Disjunktio

Disjunktio
TAI
Venn kaavio
Määritelmä	$x+y$
totuustaulukko	$(0111)$
logiikka portti
normaaleja muotoja
Disjunktiivinen	$x+y$
sidekalvo	$x+y$
Zhegalkinin polynomi	$x\oplus y\oplus xy$
Jäsenyys valmiilla luokilla
Säästää 0	Joo
Säästää 1	Joo
Yksitoikkoinen	Joo
lineaarinen	Ei
Itsenäinen kaksinkertainen	Ei

Disjunktio ( lat. disjunctio - "disjunktio"), looginen lisäys , looginen TAI , mukaan lukien TAI ; joskus vain TAI on looginen operaatio , sovellettaessa mahdollisimman lähellä liittoa "tai" merkityksessä "joko tämä tai tuo tai molemmat kerralla" [1] .

Disjunktio voi olla joko binäärinen (jossa on kaksi operandia) tai -ary (jolla on operandit) mielivaltaiselle . $n$ $n$ $n$

Merkintä voi olla etuliite - operaatiomerkki tulee ennen operandia ( puolalainen notaatio ), infix - operaatiomerkki tulee operandien väliin tai jälkiliite - operaatiomerkki tulee operandien jälkeen. Kun operandien lukumäärä on enemmän kuin kaksi, etuliitteen ja jälkiliitteen merkinnät ovat taloudellisempia.

Merkintä

Yleisin disjunktiooperaation merkintä on:

a\lor b,\;a

|| |

b,\;a

b,\;a~{\mbox{OR}}\,\,b

,\;\max(a,b).

Samaan aikaan kansainvälisen ISO 31-11 -standardin suosittelema merkintätapa on laajimmin käytetty modernissa matematiikassa ja matemaattisessa logiikassa [2] . Se ei ilmestynyt heti: George Boole , joka loi perustan symbolisen menetelmän systemaattiselle soveltamiselle logiikkaan, ei toiminut disjunktion kanssa (käyttäen sen sijaan tiukkaa disjunktiota , jonka hän merkitsi + -merkillä ), ja William Jevons ehdotti merkkiä disjunktiota varten . Ernst Schroeder ja P. S. Poretsky käyttivät jälleen merkkiä + , mutta suhteessa tavalliseen disjunktioon [3] . Symboli disjunktion nimityksenä esiintyy ensimmäisen kerran Bertrand Russellin (1908) artikkelissa "Matemaattinen logiikka, joka perustuu tyyppiteoriaan" [4] ; se on johdettu lat. vel , joka tarkoittaa "tai" [5] [6] . $a\tai b$ ·|· $\lor$

Disjunktion merkintää ⋁käytettiin myös varhaisessa ohjelmointikielessä Algol 60 [7] . Kuitenkin, koska useimmissa tietokoneissa käytetyissä vakiomerkistöissä (esimerkiksi ASCII- tai EBCDIC - merkistöissä ) ei ollut vastaavaa merkkiä , yleisimmin käytetyt ohjelmointikielet tarjosivat muita merkintöjä disjunktiota varten. Näin ollen Fortran IV :ssä ja PL/I :ssä käytettiin nimityksiä ja (mahdollisuudella korvata jälkimmäinen avainsanalla ) [8] ; varattu sana [9] [10] on käytössä Pascalissa ja Adassa ; C- ja C++-kielet käyttävät merkintää bittikohtaiseen disjunktioon ja loogiseen disjunktioon [11] ). .OR.| OR or |||

Lopuksi kaksiarvoisen logiikan totuusarvojen luonnollisessa järjestyksessä (kun oletetaan, että ) käy ilmi, että Siten disjunktio osoittautuu maksimilaskennan erikoistapaukseksi ; tämä avaa luonnollisimman tavan määritellä disjunktiotoiminto moniarvologiikan järjestelmissä [12] [13] . $0<1$ ${\näyttötyyli (a\tai b)\,=\,\max(a,b).}$

Boolen algebra

Loogista funktiota MAX kaksiarvoisessa (binäärilogiikassa) kutsutaan disjunktioksi ( looginen "OR" , looginen lisäys tai yksinkertaisesti "OR" ). Tulos on yhtä suuri kuin suurin operandi.

Boolen algebrassa disjunktio on kahden, kolmen tai useamman muuttujan funktio (ne ovat myös operaation operandeja, ne ovat myös funktion argumentteja). Näin ollen tulos on , jos kaikki operandit ovat yhtä suuret ; kaikissa muissa tapauksissa tulos on . $0$ $0$ $yksi$

totuustaulukko
$a$	$b$	$a\tai b$
$0$	$0$	$0$
$0$	$yksi$	$yksi$
$yksi$	$0$	$yksi$
$yksi$	$yksi$	$yksi$

Totuustaulukko ternääriselle (kolmen operandin) disjunktiolle:

$a$	$b$	$c$	$a\lor b\lor c$
0	0	0	0
0	0	yksi	yksi
0	yksi	0	yksi
0	yksi	yksi	yksi
yksi	0	0	yksi
yksi	0	yksi	yksi
yksi	yksi	0	yksi
yksi	yksi	yksi	yksi

Moniarvoinen logiikka

Toimintoa, jota kutsutaan binäärilogiikassa disjunktioksi , kutsutaan maksimiksi moniarvologiikassa : , missä , a on logiikan arvo. Muut vaihtoehdot ovat mahdollisia $max(a,b)$ $a,b\in [0,...,n-1]$ $n$ [ mitä? ] . Yleensä he yrittävät ylläpitää yhteensopivuutta Boolen algebran kanssa operandien arvojen suhteen . $0.1$

Tämän toiminnon maksiminimellä on järkeä millä tahansa arvolla, mukaan lukien binäärilogiikassa, ja nimet disjunktio , looginen "OR" , looginen lisäys ja yksinkertaisesti "OR" ovat ominaisia binäärilogiikalle, ja niitä käytetään harvemmin siirrettäessä moniarvoinen logiikka.

Klassinen logiikka

Klassisessa lauselaskennassa disjunktion ominaisuudet määritellään aksioomien avulla . Klassinen lauselaskenta voidaan antaa erilaisilla aksioomijärjestelmillä, ja osa niistä kuvaa disjunktion ominaisuuksia. Yksi yleisimmistä vaihtoehdoista sisältää 3 disjunktion aksioomia:

$a\to a\lor b$
$b\to a\lor b$
${\näyttötyyli (a\to c)\to ((b\to c)\to ((a\tai b)\to c))}$

Näitä aksioomia voidaan käyttää todistamaan muita disjunktiooperaation sisältäviä kaavoja. Huomaa, että klassisessa lauselaskennassa tulosta ei lasketa operandien arvoista (kuten Boolen algebrassa), vaan kaava on todistettava kokonaisuutena aksioomien ja päättelysääntöjen perusteella.

Piiri

Mnemoninen sääntö disjunktiolle minkä tahansa tulomäärän kanssa on: Lähtö on:

"1" jos ja vain jos ainakin yhdessä tulossa on "1"
"0" jos ja vain jos kaikki tulot ovat "0"

Joukkoteoria

Joukkoteorian kannalta disjunktio on analoginen liiton toiminnan kanssa .

Ohjelmointi

Tietokonekielissä disjunktiosta on kaksi päävaihtoehtoa: looginen "OR" ja bittikohtainen "OR". Esimerkiksi C/C++/Perl/PHP:ssä looginen "OR" on merkitty symbolilla "||" ja bittikohtaisesti "OR" symbolilla "|". Pascal/Delphi-kielissä molemmat disjunktiot merkitään avainsanalla " tai " , ja operaation tulos määräytyy operandien tyypin mukaan. Jos operandit ovat boolen tyyppiä (esimerkiksi Boolean), suoritetaan looginen toiminto, jos kokonaisluku (esimerkiksi tavu) on bittikohtainen operaatio.

Loogista "OR":ta käytetään ehdollisissa hyppyoperaattoreissa tai vastaavissa tapauksissa, kun vaaditaan tulos tai . Esimerkiksi: $false$ $totta$

jos ( a || b ) { /* joitakin toimia */ };

Tulos on yhtä suuri , jos molemmat operandit ovat yhtä suuret tai . Joka muussa tapauksessa tulos on . $false$ $false$ $0$ $totta$

Tässä tapauksessa sovelletaan vakiosopimusta: jos vasemman operandin arvo on yhtä suuri kuin , oikean operaandin arvoa ei lasketa (sen sijaan voi olla monimutkainen kaava). Tämä käytäntö nopeuttaa ohjelman suorittamista ja on hyödyllinen tekniikka joissakin tapauksissa. Delphi-kääntäjä tukee erityistä direktiiviä, joka sisältää $totta$ $b$

{$B-}

tai sammuttamalla

{$B+}

samanlaista käytöstä. Jos esimerkiksi vasen operandi tarkistaa, onko oikea operandi arvioitava:

if ( a == NULL || a -> x == 0 ) { /* joitakin toimia */ };

Tässä esimerkissä vasemman operandin tarkistuksen vuoksi nollaosoittimen viittausta ei koskaan tapahdu oikealla operandilla.

Bittikohtainen TAI suorittaa tavanomaisen Boolen algebra-operaation kaikille vasemman ja oikean operandin biteille pareittain. Esimerkiksi,

jos
a =	${\displaystyle 01100101_{2))$
b=	${\displaystyle 00101001_{2))$
sitten
a TAI b =	${\displaystyle 01101101_{2))$

Suhde luonnolliseen kieleen

Disjunktion ja konjunktion "tai" välinen samankaltaisuus luonnollisessa kielessä tulee usein esiin, kun sitä käytetään merkityksessä "joko tämä tai tuo tai molemmat kerralla". Oikeudellisissa asiakirjoissa he kirjoittavat usein: "ja (tai)", joskus "ja / tai", mikä tarkoittaa "joko tätä tai tuota tai molempia kerralla". Yhdistelmäväite "A ja/tai B" katsotaan epätosi, kun molemmat väitteet A ja B ovat vääriä, muuten yhdistelmäväite on tosi. Tämä vastaa täsmälleen Boolen algebran disjunktion määritelmää, jos "tosi" on merkitty :lla ja "epätosi" -merkillä . $yksi$ $0$

Luonnollisen kielen moniselitteisyys piilee siinä, että liittoa "tai" käytetään kahdessa merkityksessä: joko merkitsemään disjunktiota, sitten toista operaatiota - tiukkaa disjunktiota ( poissulkeva "TAI" ).

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Gutnikov V. S. . Integroitu elektroniikka mittauslaitteissa. - L .: Energia , 1974. - 144 s. - S. 14-16.
↑ Kondakov, 1975 , s. 534.
↑ Styazhkin N. I. . Matemaattisen logiikan muodostuminen. — M .: Nauka , 1967. — 508 s. - S. 320, 349, 352, 368.
↑ Russell B. Matemaattinen logiikka tyyppiteorian perusteella // American Journal of Mathematics . - 1908. - Voi. 30, ei. 3. - s. 222-262.
↑ Joukkoteorian ja -logiikan symbolien varhaisimmat käyttötavat . // Verkkosivusto Jeff Millerin Web-sivut . Haettu 5. helmikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 20. helmikuuta 1999. (määrätön)
↑ Kondakov, 1975 , s. 149-150.
↑ Kondakov, 1975 , s. kolmekymmentä.
↑ Pratt T. Ohjelmointikielet: kehitys ja toteutus. — M .: Mir , 1979. — 574 s. - S. 352, 439.
↑ Grogono P. . Ohjelmointi Pascalilla. — M .: Mir , 1982. — 384 s. - S. 51.
↑ Wegner P. . Ohjelmointi Ada-kielellä. — M .: Mir , 1983. — 240 s. - S. 68.
↑ Ellis M. , Stroustrup B .. Viiteopas C++-ohjelmointikieleen kommentteineen. — M .: Mir , 1992. — 445 s. — ISBN 5-03-002868-4 . - S. 65, 86-87.
↑ Yablonsky S. V. . Johdatus diskreettiin matematiikkaan. — M .: Nauka , 1979. — 272 s. - S. 9-10, 37.
↑ Rvachev V. L. . R -funktioiden teoria ja eräät sen sovellukset. - Kiova: Naukova Dumka , 1982. - 552 s. - S. 38, 66.

Kirjallisuus

Kondakov N.I. Looginen sanakirja-viitekirja. 2. painos . — M .: Nauka , 1975. — 720 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4378735-6 J9U : 987007532489205171 LCCN : sh93005045

Boolen operaatiot
Disjunktio (OR) Konjunktio (AND) Kieltäminen (EI) Yksinomainen "tai" (XOR) Pierce Arrow (NOR) Schaefferin aivohalvaus (NAND) Ekvivalenssi (XNOR) seuraamus Ehdollinen disjunktio (kolmiosainen)

Logiikka

Filosofia • Semantiikka • Syntaksi • Historia

Logiikkaryhmät

klassista logiikkaa	Aristoteelinen logiikka propositionaalinen logiikka Ensimmäisen asteen logiikka Toisen asteen logiikka korkeamman asteen logiikkaa
matemaattinen logiikka	joukko teoria Mallin teoria Lasketettavuuden teoria Todistusteoria ja konstruktiivinen matematiikka Lineaarinen logiikka muodollinen järjestelmä luonnollinen johtopäätös Sekvenssilaskenta Logiikan algebra Asiaankuuluva logiikka Deonttinen logiikka intuitionistinen logiikka Lambek-laskenta
Ei-klassinen logiikka	intuitionismi sumea logiikka Alirakennelogiikka logiikka Kuvauslogiikka Moniarvoinen logiikka Logiikka synteesi Sidontalogiikka Temporaalinen logiikka Modaalinen logiikka ( Hybridilogiikka ) episteeminen logiikka
Filosofinen logiikka	Kriittinen ajattelu epävirallista logiikkaa deduktiivinen päättely

Komponentit

Sieppaus (logiikka)
Todennäköisyys
lausunto
Vähennys / Induktio / Traduction
Todellisuus
induktiivinen päättely
päättely
boolen vakio
Totta
loogista seuraamista
Looginen muoto
Tarpeelliset ja riittävät olosuhteet
Kuvaus
Määritelmä
Korvaus
Paketti
Kiista ( Antinomia )
Synteettinen arviointi / Analyyttinen arviointi
Linkki

Luettelo loogisista symboleista