Weierstrassin elliptiset funktiot

Weierstrassin elliptiset funktiot ovat yksi yksinkertaisimmista elliptisistä funktioista . Tämä funktioluokka (elliptisestä käyrästä riippuen) on nimetty Karl Weierstrassin mukaan . Niitä kutsutaan myös Weierstrass -funktioiksi ja niitä käytetään symbolilla (tyylitelty P ). $\wp$ $\wp$

Määritelmä

Olkoon annettu elliptinen käyrä , jossa on hila in . Silloin siinä oleva Weierstrass -funktio on sarjan summaksi määritelty meromorfinen funktio $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ $\Gamma$ $\mathbb {C}$ $\wp$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}\left({\frac {1}{(zw)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\oikea).

Voidaan nähdä, että näin määritelty funktio on -jaksollinen päällä ja siksi meromorfinen funktio . $\Gamma$ $\mathbb {C}$ $E$

Weierstrassin funktion määrittelevä sarja on tietyssä mielessä "säännöstetty versio" divergentistä sarjasta - "naiivi" yritys määritellä -jaksollinen funktio. Tämä jälkimmäinen poikkeaa ehdottomasti (ja luonnollisen järjestyksen puuttuessa on järkevää puhua vain absoluuttisesta konvergenssista) kaikille z:lle, koska kiinteälle z:lle ja suurelle w:lle sen ehtojen moduulit käyttäytyvät kuten , ja summa kaksiulotteinen hila hajoaa. $\sum _{{w\in \Gamma }}{\frac {1}{(zw)^{2}}}$ $\Gamma$ $\Gamma$ ${\frac {1}{|w|^{2}}}$ $\sum _{{w\in \Gamma }}{\frac {1}{|w|^{2}}}$ $\Gamma$

Määritelmän muunnelmia

Asettamalla hilan sen perustaksi, voimme kirjoittaa $\Gamma$ $\Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in {\mathbb {Z}}\}$

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2))}+\sum _{{(m,n)\in {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\left({\frac {1}{(zm\omega _{1}-n\omega _{2})^{ 2))}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\oikea).

Lisäksi koska Weierstrassin funktio kolmen muuttujan funktiona on homogeeninen , merkitsee , meillä on yhtäläisyys $\wp (az;a\omega _{1},a\omega _{2})=a^{{-2}}\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$ $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{{-2}}\wp (z/\omega _{1};1,\tau ) .

Siksi harkitse

\wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{(m,n)\in {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\left({\frac {1}{(zmn\tau )^{2}}}-{\frac {1}{ (m+n\tau )^{2}}}\oikea).

Ominaisuudet

Weierstrass-funktio on parillinen meromorfinen funktio elliptisellä käyrällä E, jossa yksi toisen asteen napa on 0. $\wp _{E}:E\mapsto \widehat {{\mathbb {C}}}$
Asteen 2 meromorfisena kartoitusna se määrittelee kaksiarkkisen haarautuneen päällysteen Riemannin pallolle toruksen E avulla. Tällä peitteellä on neljä haarautumispistettä : ääretön ja kolme kriittistä arvoa . Nämä neljä arvoa ovat kuvia neljästä pisteestä, jotka käyrän E automorfismi - piste 0 ja kolme puolijaksoa ovat jättäneet paikoilleen . Siten Weierstrass-funktio toteuttaa isomorfismin (tai tarkemmin sanottuna laskeutuu isomorfismiin) topologisen sfäärin (joka perii monimutkaisen rakenteen E:n kanssa) ja Riemannin pallon välillä . $e_{1},e_{2},e_{3}$ $z\mapsto -z$ $\omega _{1}/2,\omega _{2}/2,(\omega _{1}+\omega _{2})/2$ $E/(z\mapsto -z)$ $\widehat {{\mathbb {C}}}$
Käyttämällä laajennusta ja summaamalla voimme saada laajennuksen Weierstrass-funktion kohdasta Laurent-sarjaksi: ${\frac {1}{(wz)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\sum \nolimits _{{j=1}}^{{\infty } }{\frac {j+1}{w^{{j+2))))z^{j}$ $w\in \Gamma \setminus \{0\}$ $z = 0$

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{k=2}}^{{\infty }}(2k+1)G_{{ 2k}}(\Gamma )z^{{2k-2}},$ missä ovat hilan Eisenstein-sarjat (vastaavat parittomat summat ovat nolla). $G_{{2k}}(\Gamma )=\sum _{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}w^{{-2k}}$ $\Gamma$

Kertoimet kohdassa ja kirjoitetaan kuitenkin usein erilaisessa, perinteisessä normalisoinnissa, joka liittyy (katso alla) elliptisen käyrän upottamiseen : $z^{2}$ $z^{4}$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{ \frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\pisteet ,

missä ja ovat hilan modulaariset invariantit : $g_{2}$ $g_{3}$ $\Gamma$

g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).

Elliptisten käyrien upottaminen ${\mathbb {C}}P^{2}$

Weierstrass-funktioiden avulla voit muodostaa elliptisen käyrän upotuksen esittämällä yhtälön, joka määrittelee kuvan. Tämä muodostaa vastaavuuden elliptisen käyrän "algebrallisten" ja "topologisten" näkemysten välillä - jolloin voit upottaa elliptisen käyrän ja kirjoittaa eksplisiittisesti kuvan määrittelevän yhtälön. ${\mathbb {C}}P^{2}$ $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

Tarkastellaan nimittäin pisteen ulkopuolella annettua kuvausta Koska funktio on meromorfinen, tämä kuvaus ulottuu holomorfiseen kartoitukseen välillä - . $F:E\to {\mathbb {C}}P^{2}$ $z = 0$ $F(z)=(\wp (z),\wp '(z))\in {\mathbb {C}}^{2}.$ $\wp$ $E$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

Tämän kartoituksen kuva voidaan määrittää tarkasti. Nimittäin sekä funktion että funktion ainoa napa on piste . Lisäksi, koska on parillinen funktio, se on pariton ja vastaavasti parillinen. Funktiolla on toisen kertaluvun napa nollassa - joten navat voidaan poistaa vähentämällä lineaarinen potenssien yhdistelmä . Kertoimien nimenomainen valinta laajennuksista $\wp (z)$ $\wp '(z)$ $z = 0$ $\wp (z)$ $\wp '(z)$ $(\wp '(z))^{2}$ $\wp (z)$ $(\wp')^{2}$ $\wp$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{ \frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\pisteet ,

(\wp '_{E}(z))^{2}=\left(-{\frac {2}{z^{3}}}+{\frac {1}{10}}g_{2} (\Gamma )z+{\frac {1}{7}}g_{3}(\Gamma )z^{3}+\pisteet \oikea)^{2}={\frac {4}{z^{6 ))}-{\frac {2}{5}}g_{2}(\Gamma ){\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {4}{7}}g_{3 }(\Gamma )+\pisteet ,

näemme sen eron

\varphi (z)=(\wp _{E}'(z))^{2}-4\wp _{E}^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)

on ei-yksikkö kohdassa . Mutta se on myös holomorfinen ulkopuolella (koska ja on holomorfinen ), joten se on holomorfinen funktio koko kompaktilla Riemannin pinnalla . Maksimiperiaatteen nojalla se on vakio. Lopuksi, samasta laajennuksesta nollassa, löydämme sen arvon - se osoittautuu yhtä suureksi kuin . Lopuksi funktio muuttuu identtiseksi nollaksi. Siten kartoituksen kuva on yhtälön antama elliptinen käyrä $z = 0$ $\varphi (z)$ $z = 0$ $\wp$ $\wp'$ $\varphi (z)$ $E$ $\varphi (z)$ $-g_{3}(E)$ $(\wp '(z))^{2}-4\wp ^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)+g_{3}(E)$ $E$ $F$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

y^{2}=4x^{3}-g_{2}(E)x-g_{3}(E).

Tarkkaan ottaen "historialliset" kertoimet 60 ja 140, jotka yhdistävät modulaariset invariantit ja vastaavien käänteisten potenssien summien ja , liittyvät juuri tähän : tällaisen perinteisen normalisoinnin valinnan vuoksi yhtälössä käyrälle ja on täsmälleen ja on vapaa termi. $g_{2}$ $g_{3}$ $G_{2}(E)$ $G_{3}(E)$ $g_{2}$ $g_{3}$ $x$

Holomorfiset muodot, jaksohilat ja käänteinen kartoitus

Elliptiselle käyrälle hila, joka määrittelee sen , ei ole yksiselitteisesti määritelty: se on määritelty suhteellisuusrajaan asti. Kuitenkin hila vastaa yksi yhteen paria , jossa on nollasta poikkeava holomorfinen 1-muoto : voidaan ottaa projektio muotoihin , sitten se palautetaan joukkona kaikkia mahdollisia integraaleja silmukoiden yli. torus : $E$ $\Gamma$ $(E,\omega)$ $\omega$ $E$ $\omega$ $E$ $dz$ $\mathbb {C}$ $\Gamma$ $\omega$ $E$

\Gamma =\vasen\{\int _{{\gamma }}\omega \mid \gamma \in H_{1}(E)\oikea\}

Elliptisellä käyrällä on holomorfinen muoto , joka on kartoituksen kuva . On helppo nähdä, että se on täsmälleen sama kuin lomakkeen kuva, kun se näytetään . Tämä antaa meille mahdollisuuden tehdä useita johtopäätöksiä kerralla: $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$ $F=(\wp _{E},\wp '_{E})$ $\omega ={\frac {dx}{y}}$ $dz$ $E$ $F$

Käänteistä kartoitusta kartoitukseen etsitään muodon integraalina : $F$ $\omega$

z(x,y)=\int _{{\infty }}^{{(x,y))){\frac {dx}{y}},

jossa integrointi suoritetaan elliptisellä käyrällä olevaa polkua pitkin . Käyrän äärettömässä oleva piste valitaan integrointipolun alkuun, koska se on pisteen F-kuva ja polun valinnan muuttaminen toiseen johtaa tuloksen muutokseen kauden hila . $F(E)$ $F(E)$ $z = 0$ $\Gamma$

Käänteinen kuvaus Weierstrass-funktiolle saadaan kaavalla

\wp _{E}^{{-1}}(x)=\int _({\infty }}^{x}{\frac {dx}{\pm {\sqrt {4x^{3}+g_ {2}(E)x+g_{3}(E)}}}}.

(merkin valinta vastaa jommankumman valintaa elliptisellä käyrällä olevasta kahdesta esikuvasta, ja muutos integrointipolussa johtaa lasketun esikuvan siirtymiseen elementin verran ). $\Gamma$

Hila rekonstruoidaan joukoksi muotointegraaleja kaikilla mahdollisilla suljetuilla poluilla elliptisellä käyrällä . $\Gamma$ ${\frac {dx}{y))$ $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$

Pisteiden lisääminen elliptiseen käyrään

Elliptinen käyrä on (tai tarkemmin sanottuna voidaan tehdä) Abelin ryhmä lisäämällä. "Algebrallisessa" esityksessä tämä on yksinkertaisesti pisteen lisäys . "Geometriselle" - kuten käyrälle upotettuna - tämä lisäys saadaan valitsemalla äärettömän kaukana oleva piste nollaksi ja sääntö "kolme yhdellä suoralla olevaa pistettä laskevat yhteen nollan." $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ $\mathbb {C}$ ${\mathbb {C}}P^{2}$ $y^{2}=4x^{3}+px+q$

On luonnollista odottaa, että Weierstrass-funktiosta muodostettu mappaus muuttaa algebrallisesti annetun lisäyksen geometrisesti annetuksi, mikä on tilanne. Tämä (koska kolmen pisteen kollineaarisuus saadaan kääntämällä determinantti nollaan) vastaa seuraavaa suhdetta: $F=(\wp(z),\wp '(z))$

\det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w) &1\end{bmatrix}}=0

mille tahansa . Myös parillisen ja parittoman pariteetin vuoksi se voidaan kirjoittaa muodossa $u+v+w=0$ $\wp$ $\wp'$

\det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\\\wp (z+w)&-\wp ' (z+w)&1\end{bmatriisi}}=0

Sovellukset holomorfisessa dynamiikassa

Rakennamme Weierstrass -funktion avulla esimerkin Lattesta - esimerkin Riemannin sfäärin rationaalisesta kartoituksesta itseensä, jonka Fatou-joukko on tyhjä (ja siksi jonka dynamiikka on kaikkialla kaoottista). Nimittäin ottamalla , voimme harkita toruksen tuplauskarttaa : $\wp$ $\Gamma ={\mathbb {Z}}[i]=\{a+bi\mid a,b\in {\mathbb {Z}}\}$ $D$ $E={\mathbb {C}}/\Gamma$

D(z)=2z\,\mod {\mathbb {Z}}[i].

Tämä kartoitus on kaoottista kaikkialla - mielivaltaisen pieni naapurusto kattaa koko toruksen rajallisen iteraatiomäärän jälkeen.

Toisaalta kartoitus laskee oikein tekijään . Siksi kartoituksen kartoitus D on puoliksi rajoittunut johonkin rationaaliseen kartoitukseen : $D$ $S^{2}=E/(z\sim -z)$ $\wp$ $R:{\mathbb {C}}P^{1}\to {\mathbb {C}}P^{1}$

\wp \circ D=R\circ \wp .

Toisin sanoen,

R(z)=\wp (2\wp ^{{-1}}(z)).

Tällaista kartoitusta varten kuvat pienistä kaupunginosista kattavat myös koko Riemannin sfäärin rajallisen iteraatiomäärän jälkeen. Siksi Julia - sarja ja Fatou-sarja ovat tyhjät. $R$ $J(R)={\mathbb {C}}P^{1}$

Lopuksi on helppo nähdä, että kartoituksen aste on neljä (koska toruksen kartoituksella on aste 4), ja sen kertoimet voidaan löytää eksplisiittisesti laskemalla riittävä määrä Taylor-sarjan kertoimia nollassa. Laurent-sarja (ja vastaavasti ). $R$ $z\mapsto 2z$ $R$ $R$ $\wp$ $\wp ^{{-1}}$

Muistiinpanot

Linkit

Weisstein, Eric W. Weierstrassin elliptinen funktio (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Kirjallisuus

J. Hubbard, I. Pourezza, Suljettujen alaryhmien tila , Topology 18 (1979), no. 2, s. 143-146. $\mathbb {R} ^{2}$
Lavrentiev M. A., Shabat B. V., Monimutkaisen muuttujan funktioteorian menetelmät.
A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berliini, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2