Gaussin vakio (matematiikka)

G={\frac {1}{\operaattorinimi {agm} \left(1,{\sqrt {2}}\right)))=0,8346268\dots

(sekvenssi A014549 OEIS : ssä )

Vakio on nimetty Carl Friedrich Gaussin mukaan, joka vuonna 1799 [1] havaitsi, että

G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4))))

G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)

missä Β tarkoittaa beetafunktiota .

Suhde muihin vakioihin

Gaussin vakiota voidaan käyttää ilmaisemaan gammafunktio, kun sille annetaan argumentti : ${\frac {1}{4))$

\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

Vaihtoehtona,

G={\frac {\left[\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3 }}}}}

ja koska ja ovat algebrallisesti riippumattomia , Gaussin vakio on transsendentaalinen . $\pi$ $\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)$

Gaussin vakiota voidaan käyttää lemniskaattivakioiden määrittämisessä.

Gauss ja muut käyttävät [2] [3] vastinetta

\varpi =\pi G

joka on lemniskaattifunktioiden teoriassa tunnettu lemniskaattivakio.

John Todd käyttää kuitenkin erilaista terminologiaa - artikkelissaan numeroita ja niitä kutsutaan lemniscate-vakioksi, joista ensimmäinen $A$ $B$

A={\frac {\pi G}{2}}={\frac {\varpi }{2}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\ frac {1}{4)),{\frac {1}{2}}\right)

ja toinen vakio:

B={\frac {1}{2G}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2)),{\frac {3 }{4}}\oikea).

Ne syntyvät, kun löydetään lemniskaatin kaaren pituus . ja Theodor Schneider osoittivat ylivoimaisuutensa vuosina 1937 ja 1941. [neljä] $A$ $B$

G=\vartheta _{01}^{2}\left(e^{-\pi }\right)

On myös sarjaesityksiä, joissa on nopea konvergenssi, kuten seuraavat:

G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\oikea)^{2}.

Vakio voidaan ilmaista myös äärettömänä tulona

G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).

Tämä vakio näkyy integraalien arvioinnissa

{\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)))\,dx=\int _ {0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)))\,dx

{\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)))))

Vakion esittäminen jatkuvana murtolukuna:

G=[0,1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,2,5, 2,1,1,2,2,6,9,1,1,1,3,1,\pisteet ].

(sekvenssi A053002 OEIS : ssä )

↑ Nielsen, Mikkel Slot. Perustutkinnon konveksisuus: ongelmia ja ratkaisuja. - Heinäkuu 2016. - S. 162. - ISBN 9789813146211 .
↑ Kobayashi, Hiroyuki & Takeuchi, Shingo (2019), Yleistettyjen trigonometristen funktioiden sovellukset kahdella parametrilla
↑ Asai, Tetsuya (2007), elliptiset Gauss-summat ja Hecken L-arvot s=1:ssä
↑ Todd, John Lemniskaatin vakiot . A.C.M. D.L. (1975). Haettu 19. heinäkuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 19. heinäkuuta 2021. (määrätön)

Weisstein, Eric W. Gaussin vakio (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Transsendenttinen ,
luultavasti transsendenttinen

Muut numerot