Kuutio (algebra)

Luvun kuutio on tulos , kun luku nostetaan potenssiin 3, eli kolmen tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri. Tätä aritmeettista operaatiota kutsutaan "kuutioksi", sen tulos merkitään : $x$ $x.$ $x^{3}$

x^{3}=x\cdot x\cdot x

Neliöinnin käänteisoperaatio ottaa kuutiojuuren . Kolmannen asteen geometrinen nimi " kuutio " johtuu siitä, että muinaiset matemaatikot pitivät kuutioiden arvoja kuutiolukuina , erityisinä kiharalukuina (katso alla), koska luvun kuutio on yhtä suuri . kuution tilavuuteen , jonka reunan pituus on yhtä suuri kuin . $x$ $x$

Kuutioiden järjestys

Ei-negatiivisten lukujen kuutioiden sarja alkaa numeroilla [1] :

0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42891 , 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736. 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328,…

Ensimmäisten positiivisten luonnollisten lukujen kuutioiden summa lasketaan kaavalla: $n$

\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}=\left ({\frac {n(n+1)}{2}}\oikea)^{2}

Kaavan johtaminen

Kuutioiden summan kaava voidaan johtaa kertotaulukon ja aritmeettisen progression summan kaavan avulla [2] . Kun otetaan kaksi 5 × 5 kertotaulukkoa menetelmän havainnollistamiseksi, perustellaan taulukoita, joiden koko on n × n.

Kertotaulukko ja lukukuutiot

×	yksi	2	3	neljä	5
yksi	yksi	2	3	neljä	5
2	2	neljä	6	kahdeksan	kymmenen
3	3	6	9	12	viisitoista
neljä	neljä	kahdeksan	12	16	kaksikymmentä
5	5	kymmenen	viisitoista	kaksikymmentä	25

Kertotaulukko ja aritmeettinen progressio

×	yksi	2	3	neljä	5
yksi	yksi	2	3	neljä	5
2	2	neljä	6	kahdeksan	kymmenen
3	3	6	9	12	viisitoista
neljä	neljä	kahdeksan	12	16	kaksikymmentä
5	5	kymmenen	viisitoista	kaksikymmentä	25

Ensimmäisen taulukon valitun alueen k:nnen (k=1,2,…) lukujen summa:

k^2+2 k\sum_{l=1}^{k-1} l=k^2+2k\frac{k(k-1)}{2}=k^3

Ja toisen taulukon k:nnen (k=1,2,…) valitun alueen lukujen summa, joka on aritmeettinen progressio:

k\sum_{l=1}^{n} l=k\frac{n(n+1)}{2}

Kun summataan ensimmäisen taulukon kaikki valitut alueet, saadaan sama luku kuin toisen taulukon kaikista valituista alueista:

\sum_{k=1}^nk^3=\sum_{k=1}^nk\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\sum_ {k=1}^nk=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Jotkut ominaisuudet

Desimaalimuodossa kuutio voi päättyä mihin tahansa numeroon (toisin kuin neliö )
Desimaalimuodossa kuution kaksi viimeistä numeroa voivat olla 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 96 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Kuution toiseksi viimeisen numeron riippuvuus kuutiosta viimeinen voidaan esittää seuraavana taulukona:

viimeinen numero	toiseksi viimeinen numero
0	0
5	2, 7
4, 8	jopa
2, 6	outo
1, 3, 7, 9	minkä tahansa

Kuutiot kiharaina numeroina

" Kuutioluku " on historiallisesti nähty eräänlaisena paikkakuvallisena lukuna . Se voidaan esittää peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden erotuksena [3] : $Q_{n}=n^{3}$ $T_{n}$

Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2},n\geqslant 2

Seuraus: ensimmäisten kuutiolukujen summa on yhtä suuri kuin kolmioluvun neliö: $n$ $n$

{\displaystyle Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\pisteet +Q_{n}=(T_{n})^{2))

Kahden vierekkäisen kuutioluvun välinen ero on keskitetty kuusikulmioluku .

Seuraus: ensimmäisten keskitettyjen kuusikulmaisten lukujen summa on kuutioluku [3] . $n$ $Q_{n}$

Kuutioluvun ilmaisu tetraedrina [3] : ${\displaystyle \Pi _{n}^{(3)))$

Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3) }

, missä

n > 2.

Yksi " Pollockin olettamuksista " (1850): jokainen luonnollinen luku voidaan esittää enintään yhdeksän kuutioluvun summana. Eduard Waring esitti ensimmäistä kertaa tämän arvelun (" Waringin ongelma ") vuonna 1770, ja Hilbert todisti vuonna 1909. Yleensä seitsemän kuutiota riittää edustamaan tiettyä numeroa, mutta 15 numeroa vaatii kahdeksan (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, OEIS8 sekvenssi A9018 ) , ja kaksi numeroa tarvitsevat kaikki yhdeksän: 23 ja 239 [4] [5] .

Jos yhteenlaskujen lisäksi sallitaan vähennys (tai, mikä on sama, negatiivisten lukujen kuutiot sallitaan ), niin viisi kuutiota riittää. Esimerkiksi yllä olevalle numerolle 23 neljä [5] [4] .:

23=2^{3}+2^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{ 3}+1^{3}=8^{3}+8^{3}-10^{3}-1^{3}

Esitettiin hypoteesi, jonka mukaan mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan neljän kuution summana (merkeillä), mutta tätä ei ole vielä todistettu, vaikka sitä on testattu tietokoneella jopa 10 miljoonan lukujen osalta. Vuonna 1966 , V. Demyanenko osoitti, että mikä tahansa kokonaisluku 9n ± 4 -muotoa lukuun ottamatta voidaan esittää neljän kuution summana. Suurin luku, jota ei välttämättä esitetä neljän kuution summana, on 7373170279850 , ja on syytä olettaa, että tämä on suurin tällainen luku [6] [4] .

Kuutiolukujen generointifunktio on muotoa [3] :

f(x)={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4}}};\quad |x|<1

Muistiinpanot

↑ OEIS - sekvenssi A000578 = Kuutiot: a (n) = n^3
↑ Rowe S. Geometriset harjoitukset paperilla . - 2. painos - Odessa: Matezis, 1923. - S. 68-70.
↑ 1 2 3 4 Deza E., Deza M., 2016 , s. 78-81.
↑ 1 2 3 Stuart, Ian . Professori Stewartin uskomattomat numerot = Professori Stewartin uskomattomat numerot. - M . : Alpina tietokirjallisuus, 2016. - S. 79-81. — 422 s. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 231-232.
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, Francois; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Liite by. 7373170279850 (englanniksi) // Mathematics of Computation : Journal. - 2000. - Voi. 69 , ei. 229 . - s. 421-439 . - doi : 10.1090/S0025-5718-99-01116-3 .

Kirjallisuus

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Matematiikan oppikirjan sivujen takana: Aritmetiikka. Algebra. Geometria . - M . : Koulutus, 1996. - S. 30 . – 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa . - M . : Koulutus, 1964. - 376 s.
Deza E., Deza M. Kiharat numerot. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Linkit

kiharat numerot
Arvioi numeroita MathWorldissä

kiharat numerot

tasainen

Klassinen monikulmio	kolmion muotoinen Neliö Viisikulmainen Kuusikulmainen Seitsenkulmainen Kahdeksankulmainen Kaksikulmainen
Keskitetty	kolmion muotoinen Neliö Viisikulmainen Kuusikulmainen Seitsenkulmainen Kahdeksankulmainen Yhdeksänkulmainen Dekagonaalinen

Pyramidin muotoinen	tetraedrinen Neliön muotoinen pyramidi
moniulotteinen	kuutio Octahedral Dodekaedri ikosaedrinen Tähtikuvioinen oktaedri

moniulotteinen	Pentatopic Bisquare