Ljapunovin fraktaali

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. toukokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Ljapunov - fraktaalit (tunnetaan myös nimellä Markus-Lyapunov-fraktaalit ) ovat logistisen kartan laajennuksella generoituja bifurkaatiofraktaaleja , joissa väestön kasvunopeus r muuttaa ajoittain arvoa A :sta B :hen ja päinvastoin.

Ljapunov-fraktaalit rakennetaan kartoittamalla vakaan ja kaoottisen käyttäytymisen alueita, mitattuna Ljapunov-eksponentilla ( en ) tasossa a - b tietylle jaksolliselle a:n ja b :n sekvenssille . Kuvissa keltainen vastaa vakautta ( ) ja sininen kaaosta ( ). $\lambda$ $\lambda < 0$ $\lambda>0$

Ominaisuudet

Lyapunov - fraktaalit rakennetaan yleensä arvoille A ja B välissä . Suuremmilla arvoilla intervalli ei ole enää stabiili, ja sekvenssillä on todennäköisimmin taipumus äärettömyyteen, vaikka joillakin parametreilla on edelleen äärellisten arvojen konvergensseja. Kaikille iteratiivisille sarjoille diagonaali a = b on sama kuin vakiologistisessa funktiossa yhdellä parametrilla. $[0,4]$ $[0,1]$

Sarja alkaa yleensä 0.5:stä, joka on iteratiivisen funktion kriittinen piste . Muut (yleensä kompleksiarvoiset ) yhden täydellisen syklin iteratiivisen funktion kriittiset pisteet ovat ne, jotka läpäisevät arvon 0,5 ensimmäisessä jaksossa. Suppenevan syklin on sisällettävä vähintään yksi kriittinen piste, joten kaikki konvergenttijaksot voidaan saada vain siirtämällä iteratiivista sekvenssiä säilyttäen alkuarvon 0,5. Käytännössä tämän sekvenssin siirtäminen aiheuttaa muutoksia fraktaaliin , koska jotkut haarat menevät päällekkäin muiden kanssa. Huomaa esimerkiksi, että iteraatiosekvenssin AB Ljapunov-fraktaali ei ole täysin symmetrinen a :n ja b :n suhteen .

Algoritmi Ljapunov-fraktaalien generoimiseksi

Valitse merkkijono A- ja B-merkeistä, joiden pituus ei ole triviaali (esimerkiksi AABAB).
Muodosta merkkijonon peräkkäisten merkkien sarja, toistetaan tarvittava määrä kertoja. $S$
Valitse piste . ${\näyttötyyli (a,b)\in [0,4]\times [0,4]}$
Määritä funktio . $r_{n}={\begin{cases}a,&S_{n}=A\\b,&S_{n}=B\end{cases))$
Hyväksy ja toista . $x_{0}=0,5$ $x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})$
Laske Ljapunov-eksponentti (englanniksi) : $\lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n} (1-2x_{n})|$
Väritä piste vastaanotetun arvon mukaan . $(a, b)$ $\lambda$
Toista vaiheet 3-7 jokaiselle kuvatason pisteelle.

Käytännössä se arvioidaan valitsemalla riittävän suuri . Tämä algoritmi sopii kielille , kuten Mathematica , mutta ei matalan tason kielille . $\lambda$ $N$

Lisää mittoja

Lyapunov-fraktaalit voidaan laskea useammassa kuin kahdessa ulottuvuudessa. Iteratiivinen n-ulotteisen fraktaalin sarja rakennetaan aakkosesta, jossa on n kirjainta. Esimerkiksi 3D-fraktaalin "ABBBCA"-sekvenssi, joka voidaan hahmontaa joko 3D-objektina tai animaationa, jonka jokainen kehys näyttää "viipaleen" C-suunnassa, kuten artikkelin esimerkissä .

Linkit

EFG:n fraktaalit ja kaaos - Ljapunov-eksponentit
Elert, Glenn Lyapunov Space . Kaaoksen hyperoppikirja . Haettu 23. helmikuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 30. maaliskuuta 2012. (määrätön) (Englanti)

fraktaaleja
Ominaisuudet	fraktaali ulottuvuus Hausdorffin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus rekursio itsensä samankaltaisuus
Yksinkertaisimmat fraktaalit	Fern Barnsley Kantorin setti lohikäärmeen käyrä Kochin käyrä Sieni Menger Sierpinski matto Sierpinskin kolmio Tilan täyttökäyrä
outo houkutin	Multifraktaali
L-järjestelmä	Tilan täyttökäyrä
Bifurkaatiofraktaalit	Julia setti Ljapunovin fraktaali Mandelbrot setti Newtonin altaat
Satunnaiset fraktaalit	Brownin liike ruskea puu fraktaalipinta Perkolaatioteoria
Ihmiset	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Aleksanteri Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
liittyvät aiheet	Kuinka pitkä Ison-Britannian rannikko on? » Rannikkoparadoksi