Vektorikenttä

Vektorikenttä on kuvaus , joka yhdistää tarkasteltavan avaruuden jokaisen pisteen vektoriin , jonka alkuun tässä pisteessä on. Esimerkiksi tuulen nopeusvektori tietyllä hetkellä on erilainen eri kohdissa ja sitä voidaan kuvata vektorikentällä.

Määritelmä ja muunnelmat

Euklidinen avaruus

Vektorikenttä euklidisessa (tai pseudoeuklidisessa ) avaruudessa [1] määritellään avaruuden pisteen vektorifunktioksi, joka kuvaa tämän avaruuden itseensä [2] : ${\mathcal {E}}$

{\mathcal {F}}:{\mathcal {E}}\longrightarrow {\mathcal {E}}.

Toisin sanoen jokainen avaruuden piste liittyy tiettyyn vektoriin (vektorikentän arvoon tietyssä avaruuden pisteessä). Yleisessä tapauksessa tämä vektori eroaa avaruuden eri pisteissä, toisin sanoen yleisessä tapauksessa vektorikenttä saa eri arvoja avaruuden eri pisteissä. Jokaisessa avaruuden pisteessä kenttävektorilla on tietty arvo ja tietty (paitsi tapauksia, joissa kenttä katoaa) suunta tässä avaruudessa [3] .

Kirjallisuudessa (etenkin vanhemmassa, samoin kuin fysikaalisessa) tietyssä avaruudessa olevan vektorikentän suhteen käytetään myös prepositiota v ( eli sanotaan sekä avaruuden kenttä että kenttä avaruudessa ).

Lajike

Tykkää osista

Yleisemmässä tapauksessa, kun alkuperäinen avaruus on monisto , vektorikenttä määritellään osaksi annetun moniston tangenttikimppua , eli kartoitus, joka määrittää kullekin pisteelle vektorin tangenttiavaruudesta . $s$ $X_{p}$ $s$

Operaattorina

Jakotukin vektorikenttä on lineaarinen operaattori , joka täyttää tulosäännön: $X$ $M$ $X:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)$

X(f\cdot g)=f\cdot (Xg)+(Xf)\cdot g

mielivaltaiselle . $f,g\in C^{\infty }(M)$

Fysiikassa

Fysiikassa termillä vektorikenttä on edellä kuvatun yleisen merkityksen lisäksi erityinen merkitys, lähinnä peruskenttien suhteen ( ks. alla ). Tämän käytön merkitys tiivistyy siihen tosiasiaan, että fyysiset peruskentät luokitellaan niiden potentiaalin luonteen mukaan, ja yksi näistä tyypeistä on vektorikentät (kuten sähkömagneettiset tai gluonikentät ).

Merkintä

Vektorikenttä merkitään yleensä yksinkertaisesti vektoreille sovellettujen käytäntöjen mukaisesti

fysiikassa tämä tehdään yleensä suoraan lihavoidulla kirjaimella tai nuolella kirjaimen yläpuolella, esim.
- $\mathbf {E}$ tai ; ${\vec {v}}$
- 4 - vektorille indeksimerkintä on perinteinen, esimerkiksi ; $A_{i}$
matemaattisessa kirjallisuudessa kokonaisuudessaan ei ole yleisesti hyväksyttyjä erityisiä merkintöjä vektoreille yleensä ja vektorikentille erityisesti.

Ei ole harvinaista, että riippuvuus avaruuden pisteestä ilmaistaan selkeästi [4] , esimerkiksi:

\mathbf {B} (p),

missä on avaruuden pisteen symbolinen nimitys,

s

tai

\mathbf {B} (\mathbf {r} ),

missä on avaruuden pistettä kuvaava sädevektori .

\mathbf {r}

On melko yleistä määrittää vektorikenttä koordinaattien funktiona avaruudessa, johon kenttä määritellään, esimerkiksi:

{\vec {F}}(x,y,z)

tai (ajasta riippuvainen kenttä):

{\vec {F}}(x,y,z,t).

Termin historia

Termi kenttä (yhdessä käsitteen kenttäviivat ) ( eng. field, lines of force ) toi fysiikkaan Michael Faraday noin vuonna 1830 tutkiessaan sähkömagneettisia ilmiöitä .

Voimakenttien analyyttisen teorian perusteet kehittivät Maxwell , Gibbs ja Heaviside 1800-luvun jälkipuoliskolla.

Vektorikenttien erikoistapaukset

Vektorikentät suoralla

Mikä tahansa reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio voidaan tulkita yksiulotteiseksi vektorikentäksi.

Vektorikentät tasossa

Jos on sädevektori , jolla on annetussa koordinaattijärjestelmässä muoto , niin vektorikenttää kuvataan muodon vektorifunktiolla $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} =(x,y)$

\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big (}F_{x}(x,y),F_{y}(x,y){\big )}.

Vektorikentät 3D-tilassa

Jos on sädevektori , jolla on annetussa koordinaattijärjestelmässä muoto , niin vektorikenttää kuvataan muodon vektorifunktiolla $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} =(x,y,z)$

\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big (}F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}( x,y,z){\iso )}.

Kolmiulotteisessa avaruudessa seuraavat vektorikentän ominaisuudet ovat järkeviä

Kaareva integraali

\int \limits _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{C}F_{\tau }\,dl,

jossa piste tarkoittaa sisätuloa, on kaarevan reitin vektorielementti, jota pitkin integrointi tapahtuu, on projektio kaarevan polun (positiiviseen) tangenttiin, on polun skalaarielementti (pituuselementti), C on betonikäyrä, integrointipolku (yleensä oletetaan riittävän tasaiseksi) . Ehkä yksinkertaisin tällaisen integraalin fyysinen prototyyppi on pisteeseen vaikuttavan voiman työ , kun piste liikkuu tiettyä polkua pitkin. $\mathbf {dl}$ $F_{\tau }$ $\mathbf {F}$ $dl$ $\mathbf {F}$

Levikki

on suljetun silmukan integraali:

\Gamma =\oint \limits _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl} =\oint \limits _{C}F_{\tau }\,dl,

jossa integrandi on sama kuin yllä kuvattu ja ero on integrointipolussa C , joka tässä tapauksessa on määritelmän mukaan suljettu, jota osoittaa ympyrä integraalimerkissä.

Vektorikenttävirtaus

${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ pinnan läpi S määritellään integraaliksi S :n yli :

\Phi _{F}=\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dS} =\iint \limits _{S}F_{n}\,dS,

missä on kenttävektorin projektio pinnan normaaliin , on "pinnan vektorielementti", joka määritellään yksikkönormaalivektoriksi kerrottuna pinta-alaelementillä . Yksinkertaisin esimerkki tästä rakenteesta on pinnan S läpi kulkevan nesteen tilavuus , kun se virtaa nopeudella F. $F_{n}$ $\mathbf {dS}$ $dS$

Johdannainen

Vektorikentän derivaatan analogi on osittaisderivaataten tensori ( Jacobian ), joka on karteesisissa koordinaateissa muotoa

J={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial x}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial y}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial z}}(x,y,z)\\{\dfrac {\partial F_{y}}{\ osittainen x))(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{y)){\partial y))(x,y,z)&{\dfrac {\osittinen F_{y)){\ osittainen z))(x,y,z)\\{\dfrac {\osittinen F_{z)){\osittainen x))(x,y,z)&{\dfrac {\osittinen F_{z)){ \partial y}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{z}}{\partial z}}(x,y,z)\end{bmatrix}}.

Ero

on tällaisen derivaatan tensorin jälki . Se ei riipu koordinaattijärjestelmästä (se on koordinaattimuunnosten invariantti, skalaari ), ja suorakulmaisissa suorakulmaisissa koordinaateissa se lasketaan kaavalla

\operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+ {\frac {\partial F_{z)){\partial z)).

Sama lauseke voidaan kirjoittaa käyttämällä symbolista nabla-operaattoria :

\operaattorinimi {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} .

Ostrogradsky-Gaussin lause mahdollistaa vektorikentän virtauksen laskemisen käyttämällä kenttädivergenssin tilavuusintegraalia.

Roottori

on vektorikentän pyörrekomponentin ominaisuus. Tämä on vektori, jolla on koordinaatit

\operaattorinimi {rot} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z)){\partial y))-{\frac {\partial F_{y)){\partial z }}\oikea)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\ oikea)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\ mathbf {k} ,

missä i , j ja k ovat yksikkövektorit x- , y- ja z - akselille , vastaavasti.

Muistamisen helpottamiseksi voit esittää roottorin ehdollisesti vektoritulona :

\operaattorinnimi {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} .

Gradientti

- tärkein ja yksinkertaisin operaatio, jonka avulla voit saada vektorikentän skalaarikentästä . Vektorikenttää, joka saadaan soveltamalla tällainen operaatio skalaarikenttään f , kutsutaan f :n gradienttiksi :

\operaattorin nimi {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x)),{\frac {\partial f}{\partial y)),{\frac {\partial f }{\partial z))\right)\equiv {\frac {\partial f}{\partial x))\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y))\mathbf {j } +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,

tai kirjoittamalla nablalla :

\operatorname {grad} f\equiv \nabla f.

Vektorikenttää, jonka divergentti on nolla kaikkialla, kutsutaan solenoidiseksi ; se voidaan esittää jonkin muun vektorikentän kiharana .

Vektorikenttää, jonka kiertymä on nolla missä tahansa kohdassa, kutsutaan potentiaaliksi ( irrotational ); se voidaan esittää jonkin skalaarikentän (potentiaalin) gradienttina .

Helmholtzin lause pätee : jos kaikkialla alueella D vektorikentällä on divergenssi ja kiertymä, niin tämä kenttä voidaan esittää potentiaalin ja solenoidikentän summana.

Vektorikenttää, jonka sekä divergenssi että käyristymä ovat nolla kaikkialla, kutsutaan harmoniseksi ; sen potentiaali on harmoninen funktio .

Vektoriviivat

Integraalikäyrää (myös - vektoriviiva , voimakentille - voimaviiva , nesteen tai kaasun nopeuskentälle - virtaviiva ; ensimmäiset termit ovat yleisiä, loput ovat niiden synonyymejä kontekstista riippuen) kentällä kutsutaan käyräksi , jonka tangentti käyrän kaikissa pisteissä on sama kuin kentän arvo: ${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$

{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {F} {\big (}\mathbf {r} (t){\big )}.

Voimakentillä voimaviivat osoittavat selvästi kenttävoimien toiminnan suunnan.

Jos riittävän pienellä avaruuden alueella kenttä ei katoa minnekään, niin tämän alueen jokaisen pisteen läpi kulkee yksi ja vain yksi voimaviiva. Pisteet, joissa kenttävektori on nolla, ovat yksittäisiä, kentän suuntaa ei ole niissä määritelty ja voimalinjojen käyttäytyminen näiden pisteiden läheisyydessä voi olla erilaista: on mahdollista, että voimalinjoja on ääretön määrä kulkevat yksittäisen pisteen läpi, mutta on mahdollista, että mikään ei kulje.

Vektorikenttää kutsutaan täydelliseksi , jos sen integraalikäyrät on määritelty koko monistolle.

Vektorikentät n - ulotteisessa avaruudessa

Kaikki kolmiulotteisen avaruuden vektorikentille luetellut konstruktit ja ominaisuudet voidaan yleistää suoraan mihin tahansa äärelliseen avaruuden ulottuvuuteen n .

Lisäksi useimmat näistä yleistyksistä ovat melko triviaaleja, lukuun ottamatta roottorin määritelmää , jonka oikeaan rakentamiseen mielivaltaisessa n -ulotteisessa tapauksessa, toisin kuin kolmiulotteisessa tapauksessa, on käytettävä ulompaa , eikä vektori (joka on määritelty vain kolmiulotteiselle tapaukselle) tuloa. Kun n = 2, vastaava operaatio on pseudoskalaaritulon muodossa .

Lisäksi mielivaltaisen n :n tapauksessa tarvitaan tietty tarkkuus virtauksen määrittelyssä. Päämääritelmät osoittautuvat täysin analogisiksi virtaukselle, joka kulkee ulottuvuuden ( n − 1) hyperpinnan läpi.

Fyysiset esimerkit

Fysiikassa tyypillisiä esimerkkejä vektorikentistä ovat voimakentät (voimakenttä on jonkin voiman kenttä (riippuen kehon sijainnista avaruudessa, johon tämä voima vaikuttaa) tai joka liittyy läheisesti kentänvoimakkuuden voimakkuuteen ).

Muita tyypillisiä esimerkkejä ovat nopeuskenttä (esimerkiksi nesteen tai kaasun virtausnopeus), siirtymäkenttä (esimerkiksi epämuodostuneessa elastisessa väliaineessa) ja monet muut [5] , esimerkiksi virrantiheysvektori , energiavuovektori tai joidenkin materiaalihiukkasten vuotiheys (esimerkiksi diffuusiossa), lämpötilan, pitoisuuden tai painegradientin vektori ja niin edelleen.

Muutama lisätieto:

sähkömagneettinen kenttä . Tämä fyysinen kenttä antaa useita esimerkkejä vektorikentistä (yleensä ajasta riippuvaisista) vanhassa kolmiulotteisessa mielessä: intensiteettivektorin E kenttä , magneettisen induktiovektorin kenttä , vektoripotentiaali (kolmiulotteinen); myös vektorikentät matemaattisessa mielessä ovat niiden funktioita, kuten esimerkiksi Poynting-vektori .
- Sähkömagneettinen kenttä on esimerkki vektorikentästä nykyaikaisemmassa (neliulotteisessa) mielessä, kuten alla on kuvattu yksityiskohtaisesti (katso myös Sähkömagneettinen potentiaali ).
- Sähkömagneettisen kentän erikoistapaus - sähköstaattinen kenttä - antaa yhden yksinkertaisimmista ja tärkeimmistä esimerkeistä vektorikentästä (kolmiulotteinen vektorikenttä, joka ei riipu ajasta, sähköstatiikassa on sähkökentän voimakkuus).
- Toinen mielenkiintoinen erikoistapaus on magnetostatiikka , joka tutkii vektorikenttää, jolla on hieman erilaiset ominaisuudet kuin sähköstaatilla - magneettikentän voimakkuuden tai magneettisen induktion pyörrekenttää, joka lisäksi liittyy toiseen vektorikenttään - vektoripotentiaalikenttään.

Gravitaatiokenttä : Klassisessa Newtonin painovoimateoriassa gravitaatiokentän voimakkuus on vektorikenttä, joka on muodollisesti täysin samanlainen kuin sähköstaattisen sähkökentän voimakkuuskenttä, lukuun ottamatta numeeristen kertoimien (vakioiden) eroa, mukaan lukien niiden etumerkit. Huomaa, että yleisessä suhteellisuusteoriassa ja sitä yleistävissä teorioissa gravitaatiokenttä ei ole vektori, vaan tensori , koska painovoima määräytyy metrisen tensorin avulla .

Nesteen nopeuskenttä hydrodynamiikassa tai kaasun nopeuskenttä aerodynamiikassa . Hydrodynaaminen analogia on havainnollistavin vektorianalyysin perusrakenteiden fyysisen ymmärtämisen kannalta. Hydrodynaamisessa (hydraulisessa) tulkinnassa kenttä on nesteen nopeuskenttä. Vektorikenttä tässä tapauksessa vastaa tasaista virtausta (eli kentän oletetaan riippuvan vain tilakoordinaateista). Jos virtaus muuttuu ajan myötä, se tulee kuvata ajasta riippuvalla muuttujavektorikentällä.

Historiallisesti hydrodynamiikalla on ollut valtava vaikutus vektorianalyysin perusrakenteiden ja sen terminologian muodostumiseen. Siten käsitteet, kuten

vektorikentän virtaus,
pyörre ( roottori ) ja vektorikenttäkierto,
virtaviivaistaa

ja myös jossain määrin monia muita (käytännöllisesti katsoen jokaisella niistä on, jos ei hydrodynaaminen alkuperä, niin hydrodynaaminen tulkinta).

Terminin käytön piirteet fysiikassa

Yleisesti ottaen fysiikassa termillä vektorikenttä on sama merkitys kuin matematiikassa, kuten edellä on kuvattu. Tässä mielessä mitä tahansa vektoriarvoista fyysistä suuretta, joka on avaruuden pisteen funktio, usein myös ajasta riippuvainen, voidaan kutsua vektorikentiksi.

Tälle termille on kuitenkin myös erityinen sovellus, jota esiintyy pääasiassa fyysisten peruskenttien luokittelussa. Tässä tapauksessa sanat "vektorikenttä" tarkoittavat, että vektorikenttä ( 4-vektori tai suurempi ulottuvuus, jos on kyse abstrakteista moniulotteisista teoreettisista malleista) on perustavanlaatuisin suure - potentiaali , eikä sen derivaatat (kentänvoimakkuus ja vastaava). Joten esimerkiksi sähkömagneettista kenttää kutsutaan vektorikentällä , jonka potentiaali on 4-vektorikenttä , kun taas sen vahvuus nykyajan näkökulmasta on tensori . Gravitaatiokenttää kutsutaan tässä mielessä tensoriksi, koska sen potentiaali on tensorikenttä .

Käytännön synonyymi sanalle "vektorikenttä" tässä mielessä on termi vektori hiukkanen nykyfysiikassa (myös jakamalla nämä läheiset käsitteet, puhutaan vektorihiukkasesta vektorikentän viritteenä, tai perinteisemmin sanottuna , vektorihiukkanen on vektorikentän kvantti ). Toinen käytännöllinen synonyymi on spin 1 hiukkanen tai spin 1 -kenttä .

Peruskentistä vektori (merkittyssä merkityksessä) sisältää sähkömagneettisen ( fotoni ), gluonin ( vahvan vuorovaikutuksen kenttä) sekä massiivisten vektoribosonien kentän - heikon vuorovaikutuksen kantajat . Gravitaatiokenttä, toisin kuin luetellut, on tensorikenttä .

Tarkastetulla luokittelulla (luokittelu perusbosonisen kentän spinin mukaan) jotkin vastaavan kentän ominaisuudet liittyvät suoraan toisiinsa, esimerkiksi saman varauksen omaavat hiukkaset (liittyvät tämäntyyppiseen vuorovaikutukseen) houkuttelevat tai hylkivät vuorovaikutuksessa Tässä kentässä tällainen varaus on sama tai päinvastainen hiukkasille ja antihiukkasille. Vektorikentän kautta vuorovaikutuksessa olevat hiukkaset hylkivät toisiaan samalla varauksella ja vetävät puoleensa vastakkaisella, ja hiukkas-antihiukkas-parilla on vastakkainen varaus (kuten erityisesti sähkömagneettisen kentän tapauksessa) - toisin kuin gravitaatiokentän ja gravitaatiovarausten ominaisuudet.

Muistiinpanot

↑ Periaatteessa vektorikenttä voidaan määritellä samalla tavalla paitsi euklidisessa tai pseudoeuklidisessa, myös mielivaltaisessa lineaarisessa tai affiinisessa avaruudessa, mutta yleensä avaruuden oletetaan silti olevan äärellisulotteinen ja oletetaan, että sille määritellään skalaaritulo (välttämätön vektorianalyysin perustoimintojen määrittämiseksi , kuten divergenssi , kaareva integraali jne.); fyysisissä sovelluksissa tämä on useimmiten tavallinen fyysinen kolmiulotteinen avaruus tai neliulotteinen avaruusaika .
↑ Tämä muodollinen matemaattinen määritelmä ei tee eroa kanta-avaruuden ja kenttävektorien avaruuden välillä - koska toinen voidaan saada toisesta kertomalla luvulla ( skalaari ). Fysiikan näkökulmasta näiden avaruuksien välillä on jonkin verran eroa, koska kenttävektoria mitataan pääsääntöisesti muissa mittayksiköissä, joten pääavaruuden ja kenttävektorien avaruuden identiteetti on jossain määrin mielivaltainen ( kenttävektori voidaan kuvata pääavaruudessa, mutta tämän vektorin pituus on ehdollinen). Kuitenkin joka tapauksessa vektorikentän käsitteen tavanomaisella standardin käyttöönotolla näiden tilojen mitat ovat samat, ja lisäksi kenttävektori on sidottu pääavaruuteen siinä mielessä, että kenttävektorin suunta (jos se on ei ole nolla) on täysin määrätty siinä tilassa, jossa kenttä on annettu, sitä voidaan laajentaa kannassa (tai kehyksessä ) tässä pääavaruudessa, vaikka laajennuskertoimet ja eivät ole dimensioton (fyysisten yksiköiden mielessä) numeroita.
↑ Jos tarkastellaan kenttää, joka riippuu ajasta (eli muuttuu ajan myötä), silloin ymmärretään, että se saa tietyn tietyn arvon (suuruus ja suunta) kussakin avaruuden pisteessä kullakin tietyllä ajanhetkellä (ja eri ajankohtina, nämä arvot ovat yleensä erilaisia yhdelle pisteelle).
↑ Tietysti tässä tapauksessa voidaan tarvittaessa ilmoittaa myös toiminnallinen riippuvuus joistakin muista parametreista, esimerkiksi missä on piste avaruudessa, on jokin lisäparametri (esim. lähteen varaus). ${\vec {E}}({\vec {r}},Q),$ ${\vec {r))$ $K$
↑ Nämä esimerkit voivat olla perustavanlaatuisempia tai vähemmän, mutta periaatteessa melkein mitä tahansa vektorifysikaalista suuretta, joka riippuu koordinaateista, voidaan pitää vektorikenttänä.

Kirjallisuus

Borisenko AI, Tarapov IE Vektorianalyysi ja tensorilaskennan periaatteet. - M . : Higher School, 1966, 251 s.
Kumpyak D. E. Vektori- ja tensorianalyysi. Arkistoitu 27. helmikuuta 2014 Wayback Machinessa yliopisto , 2007, 158 s.
McConnel A. J. Johdatus tensorianalyysiin geometrian, mekaniikan ja fysiikan sovelluksilla. Arkistokopio päivätty 27. helmikuuta 2014 Wayback Machinessa - M . : Fizmatlit, 1963, 411 s.
Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi, volyymi III. - M .: Nauka , 1966.