Odotettu arvo

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Matemaattinen odotus on todennäköisyysteorian käsite , joka tarkoittaa satunnaismuuttujan keskiarvoa (mahdollisten arvojen todennäköisyyksillä painotettuna) [1] . Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa käytetään tiheyspainotusta (katso alla tarkempia määritelmiä). Satunnaisvektorin matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin vektori, jonka komponentit ovat yhtä suuret kuin satunnaisvektorin komponenttien matemaattiset odotukset.

Merkitään [2] (esimerkiksi englannin kielestä Expected value tai saksan Erwartungswert ); venäjänkielisestä kirjallisuudesta löytyy myös nimitys (mahdollisesti englannin keskiarvosta tai saksan Mittelwertistä ja mahdollisesti sanasta "Mathematical expectation"). Tilastoissa käytetään usein merkintää . ${\mathbb {E}}[X]$ $M[X]$ $\mu$

Для случайной величины, принимающей значения только 0 или 1 математическое ожидание равно p — вероятностины «вероятности». Математическое ожидание суммы таких случайных величин равно np , где n — количество таких случайх слуммы При этом вероятности появления определенного кол-ва единиц рассчитываются по биномиальному распределению . Поэтому в литературе, скорее всего, легче найти запись, что мат. ожидание биномиального распределения равно np [3] .

Joillakin satunnaismuuttujilla ei ole odotusarvoa, kuten satunnaismuuttujilla, joilla on Cauchyn jakauma .

На практике математическое ожидание обычно оценивается как среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины (выборочное среднее, среднее по выборке). Доказано, что при соблюдении определенных слабых условий (в частности, если выборка является случайной, то есть наблюдения являются независимыми) выборочное среднее стремится к истинному значению математического ожидания случайной величины при стремлении объема выборки (количества наблюдений, испытаний, измерений) к бесконечности.

Määritelmä

Yleinen määritelmä Lebesgue-integraalilla

Olkoon todennäköisyysavaruus ja sille määritelty satunnaismuuttuja annettu . Se on määritelmän mukaan mitattavissa oleva funktio . Jos avaruuden yli on Lebesguen integraali , sitä kutsutaan matemaattiseksi odotukseksi tai keskimääräiseksi (odotetuksi) arvoksi ja sitä merkitään tai . $(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})$ $X$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $X$ $\Omega$ $M[X]$ ${\mathbb {E}}[X]$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega )\,\mathbb {P} (d\omega ).

Määritelmä satunnaismuuttujan jakautumisfunktion kautta

Jos on satunnaismuuttujan jakaumafunktio, niin sen matemaattinen odotus saadaan Lebesgue -Stieltjes-integraalilla : $F_{X}(x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x\,dF_{X}(x)

, .

x\in \mathbb {R}

Määritelmä ehdottoman jatkuvalle satunnaismuuttujalle (jakauman tiheyden kautta)

Absoluuttisen jatkuvan satunnaismuuttujan matemaattinen odotus , jonka jakauman antaa tiheys , on yhtä suuri kuin $f_{X}(x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx

Если — дискретная случайная величина , имеющая распределение $X$

\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i}

. _

\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=1

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i))

If on positiivinen kokonaisluku satunnaismuuttuja (diskreetin erikoistapaus), jolla on todennäköisyysjakauma $X$

{\displaystyle \mathbb {P} (X=j)=p_{j))

... _ _

j=0,1,\dotsc

\sum \limits _{j=0}^{\infty }p_{j}=1

silloin sen matemaattinen odotus voidaan ilmaista sekvenssin generoivana funktiona $\{p_{i}\}$

P(s)=\sum _{{k=0}}^{\infty }\;p_{k}s^{k}

yksikön ensimmäisen derivaatan arvona : . Jos matemaattinen odotus on ääretön, kirjoitamme $\mathbb {E} [X]=P'(1)$ $X$ $\lim _{{s\to 1}}P'(s)=\infty$ $P'(1)=\mathbb {E} [X]=\infty$

Otetaan nyt jakauman "pyrstöjen" sekvenssin generoiva funktio $Q(t)$ $\{q_{k}\}$

q_{k}=\mathbb {P} (X>k)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{p_{j))

Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}s^{k}.

Tämä generoiva funktio liittyy aiemmin määritettyyn funktioon ominaisuudella: at . Tästä seuraa keskiarvolauseen mukaan , että matemaattinen odotus on yksinkertaisesti tämän funktion arvo yksikössä: $P(t)$ $Q(s)={\frac {1-P(s)}{1-s}}$ $|s|<1$

\mathbb {E} [X]=P'(1)=Q(1)

Satunnaisvektorin matemaattinen odotus

Antaa olla satunnainen vektori. Siis määritelmän mukaan $X=(X_{1},\pisteet ,X_{n})^{{\top }}\colon \Omega \to {\mathbb {R}}^{n}$

\mathbb {E} [X]=(\mathbb {E} [X_{1}],\dots ,\mathbb {E} [X_{n}])^{\top }

Eli vektorin matemaattinen odotus on määrätty komponentti.

Matemaattinen odotus satunnaisen suuren muuntamisesta

Olkoon Borel-funktio siten , että satunnaismuuttujalla on äärellinen matemaattinen odotus. Silloin kaava pätee siihen $g\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $Y = g(X)$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p_{i},

jos sillä on erillinen jakauma; $X$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)f_{X}(x)\,dx ,

Jos sillä on ehdottoman jatkuva jakelu. $X$

Jos yleisen satunnaismuuttujan jakauma , niin $\ Mathbb {p} ^{x}$ $X$

{\ Displaystyle \ Mathbb {e} \ left [g (x) \ right] = \ int \ limits _ {-\ infty} ^{\ infty} \! G (X) \ MATHBB {p} ^{X }( dx).}

Erikoistapauksessa, kun , matemaattista odotusta kutsutaan satunnaismuuttujan th momentiksi . $g(X)=X^{k}$ ${\ DisplayStyle \ Mathbb {e} [g (x)] = \ Mathbb {e} [x^{k}]}$ $k$

Matemaattisen odotuksen ominaisuudet

Luvun matemaattinen odotus (ei satunnainen, kiinteä arvo, vakio) on itse luku.

\mathbb {E} [a]=a

a\in {\mathbb {R}}

— константа;

Matemaattinen odotus on lineaarinen [4] ts.

{\ Displaystyle \ Mathbb {e} [Ax+by] = A \ Mathbb {e} [x]+b \ mathbbbbb {e}}}}}}}}}}

, missä ovat satunnaismuuttujat, joilla on äärellinen matemaattinen odotus, ja ovat mielivaltaisia vakioita;

X,Y

a,b\in \mathbb{R}

В частности, математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (соответственно) раххастветственно

Matemaattinen odotus säilyttää epäyhtälöt, eli jos lähes varmasti , ja on satunnaismuuttuja, jolla on äärellinen matemaattinen odotus, niin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on myös äärellinen, ja lisäksi $0 \ leqslant x \ leqslant y$ $Y$ $X$

{\ DisplayStyle 0 \ Leqslant \ Mathb {e} [x] \ leqslant \ matHBBBBBBBBBBBBBIC {E}}}}}}

Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нулья, то ленестности нулья , то $X=Y$

\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [Y]

Kahden riippumattoman tai korreloimattoman [5] satunnaismuuttujan tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo $X,Y$

{\ DisplayStyle \ Mathbb {e} [xy] = \ Mathbb {e} [x] \ cDOT \ Mathbb {e} [y]}}

Odotuserot

Неравенство Маркова — для неотрицательной случайной величины определённой на вероятностном пространстве с конечным математическим ожиданием выполняется неравенство: ${\ displayStyle x \ colon \ omega \ to \ mathbb {r} ^{+}}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ $\mathbb {E} (X)$

{\ DisplayStyle \ Mathbb {p} \ vasen (x \ geqslant a \ oikea) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {e} (x)} {a}}}

, где .

a>0

Неравенство Йенсена для математического ожидания выпуклой функции от случайной величины. Пусть — вероятностное пространство, — определённая на нём случайная величина, — выпуклая борелевская , то ,тцаки функцина $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P})$ ${\ displayStyle x \ colon \ omega \ to \ mathbb {r}}$ $\varphi \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $X, \ varphi (x) \ in l^{1} (\ omega, {\ mathcal {f}}, {\ mathbb {p}})$

{\ Näyttötyyli \ Varphi (\ Mathbb {e} (x)) \ leqslant \ matHBBBI {e} (\ varphi (x)}}}}}

Levyn lause monotonisesta konvergenssista .
Теорема Лебега о мажорируемой сходимости : пусть есть сходящаяся почти всюду инне последовательность: следовательность сходящаяся почти Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина , такая что почти наверное. Тогда случайные величины интегрируемы и $X_ {n} \ to x$ $Y$ $\ Forall N \ in \ Mathbb {n} \ quad | x_ {n} | \ leqslant y$ $X_ {n}, \; x$

{\ displayStyle \ lim \ rajat _ {n \ to \ infty} \ mathbb {e} (x_ {n}) = \ Mathbb {e} (x)}}

Тождество Вальда : для независимых одинаково распределённых случайных величин , где является положительной целочисленной случайной величиной, независимой от , при условии, что и имеют конечное математическое ожидание, будет выполняться следующее равенство: $X_{1},...,X_{N}$ $N$ $X_{i}$ $X_{i}$ $N$

{\ DisplayStyle \ Mathbb {e} \ vasen (\ summa _ {i = 1}^{n} x_ {i} \ oikea) = \ matematibb {e} (n) \ matematibb {e} (x)}}}}}}}}}}}

Математическое ожидание случайной величины равно значению первой производной её производящей производящей производящей фунцимто : $X$ $G(u)$

{\ DisplayStyle \ Mathbb {e} (x) = g '(0)}

Esimerkkejä

Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение , то есть Тогда её математическое ое $\mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n}},\;i=1,\ldots ,n.$

{\ Displaystyle \ Mathbb {e} [x] = {\ frac {1} {n} \ summa \ limits _ {i = 1} {n} x_ {i}}}}}}}}}}}} }}} {i}}}} {I}}}}}} LEA.

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале , где . Тогда её плотность имеет вид и математическое ожидание равно $[a,b]$ $a<b$ $f_ {x} (x) = {\ frac {1} {ba}} \ mathbf {1} _ {[a, b]} (x)$

{\ Näyttötyyli \ Mathbb {e} [x] = \ int \ limits _ {a} {b} \! {\ frac {x}} \, dx = {\ frac {a+b} {2 }}}

Sitten $X$

\ int \ limits _ {-\ infty}^{\ infty} \! xf_ {x} (x) \, dx = \ infty

то есть математическое ожидание не определено. $X$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ " Mathematical Encyclopedia " / Päätoimittaja I. M. Vinogradov. - M . : "Neuvostoliiton tietosanakirja", 1979. - 1104 s. - (51 [03] M34). - 148 800 kappaletta.
↑ A. N. Shiryaev. 1 // "Todennäköisyys". - M. : MTSNMO, 2007. - 968 s. -ISBN 978-5-94057-036-3 , 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.
↑ V.E. Gmurman. Osa kaksi. satunnaismuuttujia. -> Luku 4. Diskreetit satunnaisarvot. -> kohta 3. // [ http://lenagavrile.narod.ru/ms/gmurman.pdf Opas todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen ongelmien ratkaisemiseen]. - 1979. - S. 63. - 400 s. Arkistoitu 21. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ Pytiev Yu. P. , Shishmarev I. A., Todennäköisyysteoria, matemaattiset tilastot ja mahdollisuusteorian elementit fyysikoille. - M.: Moskovan valtionyliopiston fysiikan tiedekunta, 2010.
↑ Todennäköisyysteoria: 10.2. Lauseet numeerisista ominaisuuksista . sernam.ru. Haettu 10. tammikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 10. tammikuuta 2018. (määrätön)

Kirjallisuus

Feller W. Luku XI. Kokonaislukuarvot. Funktioiden generointi // Johdatus todennäköisyysteoriaan ja sen sovelluksiin = An Introduction to probability theory and its applications, Volume I toinen painos / Käännetty englannista. R. L. Dobrushin, A. A. Yushkevich, S. A. Molchanov Toim. E. B. Dynkina A. N. Kolmogorovin esipuheella. - 2. painos - M .: Mir, 1964. - S. 270-272.

Linkit

Matemaattinen odotus ja sen ominaisuudet osoitteessa http://www.toehelp.ru

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Suuri Neuvostoliitto (1 painos) Britannica (verkossa) Moderni Ukraina
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4152930-3

Tarkoittaa
Matematiikka	Tehon keskiarvo ( painotettu ) harmoninen keskiarvo painotettu geometrinen keskiarvo painotettu Keskiverto painotettu juuri tarkoittaa neliötä Keskimääräinen kuutio liukuva keskiarvo Aritmeettis-geometrinen keskiarvo Toiminto Keskiarvo Kolmogorov tarkoittaa
Geometria	geometrinen keskusta Barycenter
Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilasto	Winsorized keskiarvo näytteen keskiarvo Odotettu arvo Mediaani Muoti keskihajonta Katkaistu keskiarvo Ehdollinen odotus
Tietotekniikka	Medoid k-mediaani menetelmä
Lauseet	Ensimmäinen keskiarvolause Toinen keskiarvolause Aritmeettisen, geometrisen ja harmonisen keskiarvon epäyhtälö
muu	Jakelukeskuksen mittarit