Neljäs aste (algebra)

Luvun neljäs potenssi ( ) on luku, joka on neljän identtisen luvun tulo [1] .

Luvun neljättä astetta kutsutaan usein sen biquadraatiksi [2] , toisesta kreikasta. δίς , ( bis ), "kahdesti", koska se on kahden neliön tulo ja myös neliön neliö:

Ominaisuudet

Reaaliluvun neljäs potenssi , kuten luvun neliö, ottaa aina ei-negatiivisia arvoja [3] .

Neljänteen potenssiin nostamisen käänteinen operaatio on neljännen asteen juuren erottaminen [4] .

Neljännen asteen yhtälö , toisin kuin viidennen asteen yhtälö , voidaan aina ratkaista kirjoittamalla vastaus radikaaleilla ( Abelin lause [5] , Ferrarin menetelmä [5] ).

Bisquare-luvut

Määritelmä

Luonnollisten lukujen neljättä potenssia kutsutaan usein bikvadratisiksi eli hyperkuutioisiksi luvuiksi (jälkimmäistä termiä voidaan käyttää myös neljättä suurempiin potenssiin). Bisquare-luvut ovat kuviollisia lukuja, jotka edustavat neliulotteisia kuutioita ( tesserakteja ). Bisquare -luvut ovat neliulotteinen yleistys litteistä neliö- ja avaruuskuutioluvuista [6] .

Bi-neliölukusarjan alku:

1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ... (sekvenssi A000583 OEIS : ssä ).

Yleinen kaava n:nnelle bi-neliöluvulle on:

Newtonin binomikaavasta :

on helppo johtaa rekursiivinen kaava [6] :

Bikvadraattisten lukujen ominaisuudet

Bi-neliöluvun viimeinen numero voi olla vain 0 (tosiasiassa 0000), 1, 5 (todellinen 0625) tai 6.

Mikä tahansa bikvadraattinen luku on yhtä suuri kuin muodon [8] ensimmäisten " rombododekaedrilukujen " [7] summa .

Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää enintään 19 bi-neliöluvun summana [9] . Ilmoitettu maksimi (19) on saavutettu numerolle 79:

Jokainen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 13792, voidaan esittää enintään 16 bi-neliöluvun summana (katso Waringin tehtävä ).

Fermat'n viimeisen lauseen mukaan kahden bi-neliöluvun summa ei voi olla bi-neliöluku [10] . Eulerin olettamus totesi, että kolmen bi-neliöluvun summa ei myöskään voi olla bi-neliöluku; Vuonna 1986 Noam Elkis löysi ensimmäisen vastaesimerkin, joka kumoaa tämän väitteen [11] :

Muistiinpanot

  1. ↑ Tutkinto // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1985. - T. 5. - S. 221.
  2. ↑ Chernyshev V.I. Nykyaikaisen venäjän kirjallisen kielen sanakirja: A-B. M .: Neuvostoliiton tiedeakatemian venäjän kielen instituutti, 1950, s. 451.
  3. ↑ Stephen Wolfram, Wolfram Alpha LLC. Wolfram|Alpha  (englanniksi) . www.wolframalpha.com . Käyttöönottopäivä: 4.4.2021.
  4. ↑ Root // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3.
  5. ↑ 1 2 Rybnikov K. A. Matematiikan historia . - Moskovan yliopiston kustantamo, 1963. - 346 s.
  6. ↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 131-132.
  7. ↑ Weisstein , Eric W. Rhombic Dodecahedral Number  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  8. ↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 132.
  9. ↑ Weisstein , Eric W. Waringin ongelma  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  10. ↑ Fermat'n lause // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1985. - T. 5.
  11. ↑ Noam Elkies . On A 4 + B 4 + C 4 = D 4  // Laskennan matematiikka [  . - 1988. - Voi. 51 , nro. 184 . - s. 825-835 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . — .

Kirjallisuus

Linkit