Perusryhmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. syyskuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Perusryhmä on määrätty ryhmä , joka liittyy topologiseen avaruuteen . Karkeasti sanottuna tämä ryhmä mittaa avaruudessa olevien "reikien" määrää. "Reiän" olemassaolo määräytyy mahdottomuus muuttaa jatkuvasti jotakin suljettua käyrää pisteeksi.

Avaruuden perusryhmää merkitään yleensä tai -merkillä , jälkimmäinen merkintä soveltuu yhdistettyihin tiloihin. Perusryhmän triviaalisuus kirjoitetaan yleensä muodossa , vaikka merkintä onkin sopivampi. $X$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{1}(X)$ $\pi _{1}(X)=0$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)=\{1\))$

Määritelmä

Antaa olla topologinen tila , jossa on merkitty kohta . Harkitse joukon silmukoita alkaen ; eli joukko jatkuvia kartoituksia siten, että . Kaksi silmukkaa ja katsotaan vastaaviksi, jos ne ovat homotooppisia keskenään silmukoiden luokassa, eli niitä yhdistää homotooppi , joka täyttää ominaisuuden . Vastaavia ekvivalenssiluokkia (merkitty ) kutsutaan homotopialuokiksi . Kahden silmukan tulo on silmukka, joka määräytyy niiden peräkkäisen kulun perusteella: $X$ $x_{0}\in X$ $X$ $x_{0}$ $f\kaksoispiste [0,1]\X$ $f(0)=x_{0}=f(1)$ $f$ $g$ $f_t$ $f_{t}(0)=x_{0}=f_{t}(1)$ $[f]$

(f*g)(t)={\begin{cases}f(2t),~t\in [0,{1 \over 2}]\\g(2t-1),~t\in [{1 \over 2},1]\end{cases}}

Kahden homotopialuokan tulo on silmukoiden tulon homotoopialuokka . Voidaan osoittaa, että se ei riipu luokkien silmukoiden valinnasta. Homotopy-silmukkaluokkien joukko tällaisella tuotteella muuttuu ryhmäksi . Tätä ryhmää kutsutaan merkityn pisteavaruuden perusryhmäksi ja sitä merkitään . $[f]$ $[g]$ $[f*g]$ $X$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$

Kommentit

Ammattilaista voidaan pitää tilaparina . $(X,x_{0})$ ${\näyttötyyli (X,\{x_{0}\})}$
Ryhmän yksikkö on identtisen tai kiinteän silmukan luokka, käänteiselementti on vastakkaiseen suuntaan kulkevan silmukan luokka.
Jos on polkuun yhdistetty avaruus , niin isomorfismiin asti perusryhmä ei ole riippuvainen merkitystä pisteestä. Siksi tällaisiin tiloihin voidaan kirjoittaa ilman pelkoa hämmennyksen aiheuttamisesta. Kuitenkin kahdelle pisteelle kanoninen isomorfismi ja välillä on olemassa vain, jos perusryhmä on Abelin. $X$ $\pi _{1}(X)$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $x,y\in X$ $\pi_{1}(X,x)$ $\pi _{1}(X,y)$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Jokainen jatkuva kärkiavaruuksien kartoitus saa aikaan homomorfismin , jonka määrittelee kaava . Siten perusryhmän ottaminen yhdessä kuvatun operaation kanssa muodostaa funktorin . $\varphi :(X,x_{0})\to (Y,\varphi (x_{0}))$ $\varphi _{*}=\pi _{1}\varphi :\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,\varphi (x_{0}))$ $\varphi _{*}[f]=[\varphi f]$ $\pi _{1}:{\mathbf {hTop}}\to {\mathbf {Grp}}$

Avaruutta kutsutaan yksinkertaisesti yhdistetyksi , jos se on polkuyhteydessä ja ryhmä on triviaali (koostuu vain yhdestä). $X$ $\pi _{1}(X)$

Esimerkkejä

B :llä on vain yksi homotopiasilmukkaluokka. Siksi perusryhmä on triviaali, . Sama pätee mihin tahansa avaruuteen - arvon kupera osajoukko . $\mathbb {R} ^{n}$ $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{n})=0$ $\mathbb {R} ^{n}$

Ympyrässä jokainen homotopialuokka koostuu silmukoista, jotka kiertyvät ympyrän ympäri tietyn määrän kertoja, jotka voivat olla positiivisia tai negatiivisia suunnasta riippuen. Siksi ympyrän perusryhmä on isomorfinen kokonaislukujen additiiviseen ryhmään nähden . ${\mathbb S}^{1}$ $\mathbb {Z}$

-ulotteisen sfäärin perusryhmä on triviaali kaikille . $n$ ${\mathbb S}^{n}$ $n\geq 2$

Kahdeksan perusryhmä on ei-abelilainen - se on ilmainen tuote . Yleisempi tulos on pätevä, joka seuraa van Kampenin lausetta : jos ja ovat polkuun liitettyjä avaruuksia ja ovat paikallisesti yksinkertaisesti kytkettyjä, niin niiden kimpun perusryhmä (liimautuminen valittuun kohtaan) on isomorfinen niiden vapaan tuotteen kanssa. perusryhmät: $\mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {Z} *\mathbb {Z}$ $X$ $Y$ $\pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).$

Rei'itetyillä pisteillä varustetun tason perusryhmä on vapaa ryhmä generaattoreineen. $\mathbb {R} ^{2}$ $n$ $n$

Suvun orientoidun suljetun pinnan perusryhmä voidaan antaa generaattoreilla yhdellä suhteella: . $g$ $a_{1},\pisteet ,a_{g},b_{1},\pisteet ,b_{g}$ $a_{1}b_{1}a_{1}^{{-1}}b_{1}^{{-1}}\pisteet a_{g}b_{g}a_{g}^{{-1} }b_{g}^{{-1}}=1$

Ominaisuudet

Avaruuden perusryhmä riippuu vain sen homotoopiatyypistä .
- Päinvastoin pätee polkuun kytketyille asfäärisille tiloille ; katso myös K(G,n)-avaruus .

Jos on retract , joka sisältää merkityn pisteen , niin upotuksen aiheuttama homomorfismi on injektiivinen . $A$ $X$ $x_{0}$ $i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})$ $i:A\hookrightarrow X$
- Erityisesti polkuun yhdistetyn komponentin perusryhmä, joka sisältää merkityn pisteen, on isomorfinen kaiken perusryhmän kanssa . $X$ $X$
- Jos on
tiukka muodonmuutos perääntyä , niin se on isomorfismi. $A$ $X$ $i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})$

$\pi_{1}$ säilyttää tuotteen : jokaiselle topologiselle avaruudelle, jossa on merkittyjä pisteitä ja jossa on isomorfismi $(X,x_{0})$ $(Y,y_{0})$ $\pi _{1}(X\kertaa Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y ,y_{0}),$

luonnollinen ja .

(X,x_{0})

(Y,y_{0})

Van Kampenin lause : Jos on polkuun yhdistettyjen avoimien joukkojen liitto , joista jokainen sisältää merkityn pisteen , ja jos jokainen leikkauspiste on polkuyhteydessä, niin upotusten indusoima homomorfismi on surjektiivinen. Lisäksi, jos jokainen leikkauspiste on polulla yhdistetty, homomorfismin ydin on pienin normaali alaryhmä , joka sisältää kaikki muodon elementit (jos upottaminen indusoi ), ja siksi indusoi isomorfismin ( ensimmäinen isomorfismilause ). [1] Erityisesti $X$ $A_{\alpha}$ $x_{0}\in X$ $A_{\alpha }\cap A_{\beta }$ $\Phi :\ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })\to \pi _{1}(X)$ $A_{\alpha }\hookrightarrow X$ $A_{\alpha }\cap A_{\beta }\cap A_{\gamma }$ $\Phi$ $N$ $i_{{\alpha \beta }}(\omega )i_{{\beta \alpha }}(\omega )^{{-1}}$ $i_{{\alpha\beta }}$ $A_{\alpha }\cap A_{\beta }\hookrightarrow A_{\alpha }$ $\Phi$ $\pi _{1}(x)\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })/N$
- $\pi_{1}$ säilyttää sivutuotteet : luonnollisesti yli kaiken . $\pi _{1}(\bigvee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(X_{\alpha })$ $X_{\alpha }$
- (kahden tapaus ): kolminkertaisten risteysten ehto tulee tarpeettomaksi, ja käy ilmi, että mikä on rajoitettu (polkuun yhdistetty tapaus )
iskujen säilymisen muoto . $A_{\alpha}$ $\pi _{1}(A_{1}\cup A_{2})\cong \pi _{1}(A_{1}){\mathbin {\ast _{{\pi (A_{1}\cap A_{2})}}}}\pi _{1}(A_{2})$ $A_{1}\cap A_{2}$

Topologisen ryhmän perusryhmä on Abelin, kuten Eckmann-Hiltonin argumentti osoittaa .

Vapaat ryhmät ja vain ne voidaan toteuttaa graafien perustavanlaatuisina ryhminä (itse asiassa virittävän puun supistaminen pisteeseen toteuttaa graafin ja ympyröiden homotopiaekvivalenssin , voidaan soveltaa myös van Kampenin lausetta).

Satunnainen ryhmä voidaan toteuttaa kaksiulotteisen solukompleksin perusryhmäksi .

Satunnainen äärellinen ryhmä voidaan toteuttaa suljetun 4-monijoukon perusryhmänä.

Avaruuden perusryhmä vaikuttaa siirtymillä tämän tilan universaaliseen peittoon (jos universaalipeite määritellään).

Muunnelmia ja yleistyksiä

Perusryhmä on ensimmäinen homotopiaryhmistä .
Avaruuden perusryhmäoidi on ryhmittymä , jonka objektit ovat pisteitä ja jonka morfismit ovat homotopiapolkuluokkia polun koostumuksella. Lisäksi , ja jos on polkuun yhdistetty, niin upotus on kategorioiden ekvivalenssi . $X$ $\Pi(X)$ $X$ $\pi _{1}(X,x_{0})\cong \operaattorinimi {Aut}_({\Pi (X)))x_{0}$ $X$ $\pi _{1}(X,x_{0})\hookrightarrow \Pi (X)$

Muistiinpanot

↑ A. Hatcher , Algebrallinen topologia, M.: MTsNMO, 2011.

Kirjallisuus

Vasiliev V. A. Johdatus topologiaan. - M .: FAZIS, 1997. - 132 s. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Matveev SV Perusryhmä: Luennot kurssista "Topologia". - Tšeljabinsk: ChelGU, 2001. - 16 s. (siellä on pdf)
Fomenko Anatoli Timofejevitš. Differentiaaligeometria ja topologia (lisäluvut). - R&C dynaaminen, 1999. - 250 s.