PSL(2,7)

Matematiikassa projektiivinen erikoislineaarinen ryhmä PSL (2, 7) (isomorfinen GL(3, 2) ) on äärellinen yksinkertainen ryhmä , jolla on tärkeitä sovelluksia algebrassa , geometriassa ja lukuteoriassa . Se on Kleinin kvartic automorfismiryhmä ja myös Fano-tason symmetriaryhmä . 168 elementin PSL(2, 7) on toiseksi pienin pienimmistä ei- Abelin yksinkertaisista ryhmistä (ensimmäinen on vuorotteleva ryhmä A 5 viidellä kirjaimella ja jossa on 60 elementtiä - ryhmä ikosaedrisen symmetrian kiertoja ).

Määritelmä

Täysi lineaarinen ryhmä GL(2, 7) koostuu kaikista käännettävistä 2×2 matriiseista yli F 7 :n , seitsemän alkion äärellisen kentän , eli joilla on nollasta poikkeavia determinantteja. Alaryhmä SL(2, 7) koostuu kaikista matriiseista, joiden yksikködeterminantti on . Siten PSL(2, 7) on tekijäryhmä

SL(2, 7)/{I, −I},

saatu tunnistamalla I ja −I, missä I on identiteettimatriisi . Tässä artikkelissa tarkoitamme G : llä mitä tahansa PSL:n (2, 7) kanssa isomorfista ryhmää.

Ominaisuudet

G = PSL(2, 7) sisältää 168 elementtiä. Tämä voidaan nähdä laskemalla mahdolliset sarakkeet. Ensimmäiselle sarakkeelle on 7 2 −1 = 48 mahdollisuutta, toiselle sarakkeelle 7 2 −7 = 42 mahdollisuutta. Meidän on jaettava arvolla 7−1 = 6, jotta determinantti olisi yhtä suuri, ja sitten meidän on jaettava 2:lla, kun tunnistamme I ja −I. Tulos on (48x42)/(6x2) = 168.

On hyvin tunnettua, että PSL( n , q ) on alkuluku arvolle n , q ≥ 2 (jossa q on jokin alkuluvun potenssi), ellei ( n , q ) = (2, 2) tai (2, 3). PSL(2, 2) on isomorfinen symmetriselle ryhmälle S3 ja PSL( 2 , 3 ) on isomorfinen vuorottelevalle ryhmälle A4 . Itse asiassa PSL(2, 7) on toiseksi suurin ei- Abelin yksinkertainen ryhmä vaihtuvan ryhmän jälkeen A 5 = PSL(2, 5) = PSL(2, 4).

Konjugaatioluokkien ja redusoitumattomien esitysten lukumäärä on 6. Luokkien lukumäärä on 1, 21, 42, 56, 24, 24. Pelkistymättömien esitysten mitat ovat 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Hahmotaulukko

{\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\ \\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4 }&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{array}},

missä:

\sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.

Seuraavassa taulukossa kuvataan konjugaatioluokat luokkien elementtien järjestyksen, luokkien lukumäärän, kaikkien GL(3, 2:n) esitysten vähimmäispolynomin ja PSL(2, 7).

Tilaus	Koko	Min. Polynomi	Toiminto
yksi	yksi	x +1	x
2	21	x 2 +1	−1/ x
3	56	x 3 +1	2 x
neljä	42	x 3 + x 2 + x +1	1/(3− x )
7	24	x 3 + x +1	x +1
7	24	x 3 + x 2 +1	x + 3

Ryhmän järjestys on 168=3*7*8, mikä tarkoittaa Sylow-alaryhmien olemassaoloa järjestyksessä 3, 7 ja 8. Kaksi ensimmäistä on helppo kuvata - ne ovat syklisiä, koska kaikki ryhmät, joilla on alkujärjestys on syklinen . Mikä tahansa konjugaatioluokan 3 A 56 elementti muodostaa Sylow 3 -alaryhmän. Mikä tahansa konjugasiteettiluokkien 7A24 , 7B24 elementti muodostaa Sylow 7 - alaryhmän . Sylow 2 -alaryhmä on 8. luokkaa oleva dihedraalinen ryhmä . Sitä voidaan kuvata minkä tahansa konjugaatioluokan 2 A 21 elementin keskittäjäksi . GL(3, 2) -esityksessä Sylow 2 -alaryhmä koostuu ylemmistä kolmiomatriiseista.

Tämä ryhmä ja sen Sylow 2-alaryhmä tarjoavat vastaesimerkin erilaisille normaaleille p-komplementtilauseille , kun p = 2.

Toimenpiteet projektiivisissä tiloissa

G = PSL(2, 7) toimii lineaarisen murto-osan muunnoksen kautta projektiivisella suoralla P 1 (7) 7 elementin kentässä:

Ja varten $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL(2, 7)))$ $x\in \mathbf {P} ^{1}(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d))$

Jokainen suoran P 1 (7) orientaatiota säilyttävä automorfismi saadaan tällä tavalla, jolloin G = PSL(2, 7) voidaan ymmärtää geometrisesti projektiivisen suoran P 1 (7) symmetriaryhmänä. Mahdollisten suuntaa säilyttävien automorfismien täysi ryhmä on PGL(2, 7) ryhmän 2. kertaluvun jatke ja projektitiivisen suoran kolineaatioryhmä on täysi symmetrinen pisteiden ryhmä.

Kuitenkin PSL(2, 7) on myös isomorfinen ryhmälle PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2)), joka on erityinen (yleinen) lineaarinen ryhmä 3×3 matriisien yli. 2 elementin kenttä. Vastaavasti G = PSL(3, 2) vaikuttaa projektiotasoon P 2 (2) 2-elementtikentän yli, joka tunnetaan myös nimellä Fano-taso :

Ja varten $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(3,2)$ $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}$

Jälleen mikä tahansa automorfismi P 2 (2) saadaan tällä tavalla, ja sitten G = PSL(3, 2) voidaan ymmärtää geometrisesti tämän projektiivisen tason symmetriaryhmäksi . Fanon tasoa voidaan kuvata oktonioiden tuotteeksi .

Symmetries of the Klein quartic

Kleinin kvartinen on kompleksilukujen C projektiiivinen monisto , joka määritellään neljännen asteen polynomilla

x 3 y + y 3 z + z 3 x = 0.

Se on suvun g = 3 kompakti Riemannin pinta ja ainoa sellainen pinta, jolla konformisen automorfismiryhmän koko saavuttaa maksimiarvon 84( g −1). Tämä raja johtuu Hurwitzin automorfismilauseesta , joka pätee kaikille g >1. Tällaiset " Hurwitz-pinnat " ovat harvinaisia. Seuraava suku, jolle tällainen pinta on olemassa, on g = 7 ja sen jälkeinen g = 14.

Kuten kaikille Hurwitz-pinnoille , Kleinin kvartiksille voidaan antaa jatkuva negatiivinen kaarevuus ja sitten laatoittaa säännöllisillä (hyperbolisilla) seitsekulmioilla kertaluvun 3 seitsemänkulmaisen laatoituksen tekijäavaruudena . Klein-kvartikselle tämä antaa 24 seitsemkulmaisen laatoituksen. Kaksinkertaisesti se voidaan laatoittaa 56 tasasivuisella kolmiolla, joissa on 24 kärkeä, joista jokainen on luokkaa 7, kertaluvun 7 kolmiomaisen laatoituksen tekijäavaruudena .

Kleinin kvartinen esiintyy monilla matematiikan aloilla, mukaan lukien esitysteoria, homologiateoria, oktonion kertolasku, Fermatin viimeinen lause .

Mathieu Group

PSL(2, 7 ) on Mathieu-ryhmän M21 maksimaalinen alaryhmä . Mathieu-ryhmät M 21 ja M 24 voidaan rakentaa PSL(2, 7) laajennuksiksi. Nämä laajennukset voidaan tulkita Kleinin kvarttisten laatoitusten avulla, mutta niitä ei voida toteuttaa geometrisilla laatoitussymmetrioilla [1] .

Ryhmätoiminnot

PSL(2, 7) toimii eri sarjoissa:

Jos tulkitaan projektiivisen suoran lineaarisiksi automorfismeiksi F 7 :n yli , se toimii 2-transitiivisesti 8 pisteen joukossa luokkaa 3 olevalla stabilaattorilla. (PGL(2,7) toimii tiukasti 3-transitiivisesti triviaalista stabilisaattorista.)
Se tulkitaan Kleinin kvarttisen laatoituksen automorfismeiksi, ja se toimii transitiivisesti 24 kärjessä (tai kaksoispisteessä 24 heptagonissa) luokkaa 7 olevalla stabilisaattorilla (vastaa pyörimistä kärjen/heptagon ympäri).
Jos tulkitaan Mathieu-ryhmän M 21 alaryhmäksi, joka toimii 21 pisteessä, se ei toimi transitiivisesti 21 pisteessä.

Muistiinpanot

↑ Richter .

Kirjallisuus

David A. Richter. Kuinka tehdä Mathieu Group M 24 .

Lisätietoa varten

Ezra Brown, Nicholas Loehr. Miksi PSL(2.7)≅GL(3.2) on? // Olen. Matematiikka. ma .. - 2009. - T. 116 , no. 8 . — S. 727–732 . - doi : 10.4169/193009709X460859 .