Stefan-Boltzmannin laki ( Stefanin laki, Stefan - Boltzmannin säteilylaki ) on absoluuttisen mustan kappaleen integraalinen säteilylaki . Se määrittää täysin mustan kappaleen säteilytehotiheyden riippuvuuden sen lämpötilasta . Sanamuodossa se voidaan muotoilla seuraavasti [1] :
Tasapainosäteilyn kokonaistilavuustiheys ja mustan kappaleen kokonaisemissiokyky ovat verrannollisia sen lämpötilan neljänteen potenssiin.
Kokonaisemissiivisyyden (energian valovoiman) lailla on muoto:
Stefan-Boltzmannin laki
|
missä on täysin mustan kappaleen lämpötila, on Stefan-Boltzmannin vakio , joka voidaan ilmaista perusvakioiden avulla integroimalla Planckin kaava kaikilla taajuuksilla [2] :
Stefan-Boltzmannin vakio
|
missä on Planckin vakio , on Boltzmannin vakio , on valon nopeus . Stefan-Boltzmannin vakio on numeerisesti [3]
W/ ( m2K4 ) .Josef Stefan löysi lain ensimmäisen kerran empiirisesti vuonna 1879, ja viisi vuotta myöhemmin Ludwig Boltzmann johti sen teoreettisesti termodynamiikan [A 1] [A 2] puitteissa . Boltzmann eteni kaasujen kineettisestä teoriasta ja ihanteellisen reversiibelin lämpömoottorin syklistä, jossa kaasun sijasta työnesteenä on säteily . Hän oletti, että tämä säteily aiheuttaa painetta aluksen seiniin [4] . Se on ainoa tärkeä fyysinen laki, joka on nimetty slovenialaisen fyysikon mukaan [5] .
Laki puhuu vain kokonaissäteilyenergiasta. Energian jakautumista säteilyspektrin yli kuvaa Planckin kaava, jonka mukaan spektrillä on yksi maksimi, jonka sijainti määräytyy Wienin lain mukaan . Modernia muotoilua käyttämällä se voidaan johtaa Planckin laista :
Lakia soveltamalla maan pinnan efektiivisen lämpötilan laskemiseen saadaan arviolta 249 K tai −24 °C.
Jos lämmitettyjen säteilevien kappaleiden suljettu järjestelmä sijoitetaan onteloon, jossa on ihanteelliset heijastavat seinämät, niin ajan myötä säteilyn ja kaikkien kappaleiden välille syntyy termodynaaminen tasapaino . Kaikkien kappaleiden lämpötilat ovat samat [6] . Tasapaino saavutetaan paitsi kehon pinnalla, myös niiden sisällä. Kiihtyneet atomit lähettävät säteilyä, joka imeytyy väliaineen muihin atomeihin, kiihottaen niitä ja putoaa siten ajan myötä kehon pinnalle, josta se säteilee ympäröivään tilaan [7] . Lämpösäteily on säteilyn tasapainomuoto, joka on homogeenista, isotrooppista, polarisoimatonta ja jolla on jatkuva spektri. Energiaa r taajuusalueen yksikköä kohti kutsutaan kappaleen spektrin emissiiviseksi tai energian valovoiman spektritiheydeksi . Se riippuu taajuudesta ja lämpötilasta. Integroimalla tämä arvo koko spektrille saadaan pintayksikön kokonaissäteilyenergiavuo, jota kutsutaan integraaliemissiiviseksi eli energian luminositeetiksi [8] :
Tämän arvon mitat ovat [W/m²] SI- yksiköissä [8] . Tavalliset kappaleet absorboivat osittain niihin putoavan valon. Kappaleen spektriabsorbanssia luonnehditaan kapealta taajuusalueelta dΦ' ω tulevan säteilyn absorboidun vuon suhteeksi tulevaan vuotoon ( dΦ ω ) [9] :
Tämä dimensioton suure ei voi olla suurempi kuin yksikkö määritelmän mukaan. Jos absorptio on sama kaikilla taajuuksilla, niin tällaista kappaletta kutsutaan harmaaksi . Todellisissa kappaleissa absorptio riippuu taajuudesta. Erikoistapauksessa, jossa tuleva säteily imeytyy täydellisesti koko spektrissä, puhutaan täysin mustasta kappaleesta [10] . Sen säteilyllä on universaali luonne, ja sen energian kirkkaus on verrannollinen lämpötilan neljänteen potenssiin [11] :
jossa ε on kehon kokonaisabsorptiokyky . Täysin mustalle kappaleelle ε = 1 lausekkeella on erityinen nimi: Stefan-Boltzmannin laki. Monilla lämpötiloilla metallien ε = 0,1…0,4 ja metallioksidien ε = 0,5…0,9 [11] .
Harmaille ruumiille laki voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Jos heijastuskerroin kuitenkin riippuu aallonpituudesta , pätee Kirchhoffin säteilylaki :
tai
Teknisessä kirjallisuudessa yleinen Stefan-Boltzmannin laki kirjoitetaan yleensä seuraavasti:
lähinnä siksi, että olisi helpompi laskea missä se on pintaan nähden kohtisuorassa suunnassa olevaa säteilyä. Säteily puolitilassa sileille metallisille, sileille ja karkeille kappaleille on:
Pinnan väri ei vaikuta kirkkauteen. Valkoiset pinnat säteilevät voimakkaasti. Sileillä materiaaleilla, kuten alumiinilla ja pronssilla , on alhainen kiilto. Lasi läpäisee lyhytaaltoista valoa, mutta ei lähetä pitkäaaltoista lämpösäteilyä.
Toisin kuin kiinteillä aineilla , jotka säteilevät ja absorboivat pinnasta, kaasujen absorptioaste riippuu kaasukerroksen paksuudesta ja kulkee koko tilavuuden läpi ( absorptiolaki ):
missä on kaasun läpi kulkevan säteilypolun pituus ja absorptiokerroin . Monatomiset ja useimmat kaksiatomiset kaasut voidaan teknisissä laskelmissa katsoa diatermisiksi aineiksi , eli ne siirtävät hyvin lämpöä. On teknisesti tärkeää eristää hiilidioksidi ja vesihöyry , jotka emittoivat ja absorboivat laajemmilla spektrialueilla . Yli 600 °C:n lämpötilassa näiden kaasujen lämmönjohtavuus voi olla korkea, jopa korkeammissa lämpötiloissa se voi ylittää konvektiivisen kulkeutumisen .
Stefan julkaisi lain 20. maaliskuuta artikkelissa The Relationship Between Thermal Radiation and Temperatur ( saksa: Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur ) Wienin tiedeakatemian kokouksen raporteissa. Artikkeli näyttää hänen polkunsa lain löytämiseen [A 1] . Käsikirjoituksen tiivistelmä sisälsi neljä A4-sivua, koko artikkeli 61 sivua ja painettu versio 38 sivua [12] .
Newton havaitsi, että kuumasta kappaleesta tulevan säteilyvirran intensiteetti on verrannollinen kehon ja ympäristön väliseen lämpötilaeroon. Pierre Dulong ja Alexis Petit ovat osoittaneet, että riippuvuus lämpötilasta ei ole lineaarista ja suuremmat tehot ovat tärkeitä [13] . He harkitsivat lämmönsiirtoa lämmitetyn pallomaisen sipulin ja pallomaisen astian ympäröivien seinien välillä huoneenlämpötilassa. He uskoivat, että tämä laitteisto, joka on täytetty erilaisilla kaasuilla eri paineissa, olisi hyvä malli säteilylämmönsiirron tutkimiseen. Säteilytehon kaava, johon he päätyivät, oli [A 3] [14]
missä μ on kappaleen ja materiaalin koosta riippuva vakio, a = 1,0077 on materiaalista riippumaton vakio, T on lämpötila. Stefan tajusi, että lämmönsiirtoa järjestelmässä ei pidä laiminlyödä ja käytti tietojaan etsiäkseen muodolle uutta riippuvuutta
missä A on kehon pinta-alasta riippuva vakio ja lämpötila on annettu kelvineinä [14] .
Vuonna 1847 Draper yritti määrittää, missä lämpötilassa kuumennettu keho alkaa säteillä. Hän ei havainnut tätä, mutta havaitsi, että säteilevän energiavirran tiheys kasvaa paljon nopeammin kuin suoraan suhteessa lämpötilaan. Vuonna 1878 Stephan luki Draperin teoksen säteilyenergiasta [15] . Vuonna 1848 Kelvin otti käyttöön absoluuttisen lämpötila-asteikon . Stefan käytti kokeessaan myös absoluuttista lämpötilaa [16] . Gustav Kirchhoff esitteli lämpösäteilyn lain vuonna 1859 ja todisti sen vuonna 1861 [17] .
Vuonna 1862 hän loi termin "mustan kehon säteily". Hän vertasi mustan ja muiden säteilevien kappaleiden säteilyä [4] . Hän ehdotti myös tapaa toteuttaa tällainen säteily. Mustan kappaleen säteily riippuu vain säteilylähteen lämpötilasta, mutta Kirchhoff ei kyennyt määrittämään toiminnallista riippuvuutta.
John Tyndall tutki "näkymätöntä" infrapunavaloa vuonna 1864. William Herschel löysi infrapuna-aallot vuonna 1800. Hän käytti prismaa taittaamaan auringonvaloa ja käytti lämpömittaria mittaamaan lämpötilan nousua valospektrin punaisen pään yli . Hän kutsui tätä spektrin osaa lämpösäteiksi. Termi infrapunavalo ilmestyi 1800-luvun lopulla. Thomas Seebeck löysi lämpösähkön ilmiön vuonna 1821. Pian tämän jälkeen, vuonna 1835, Macedonio Melloni valmisti ensimmäisen lämpösähköisen akun ja löysi lämpösäteilyn . Uuden säteilyn havaittiin olevan ihmissilmälle näkymätöntä valoa tai sähkömagneettisia aaltoja , joiden aallonpituus on hieman pidempi kuin näkyvä punainen valo.
Vuonna 1840 John Herschel teki ensimmäisen infrapunakuvan. Tyndall lämmitti hehkulamppua sähkövirralla, jossa hän korvasi tavallisen hiililangan platinalangalla . Lanka hehkui. Sähkövirran kasvaessa langan lämpötila nousi ja säteili yhä enemmän valoa. Hän nappasi valon linssillä ja kivisuolaprisma jakoi langan lähettämän valon sateenkaarispektriin . Punaisen osan tilalle asetin sarjaan kytkettyjen termoparien [A 4] [18] . Hän kiinnitti mittarin ulkopuolelle koskettimet, joissa virta kulki metallista toiseen, ja musti ne. Liitännät, joissa virta oli vastakkaiseen suuntaan, hän piilotti mittarin koteloon. Ensimmäiset risteykset absorboivat tulevaa valoa ja lämpenivät, kun taas toisissa risteyksissä oli ympäristön lämpötila. Hän mittasi virran herkällä galvanometrillä [19] . Tyndall halusi vain likimääräisen tuloksen, eikä mittannut langan lämpötilaa. Hän osoitti vain säteilevän valon värin . Vaaleanpunaisilla galvanometrin poikkeama oli 10,4° ja valkoisilla 60°. Vuonna 1864 hän julkaisi tutkielman Näkyvästä ja näkymättömästä säteilystä , jossa hän yritti vastata kuinka punaisen valon säteily riippuu lämpötilasta. Saksankielinen käännös julkaistiin vuonna 1865, ja sen luki Adolf Wüllner [A 5] . Termodynamiikan oppikirjansa , The Science of Heat from the Point of the Mechanical Theory of Heat, toiseen ja kolmanteen painokseen hän sisällytti Tyndallin tiedot. Hän sääteli lämpötiloja. Vaikka hän luotti Draperin mittoihin, hän toimi mielivaltaisesti. Wulnerin kirjan vastaanotti Stephan, joka muutti lämpötilan absoluuttiseksi ja otti huomioon galvanometrin korjatun poikkeaman valkoiselle, jolle Tyndall oli jo maininnut tarpeen ottaa kaksinkertainen arvo 122 °. Siten langan vaaleanpunaisen värin lämpötila oli 798 K (525 °C), valkoisen 1473 K (1200 °C). Samalla Stefan oletti, että säteilevän energiavuon tiheys on verrannollinen galvanometrin poikkeamaan. Hän yritti kirjoittaa langan T absoluuttisen lämpötilan ja säteilevän energiavuon j tiheyden välisen suhteen teholain muodossa :
Molemmista tietopareista hän määritti energiavirtojen suhteen 122/10,4 = 11,731. Hän pääsi tarpeeksi lähelle arvoa, jos hän nosti vastaavien absoluuttisten lämpötilojen suhteen potenssiin 1473/798 = 1,846 neljänteen potenssiin: , joten n = 4. Hän tarkisti arvot Dulong- ja Petit-dataa vastaan vähennetään lämmönjohtavuuden osuus . Uusi laki oli hyvin sopusoinnussa vanhojen tietojen kanssa. Hänen mittauksistaan saatu vakio σ voidaan kirjoittaa nykyaikaisissa yksiköissä [15] :
Sen mittaus oli melko tarkka ja 10,8 % pienempi kuin nykyarvot. Hän tarkisti myös lain de la Provostaye ja Desains (1846), Draper ja Ericsson (1872) [A 6] ja Despretz.
Vuonna 1876 Adolfo Bartoli Maxwellista riippumatta johtanut yhtälön sähkömagneettisten aaltojen säteilypaineelle termodynaamisella menetelmällä. Hän havaitsi, että liikkuvan peilin avulla lämpöä voidaan siirtää viileämmästä kehosta lämpimämpään ruumiiseen työn aikana . Hän visioi palautuvan äärettömän pienen Carnot-syklin , jossa entropia ei muutu ja tehty absoluuttinen työ liittyy valon paineeseen peiliin. Jotta termodynamiikan toinen pääsääntö toimisi, valon on siirrettävä paine peiliin. Siksi säteilypainetta kutsuttiin myös "Maxwell-Bartoli-paineeksi".
Vuonna 1880 Krov, André Prosper Paul julkaisi kaavion kolmiulotteisesta kuvauksesta lämpösäteilyn intensiteetistä riippuen aallonpituudesta ja lämpötilasta [A 7] .
Bartolin pamfletit "Lämmön aiheuttamista liikkeistä" ja "The Crookes Radiometer" jäivät huomaamatta. Viimeksi tähän kiinnitti huomiota Boltzmann, joka yleisti Bartolin ajatuksen, että termodynamiikan toinen pääsääntö edellyttää säteilypaineen olemassaoloa ja johti kahdeksan vuotta myöhemmin tämän lain termodynaamisella menetelmällä [A 2] . Bartoli oli lähellä Stefan-Boltzmannin lakia, mutta ei ottanut huomioon säteilevän mustan kappaleen energiavuon tiheyden lämpötilariippuvuutta. Hän julkaisi tiivistelmän pamfletista vuosina 1884 ja 1885 [20] [A 8] . Stefan ei luultavasti tiennyt Bartolin ajatuksista radiometrin tyhjiöstä vuodesta 1876 , kunnes Bartoli sai julkista tukea vuonna 1883 Henry Eddyltä , matematiikan ja tähtitieteen professorilta Cincinnatin yliopistosta [21] .
Rado von Köveligeti , joka opiskeli teoreettista fysiikkaa Stefanin kanssa Wienin yliopistossa, julkaisi spektriyhtälön vuonna 1885 ensimmäisessä väitöskirjassaan Spektriteoria , jossa hän ennusti mustan kappaleen säteilyn rajoittavaa energiaa. Spektritiheyden ja aallonpituuden käyrän muoto oli hyvin samanlainen kuin Planckin käyrä:
Von Kösligeti kirjoitti spektriyhtälön funktionaalisen muodon seuraavasti [17] :
jossa tarkoittaa säteilyn intensiteettiä aallonpituudella , on säteilyn intensiteetti koko aallonpituusalueella. Vakio määräytyy keskimääräisen etäisyyden ja hiukkasten välisen vuorovaikutuksen perusteella ja antaa aallonpituuden, jolla säteilyn intensiteetti on suurin. Silloin tiedettiin, että kiinteät aineet alkavat säteillä Draper-pisteessä, riippumatta siitä, minkä tyyppistä ainetta vapautuu. Tämän tuloksen perusteella von Kösligeti ehdotti, että yhtälö riippuu vain lämpötilasta.
Hänen spektriyhtälöllään oli sama muoto kuin Wienin vuonna 1893 [22] [23] löytämä :
Von Kösligetin yhtälö antaa vakion riippuvuuden säteilevän kehon lämpötilasta:
jossa indeksi 0 tarkoittaa vertailukelpoista säteilylähdettä. Paras parametrin valinta eksponenttiin , joka antaa Wienin lain , löydettiin 11 vuotta myöhemmin:
Mustan kappaleen säteilyn spektritiheys aallonpituuden funktiona antaa Planckin lain:
missä on Planckin vakio , on valon nopeus tyhjiössä , on Boltzmannin vakio , on absoluuttinen lämpötila.
Valovirran tiheys määräytyy integraalin avulla kaikilla aallonpituuksilla: [24] [25]
Ottamalla käyttöön uuden muuttujan u :
missä
siirry integraaliin:
Ensin voit laskea integraalin yleisempää esimerkkiä varten:
mutta:
Koska nimittäjä on aina pienempi kuin 1 , sitä voidaan laajentaa potenssiin , jotta saadaan konvergentti sarja :
Periaatteessa yhtälö otetaan geometrisen sarjan summasta . Vasemmalla oleva murto-osa on lauseke sarjalle, joka on merkitty summalla:
tämä on tavallinen kerroin . Sitten sarja korvataan integraalilla:
Vasemmanpuoleinen kertominen siirtää rivien summaa yhden kohdan oikealle, joten:
tulee:
Siksi indeksiä korotetaan yksiköiden summalla ja hylätään :
Uusi muuttuja otetaan käyttöön :
niin:
sisään:
integraalista tulee:
tai:
Koska summan jokainen termi on konvergentti integraali, summa voidaan johtaa integraalista:
Oikealla oleva integraali on gammafunktio , , summa vasemmalla on Riemannin funktio ζ , . Joten lopuksi ylempi integraali on:
tai vastaava:
Kokonaisluvuille : _
taija sieltä:
Parilliset kokonaisluvut :
missä on Bernoulli-luku ja sitä käytetään:
niin:
integraalin analyyttinen arvo:
missä on polylogaritmi .
Lopullinen valovirran tiheys:
ja Stefan-Boltzmannin laki:
vakioilla:
ja säteilyvakio :
Boltzmann kuvitteli laatikon, joka oli täynnä mustakappalesäteilyä, ja männän toisella seinällä, jota säteilypaine työnsi [26] . Klassisen sähködynamiikan Maxwellin jännitystensorista seuraa , että säteilypaine on suhteessa sisäiseen energiatiheyteen suhteella:
Sähkömagneettista säteilyä sisältävän tilavuuden sisäinen kokonaisenergia voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Termodynamiikan ensimmäisen ja toisen lain (termodynaamisen perusrelaation) mukaan sisäisen energian muutos on:
mistä seuraa:
Maxwellin termodynaamisen suhteen mukaan :
sinä voit kirjoittaa:
Koska säteilypaine on verrannollinen sisäiseen energiatiheyteen, se riippuu vain lämpötilasta, ei tilavuudesta. Seuraava koskee:
sisään:
niin:
Muuttujien asettamisen jälkeen:
ja integraatio:
Viimeiset ovat energiavuon tiheys ja Stefan-Boltzmannin laki:
jossa Stefanin vakio, joka ilmaistaan muilla perusvakioilla, on otettu edellisestä derivaatiosta, koska Planckin vakio h on klassiselle sähködynamiikalle tuntematon. Tästä seuraa, että lisäainevakio :
Jälkeenpäin katsottuna voidaan nähdä, että Boltzmann oli joko onnekas tai todennäköisemmin inspiroitunut vertaamaan klassisen sähkömagnetismin tuloksia ajatukseen, että säteily käyttäytyy kuin neste. Tuolloin ei ollut mahdollista antaa vastausta kysymykseen mistään nesteen hiukkasesta, edes heuristisesta, ennen Planckin ehdotusta ja systemaattista säteilykentän kvantisoinnin tutkimusta. Dimensioanalyysin avulla Boltzmann saattoi päätellä, että jos Stefanin vakio olisi riippuvainen muista perusvakioista, yhden niistä pitäisi sisältää massamitta , jota klassisessa fysiikassa ei tunnettu. Nykyisessä mielessä Boltzmannin argumentti vastaa sanomista, että sähkömagneettinen jännitystensori on jäljitön :
Tämä yhtälö koskee klassista Maxwell-kenttää, ja Boltzmann oletti implisiittisesti, että se koskee myös kvantisoitua kenttää. Tällä hetkellä on useita esimerkkejä kenttäteorioista, joissa jännitystensori on jäljittämätön klassisella tasolla, mutta ei, kun teoria on kvantisoitu oikein. Esimerkkejä ovat sähködynamiikka, joka liittyy (massattomiin) hiukkasiin, joissa on ei-triviaalisia tyhjiöpolarisaatioilmiöitä, ja ei-Abelin vuorovaikutusteoria. Itse asiassa Stefan-Boltzmannin laki kvanttielektrodynamiikassa (QED) ei sovellu korkeissa lämpötiloissa [27] .
Laki on tärkeä myös n - ulotteisessa avaruudessa. Säteilypaine n - ulotteisessa avaruudessa on [28] :
niin:
Yhdistyksestä:
seuraa:
mutta:
niin paljon kuin mahdollista
Sama tulos saadaan Planckin lain taajuusintegraalilla n - ulotteiselle avaruudelle, muuten kullekin ulottuvuudelle eri arvolla Stefanin vakio. Yleensä vakio on sama [29] [30] :
Tämä on erityisesti :
henkilölle :
ja varten :
Stefan määritti lakiaan käyttäen myös Auringon pintalämpötilan [A 1] . Hän luotti Jacques-Louis Soretin tietoihin, joiden mukaan Auringon energiavuon tiheys Maahan on 29 kertaa suurempi kuin kuumennetun metallilevyn energiavuon tiheys. Sauret mittasi energiavuon tiheyden Mont Blancilla . Stefan asetti pyöreän laatan niin metrin etäisyydelle, että se katsoi samassa kulmassa kuin aurinko. Soret arvioi laatan lämpötilan olevan välillä 1900 °C - 2000 °C [A 9] . Stefan ehdotti, että 1/3 Auringon energiavirrasta on maan ilmakehän varassa . Siksi hän otti 3/2 suuremman arvon aurinkoenergian oikealle virtaukselle, 29 3/2 = 43,5. Tarkkoja mittauksia ilmakehän absorptiosta tehtiin vasta vuosina 1888 ja 1904. Lämpötilaksi Stefan otti kahden edellisen keskiarvon 1950 °C ja absoluuttisen termodynaamisen 2200 K. Koska 2,57 4 = 43,5, laista seuraa, että Auringon lämpötila on 2,57 kertaa korkeampi kuin laatan lämpötila. . Näin Stefan sai arvon 5430 °C tai 5703 K. Tämä oli ensimmäinen merkityksellinen arvo Auringon ilmakehän lämpötilasta.
Sitä edelsi arvot 1800 °C - 13 000 000 °C. Angelo Secchi nimesi ensin 18 000 000 °F (10 000 255 K) ja myöhemmin 250 000 °F (139 144 K) [A 10] . John Waterston vuonna 1861 ja Francesco Rossetti vuonna 1878 antoivat liioiteltuja arvoja. Rossetti kirjoitti muistiin säteilyteholain muodossa [A 11] :
joka antoi ilman absorptiokorjausta arvon 10 238,4 K.
Newton määritti auringon säteilyn voimakkuuden tarkkailemalla kuivan maan lämpötilan nousua auringonvalossa. Keskikesällä kirkkaalla säällä Lontoon leveysasteella maan lämpötila on keskipäivällä 65,6°C ja 29,4°C, joten ero on noin 36,2°C. Newton piti tätä eroa todellisena auringon säteilyn voimakkuuden indikaattorina. Hän osoitti siten, että 1680 - komeetta altistui lämpötilalle, joka oli 7000 kertaa veden kiehumispiste ( 212 7000 = 1 484 000 °F (824,663 K)). Komeetta oli avaruudessa 1/3 Auringon säteen etäisyydellä Auringon pinnasta. Säteiden sironnan vuoksi auringon ilmakehän läpi ja sopivalla etäisyydellä John Ericsson ilmoitti, että auringon fotosfäärin lämpötila on vähintään 2 640 000 °F (1 466 921 K) [A 12] . Vuotta myöhemmin, vuonna 1872, Ericsson laski uudelleen 4 036 000 °F (2 242 477 K) [A 6] .
Dulong ja Petit raportoivat vuonna 1817 arvon kappaleiden jäähtymisasteen suhteesta 1900 °C:n tyhjiössä [13] . Ensimmäisen arvon 1800°C (välillä 1461-1761°C) määritti Claude Poulier vuonna 1838 Dulong-Petit-mallista [19] [A 6] . Poulier otti puolet aurinkoenergiavirran arvosta. Ehkä tämä tulos muistutti Stephania siitä, että Dulong-Petit-malli ei toimi korkeissa lämpötiloissa. Jos auringonvaloa kerätään linssillä , se voi lämmittää kehon yli 1800 °C:n lämpötilaan.
Auringon säteily sen pinnalla ja maan pinnalla on sama:
joten tämän päivän laskettu arvo on:
missä W / m 2 on aurinkovakion (Auringosta tulevan valovirran tiheys maan ilmakehän ulkorajalla) keskiarvo , on tähtitieteen yksikkö , on auringon säde ja on Auringon kirkkaus .
Muiden tähtien lämpötila voidaan määrittää samalla tavalla, kun katsotaan emittoitua energiaa mustan kappaleen säteilynä [31] . Tähtien kirkkaus L :
r on tähden säde ja tehollinen lämpötila. Samaa yhtälöä voidaan käyttää pääsarjan tähden likimääräisen säteen laskemiseen suhteessa aurinkoon:
Stefan-Boltzmannin lain avulla tähtitieteilijät voivat helposti laskea tähden säteen.
Hawking-säteilyLaki näkyy myös Hawkingin säteilyn mustien aukkojen termodynamiikassa . Hawkingin säteilylämpötila on:
Schwarzschildin säteen omaavan Schwarzschild- pallon pinta on:
Siten mustan aukon säteily (pisteessä ):
missä on pelkistetty Planckin vakio , on valon nopeus ja on Newtonin gravitaatiovakio . Näitä yhtälöitä ei ole vielä johdettu puoliklassisen painovoimateorian puitteissa.
Samalla tavalla voidaan laskea maan pinnan tehollinen lämpötila määrittämällä Auringosta vastaanotettu energia ja Maan säteilemä energia, jossa on oletettava, että molemmat kappaleet ovat täysin mustia:
Siten tehollinen lämpötila maan pinnalla on 6°C.
Yllä oleva laskelma on karkea arvio, koska oletusarvoisesti maapallo on musta kappale. Planeetan tasapainolämpötilalla olisi sama arvo, jos planeetan valoisuus ja absorptiokyky pienenevät jollain vakiolla kaikilla aallonpituuksilla, koska saapuvat ja lähtevät arvot olisivat silti samat samassa lämpötilassa. Tämä lämpötila ei kuitenkaan enää täytä tehokkaan lämpötilan määritelmää. Sama tulos saadaan, jos oletetaan, että koko maapallo on harmaa kappale:
jossa heijastuskyky ja luminanssi ovat samat, joten suhde on:
ja on:
Itse asiassa maapallolla ei ole harmaan kappaleen ominaisuuksia. Maan albedo on sellainen, että noin 30 % tulevasta auringon säteilystä heijastuu takaisin avaruuteen . Näistä 4 % on pinnalta heijastuvaa säteilyä, 20 % pilvistä ja 6 % vapautuu ilmaan. Jos otetaan huomioon Auringon pelkistynyt energia ja lasketaan sen mustan säteilyn lämpötila, joka säteisi niin paljon energiaa takaisin avaruuteen, niin tätä esitystä vastaava "tehollinen lämpötila" on noin 255 K [32] .
missä käytetty
ja on
Verrattuna 30 prosenttiin aurinkoenergian heijastuksesta enemmän pidempien aallonpituuksien omaavaa säteilyä absorboituu tai heijastuu maan pinnalta ilmakehään , eikä se välity kasvihuonekaasujen , erityisesti vesihöyryn , hiilidioksidin ja metaanin vuoksi [33] [34 ]. ] . Koska kirkkaus (mitattuna korkeammilla aallonpituuksilla, joissa maa säteilee) laskee enemmän kuin absorptiokyky (mitattuna auringon säteilyn pienemmillä aallonpituuksilla), tasapainolämpötila on korkeampi kuin yksinkertainen musta kappaleen approksimaatio osoittaisi, ei pienempi. Maan pinnan todellinen keskilämpötila on noin 288 K, ei 279 K. Ilmaston lämpeneminen nostaa tätä tasapainolämpötilaa ihmisen altistumisesta kasvihuonekaasuille. Vuodesta 1880 lähtien, jolloin yleisen tasapainolämpötilan oletettiin olevan 13,6 °C, se on noussut 0,7 °C 14,3 °C:seen ja ilmaston lämpenemisen energiavirran tiheys on 0,02 W/m 2 [35] .
Maan säteilytasapainon tila saadaan yksinkertaisella nollaratamallilla:
jossa a = 0,3 on Maan keskimääräinen heijastavuus ja = 0,612 Maan efektiivisestä valovoimasta . Vasen puoli edustaa Auringosta tulevaa energiaa ja oikea puoli maasta lähtevää energiaa Stefan-Boltzmannin lain mukaisesti. Näin ollen
Sama tulos saadaan, jos oletetaan, että maapallon ilmakehä on harmaa kappale ja otetaan huomioon sen säteily :
Auringon säteily heijastuu eri tavalla eri aallonpituuksilla. Ilmakehän reunalla heijastus infrapuna-alueella on 0,8 ja pinnalla näkyvässä 0,2.
Taulukossa on esitetty joidenkin idealisoitujen mustien kappaleiden tai tilojen emittoidun valovirran tiheydet.
[ K ] |
[ °C ] |
ruumis / tila | [W/ m2 ] |
---|---|---|---|
118,9 10 -16 | Hawking-säteily mustasta aukosta , jolla on Auringon massa | 113,2 10 -83 | |
0,0648 | -272 935 | valovirta, jonka ihmissilmä edelleen havaitsee | 10–12 [ 36] |
2.7 | -270,45 | kosminen mikroaaltouuni taustasäteily | 3,013 10 −6 |
14.01 | -259.14 | nestemäisen vedyn sulamispiste | 0,00218 |
184 | -89 | alin mitattu lämpötila maan päällä (1983) | 65,0 |
273,15 | 0 | jäätä | 315,0 |
288 | viisitoista | keskilämpötila maan päällä | 390,1 |
298 | 25 | huonelämpötila | 447.2 |
309,8 | 36.8 | ihmiskehon keskilämpötila | 522.3 |
331 | 58 | korkein mitattu lämpötila maan päällä (1922) | 680,7 |
394 | 121 | Auringon säteily ilmakehän reunalla | 1366 |
503 | 230 | teräksen kuumahitsaus | 3629,8 |
773 | 500 | kuuma lämmitin | 20 245,6 |
798 | 525 | musta kappale Draperin kohdalla | 22 994,4 |
1273 | 1000 | keltainen liekki | 148 911,2 |
1941 | 1668 | sulaa titaania | 804 851,7 |
2041.4 | 1768.4 | sulaa platinaa | 984 750,3 |
2773 | 2500 | hehkulamppu | 3 352 842,9 |
5776 | aurinkofotosfääri _ | 63 113 529,9 | |
25 000 | universumin keskilämpötila 10 000 vuotta alkuräjähdyksen jälkeen | 22 150 001 850 | |
15,7 10 6 | Auringon ydin | 3,445183366 10 21 | |
10 10 9 | supernova-räjähdys | 567.04400475 10 30 | |
140 10 30 | Mustan aukon Planckin lämpötila Universumin lämpötila 500 10 −42 s alkuräjähdyksen jälkeen |
217.8341047 10 123 |
Energiavuon tiheys Wienin approksimaatiossa on:
Samalla muuttujalla u kuin yllä, integraali menee:
ja integraalin arvo on:
joten energiavuon tiheys on:
vastaavasti vähemmän.
Energiavuon tiheys Rayleigh-Jeansin approksimaatiossa on:
Integraali eroaa:
joten energiavuon tiheys on ääretön:
Tämä on klassinen tulos, jonka mukaan tapahtuu jatkuvaa säteilyenergian vaihtoa.
Jotkut fyysikot syyttävät Stefania siitä, että hänen tiensä lain löytämiseen oli melko horjuva. Erityisesti osoittautui virheeksi käyttää platinaa mustan kappaleen säteilylähteenä [37] . Olisi väärin väittää, että hän löysi lain sokeasti. Monet onnelliset sattumat vaikuttivat hänen päättäväisyytensä, mikä usein tapahtuu monien tärkeiden löytöjen yhteydessä. Lämmönjohtavuuden mittaamisen jälkeen hän vakuuttui Dulong-Petitin mallin soveltumattomuudesta, käytti kaasujen kineettistä teoriaa, sovelsi absoluuttista lämpötilaa [38] . Dulong-Petit-mallissa käytettiin myös Celsius-lämpötilaa . Pian artikkelin julkaisemisen jälkeen muutkin tutkijat alkoivat testata Stefanin lakia. Sen vahvistivat Leo Graetz vuonna 1880 ja Christian Christiansen vuonna 1884 [39] [40] .
Lain keksimisen aikaan sen soveltamisalaa ei ollut vielä täysin vahvistettu. Lopulta tutkijat ymmärsivät, että heidän oli käytettävä mustaa kehoa. Mustan rungon mallin kehittivät Otto Lummer ja Ernst Pringsheim vuonna 1897 ja Ferdinand Kurlbaum vuonna 1898 [41] . Vuonna 1896 Wilhelm Wien löysi lain mustan kappaleen säteilyn spektrin maksimin siirtämisestä . Max Planck aloitti mustan kappaleen säteilyn parissa työskentelemisen vuonna 1894. Hän oli ensimmäinen, joka pohti sähkömagneettisten aaltojen vaikutusta pieneen sähködipoliin [41] . Hän löysi lakinsa vuonna 1900, ja Lord Rayleigh ja James Jeans esittelivät vuonna 1905 klassiseen fysiikkaan perustuvan lakinsa , joka osoittautui Planckin lain likiarvoksi. Planckin lakia ei voida johtaa pelkästään sähkömagneettisen kentän yhtälöistä, vaan kvanttifysiikan lähestymistavat on otettava huomioon . Planck tuskin suostui uuteen ajatukseen, että säteily ei voinut jatkuvasti vaihtaa energiaa mustan kappaleen seinän kanssa. Hänen kaavaansa ei otettu aluksi vakavasti, mutta vuonna 1905 Albert Einstein laajensi ideaansa ja selitti valosähköilmiön kirjassaan On the Heurist Position Concerning the Origin and Change of Light . Vuonna 1920 Shatyendranath Bose kehitti tilastollisen fotonimekaniikan teorian , josta Planckin laki johdettiin teoreettisesti.
Auringon lämpötilan Stefanin arvon vahvistivat itsenäisesti empiirisesti vuonna 1894 William Wilson ja Gray käyttämällä heliostaattia ja tarkistettua differentiaalista radiomikrometriä, jonka Charles Boyes teki vuonna 1889 . Laite oli bolometrin ja galvanometrin yhdistelmä. Nollamenetelmällä he vertasivat auringon säteilyä sähkölämmitteisen platinanauhan säteilyyn . He mittasivat tehollisen lämpötilan noin 7073 K, joka useiden Maan ja Auringon ilmakehän absorptiota koskevien korjausten jälkeen vuonna 1901 antoi arvoksi 6590 °C (6863 K) [A 13] [42] [43 ] [44] .
![]() |
---|