivaatta ulkoisessa kentässä voimien "sovelluskohdan" sädevektoria pitkin määrittää kaikkien ulkoisista lähteistä vaikuttavien voimien summan [9] , $U$ $\mathbf {r}$

-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}

Tasaisessa voimakentässä vaikuttavan kannettavan voiman ilmaisu, joka puolestaan johtuu järjestelmän kiihtyvästä translaatioliikkeestä, on muotoa

m{\frac {d\mathbf {V} }{dt))

missä on vertailujärjestelmän translaatioliikkeen kiihtyvyys [9] . ${\frac {d\mathbf {V} }{dt))$ $K'$

Yhtälön (1) "hitausvoimat", jotka johtuvat vertailukehyksen pyörimisestä, koostuvat kolmesta osasta.

Ensimmäinen osa on kannettava voima, joka liittyy vertailukehyksen epätasaiseen pyörimiseen [9] :

m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt))]

Toinen osa

2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]

on Coriolis-voiman ilmaus . Toisin kuin lähes kaikki klassisessa mekaniikassa käsitellyt hajoamattomat voimat , sen arvo riippuu hiukkasen nopeudesta [9] .

Kolmatta osaa edustaa kannettava keskipakovoima

m[\mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]]

Se sijaitsee tasossa, joka kulkee ja , ja on suunnattu kohtisuoraan HCO:n pyörimisakseliin (eli suuntaan ), poispäin akselista. Keskipakovoiman suuruus on , missä on etäisyys hiukkasesta pyörimisakseliin. [9] $\mathbf {r}$ $\mathbf {\Omega }$ $\mathbf {\Omega }$ ${\displaystyle m\rho \Omega ^{2))$ $\rho$

Muistiinpanot

↑ Landau, Lifshitz, 1988 , s. 163.
↑ Skalaarisuureen derivaatta suhteessa vektoriin tässä ja alla ymmärretään vektoriksi, jonka komponentit ovat tämän skalaarisuureen derivaattoja suhteessa vektorin vastaaviin komponentteihin.
↑ Landau, Lifshitz, 1988 , s. 165.
↑ Arnold, 1979 , s. 107.
↑ Landau, Lifshitz, 1988 , s. 164.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. § 34. Jäykän kappaleen liike. //T. I. Mekaniikka. Teoreettinen fysiikka. - 5. - M.: FIZMATLIT, 2004. - S. 166-168. — 222 s. — ISBN 5-9221-0055-6.
↑ Targ S. M. Lyhyt kurssi teoreettisesta mekaniikasta. - 20.- Moskova "Higher School", 2010, - S. 156 - 416 s. ISBN 978-5-06-006193-2
↑ Nikolaev V.I. Hitausvoimat yleisessä fysiikan kurssissa. - "Liikuntakasvatus yliopistoissa", v.6, N 2, 2000. - ISSN 1609-3143 (painettu), 1607-2340 (on-line).
↑ 1 2 3 4 5 6 Landau L. D., Lifshits E. M. § 34. Jäykän kappaleen liike. //T. I. Mekaniikka. Teoreettinen fysiikka. - 5. - M.: FIZMATLIT, 2004. - S. 168. - 222 s. — ISBN 5-9221-0055-6.

Kirjallisuus

L. D. Landau, E. M. Lifshits. § 39. Liikkuminen ei-inertiaalisessa viitekehyksessä // Teoreettinen fysiikka . - M . : Nauka, 1988. - T. I. Mekaniikka. - S. 163-167. — 216 s. — ISBN 5-02-013850-9 . (Venäjän kieli)
V.I. Arnold. § 26. Liikkuminen liikkuvassa koordinaattijärjestelmässä // Klassisen mekaniikan matemaattiset menetelmät . - M .: Nauka, 1979. - S. 106-110. — 432 s. (Venäjän kieli)

mekaaninen liike
viitejärjestelmä	inertiaalinen viitekehys Ei-inertiaalinen viitekehys Yhdistelmäliike Suhteellisuusperiaate
Materiaalipiste	Tasainen liike Suoraviivainen liike Liikeyhtälö Liikeyhtälöt ei-inertiaalisessa vertailukehyksessä Liikerata (polku) liikkuva Nopeus Kiihtyvyys ( keskipetaalinen kiihtyvyys tangentiaalinen kiihtyvyys ) viiva
Fyysinen vartalo	translaatioliike Taso-rinnakkaisliike ( Rinnakkaiskäännös ) Pallomainen liike ( kiertoliike Pyöreä liike Precessio nutaatio )
jatkumo	laminaari virtaus turbulentti virtaus
Liittyvät käsitteet	Nopeussuunnitelma Junan pito Kuusi vapausastetta