Spatiaalinen monikulmio [1] on monikulmio , jonka kärjet eivät ole samassa tasossa . Tilapolygoneissa on oltava vähintään 4 kärkeä . Tällaisten polygonien sisäpintaa ei ole määritelty yksiselitteisesti.
Spatiaalisilla äärettömillä (apeirogoneilla) on kärjet, jotka eivät kaikki ole kollineaarisia.
Siksak-polygonilla tai antiprismaattisella polygonilla [2] on kärjet, jotka ovat vuorotellen kahdella yhdensuuntaisella tasolla, ja siksi sillä on oltava parillinen määrä sivuja.
Säännöllinen avaruuspolygoni 3D-avaruudessa (ja säännöllinen avaruuden ääretön 2D-avaruudessa) ovat aina siksak-polygoneja.
Säännöllinen spatiaalinen monikulmio on isogonaalinen kuvio , jonka sivujen pituus on yhtä suuri. Kolmiulotteisessa avaruudessa säännölliset avaruuden polygonit ovat siksak-polygoneja (anti -rpismaattisia polygoneja ), joiden kärjet kuuluvat vuorotellen kahteen yhdensuuntaiseen tasoon. n - antiprisman sivut voivat määrittää säännöllisen spatiaalisen 2n - kulman.
Säännölliselle spatiaaliselle n-kulmiolle voidaan antaa nimitys {p}#{ } säännöllisen monikulmion { p} ja ortogonaalisen janan { } [3] yhdistelmänä . Peräkkäisten kärkien välinen symmetria liukuu .
Alla olevat esimerkit esittävät yhtenäisiä neliömäisiä ja viisikulmaisia antiprismoja. Tähtien antiprismat muodostavat myös säännöllisiä avaruuspolygoneja, joilla on eri tapoja yhdistää tähtien ylä- ja alapisteet.
| Tilallinen neliö |
Tilallinen kuusikulmio |
Tilallinen kahdeksankulmio |
| {2}#{ } | {3}#{ } | {neljä}#{ } |
| sr{2,2} | sr{2,3} | sr{2,4} |
| Tilallinen kymmenkulmio | ||
| {5}#{ } | {5/2}#{ } | {5/3}#{ } |
| sr{2,5} | sr{2,5/2 | sr{2,5/3 |
Säännöllinen kompleksi spatiaalinen 2 n -gon voidaan muodostaa lisäämällä toinen spatiaalinen 2 n -gon, joka saadaan kiertämällä ensimmäistä. Tässä tapauksessa kunkin osatekijän 2 n -gonin kärjet sijaitsevat prismamaisen antiprismien yhdistelmän pisteissä .
| Tilalliset neliöt |
Tilalliset kuusikulmiot |
Tilalliset kymmenkulmiot | |
| Kaksi {2}#{ } | Kolme {3}#{ } | Kaksi {3}#{ } | Kaksi {5/3}#{ } |
Petrie-polygonit ovat säännöllisiä spatiaalisia polygoneja, jotka on määritelty säännöllisten polyhedrien ja polytooppien sisällä . Esimerkiksi 5 platonista kiintoainetta sisältävät 4-, 6- ja 10-sivuisia säännöllisiä avaruuspolygoneja, kuten näistä ortogonaalisista projektioista nähdään ( projektiivinen verhokäyrä on esitetty punaisilla viivoilla ). Tetraedri ja oktaedri sisältävät kaikki siksak-polygonin kärjet, ja niitä voidaan pitää viivaosien ja kolmioiden antiprismoina.
Vinossa monikulmiossa on säännölliset pinnat tai pistekuviot säännöllisten spatiaalisten monikulmioiden muodossa. 3-avaruudessa on äärettömän monta tilaa täyttäviä säännöllisiä vinoja polygoneja , ja 4-avaruudessa on vinoja polygoneja, joista osa on yhtenäisen 4-polytoopin muodossa .
| {4,6|4} | {6,4|4} | {6,6|3} |
|---|---|---|
Säännöllinen vino kuusikulmio {3}#{ } |
Säännöllinen vino neliö {2}#{ } |
Säännöllinen vino kuusikulmio {3}#{ } |
Isogonaalinen 3D - polygoni on 3D-monikulmio, jossa on yhden tyyppinen kärkipiste, joka on yhdistetty kahdentyyppisillä sivuilla. Isogonaalisia avaruuspolygoneja, joiden sivujen pituus on yhtä suuri, voidaan pitää puolisäännöllisinä. Ne ovat samanlaisia kuin siksak-polygonit kahdella tasolla, paitsi että sivut voivat molemmat siirtyä toiselle tasolle ja pysyä samalla tasolla.
Isogonaalisia spatiaalisia monikulmioita voidaan saada n-kulmaisilla prismoilla, joissa on parillinen määrä sivuja, jotka liikkuvat vuorotellen monikulmion sivuja pitkin ja monikulmioiden välillä. Esimerkiksi kuution kärkeä pitkin - ohitamme kärjet pystysuunnassa punaisia reunoja pitkin ja sinisiä reunoja pitkin perusneliöiden sivuja.
Kuutio , neliö-lävistäjä |
Kierretty prisma |
Kuutio |
ylitetty kuutio |
Kuusikulmainen prisma |
Kuusikulmainen prisma |
Kuusikulmainen prisma |
4-ulotteisessa avaruudessa säännöllisillä avaruuspolygoneilla voi olla kärkipisteitä Clifford-toruksessa , ja ne yhdistetään Cliffordin siirtymällä . Toisin kuin siksak-polygonit, kaksoiskiertoisilla 3D-polygoneilla voi olla pariton määrä sivuja.
Säännöllisen 4-polytoopin Petrie-polygonit määrittelevät säännölliset spatiaaliset polygonit. Jokaisen Coxeterin symmetriaryhmän Coxeter-luku ilmaisee, kuinka monta sivua Petri-polygonilla on. Se on siis 5-sivuinen monikulmio 5-soluiselle , 8-sivuinen tesseraktille ja 16-solulle , 12 sivua 24 -solulle ja 30 sivua 120-solulle ja 600 -solulle .
Jos projisoimme nämä säännölliset spatiaaliset monikulmiot ortogonaalisesti Coxeterin tasolle , ne muuttuvat tasossa säännöllisiksi verhokäyräpolygoneiksi.
| A 4 , [3,3,3] | B 4 , [4,3,3] | F 4 , [3,4,3] | H4 , [ 5,3,3 ] | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Pentagon , Pentagram | Kahdeksankulmio | Dodecagon | Tridecagon | ||
viisisoluinen {3,3,3} |
tesserakti {4,3,3} |
heksadesimaalisolu {3,3,4} |
kaksikymmentäneljä solua {3,4,3} |
120 solua { 5,3,3 } |
kuusisataa solua {3,3,5} |
n - n duoprismassa ja kaksoisduopyramidissa [ on myös 2n - sivuisia Petri-polygoneja. ( Tesseraktti on 4-4 duoprisma ja kuusitoista solu on 4-4 duopyramidi.)
| Kuusikulmio | Decagon | Dodecagon | |||
|---|---|---|---|---|---|
3-3 duoprisma |
3-3 duopyramidia |
5,5-duoprisma |
5-5 duopyramid |
6-6 duoprisma |
6-6 duopyramid |