Principia Mathematica

Principia Mathematica
Englanti  Principia Mathematica
Tekijä Bertrand Russell ja Whitehead, Alfred North
Alkuperäinen kieli Englanti
Alkuperäinen julkaistu 1910 (Nide I), 1912 (Nide II), 1913 (Nide III)
Kustantaja Cambridge University Press
 Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Principia Mathematica on Alfred North Whiteheadin ja Bertrand Russellin  kolmiosainen teos matematiikan logiikasta ja filosofiasta , julkaistu vuosina 1910, 1912 ja 1913. Monografia on kirjoitettu englanniksi, mutta nimi on latinaksi. Otsikko käännettiin venäjäksi "Matematiikan periaatteet", "Matematiikan periaatteet" ja "Matematiikan perusteet".

Aristoteleen Organonin ( kreikaksi : Ὄργανον ) ja Gottlob Fregen aritmeettisten peruslakien ( saksa: Grundgesetze der Arithmetik ) ohella se on yksi historian vaikutusvaltaisimmista logiikan teoksista [1] . Principia Mathematican kokonaismäärä on noin 2000 sivua [2] .  

Russell ja Whitehead pyrkivät työssään osoittamaan, että kaikki matematiikka on pelkistettävissä logiikaksi joukon aksioomien ja muutamien peruskäsitteiden avulla, eli oikeuttaakseen logiikan . Tätä varten otettiin käyttöön tyyppiteoria , jonka sisällä oli mahdotonta muotoilla käsitettä "kaikkien joukkojen joukko", joka johti Russellin paradoksiin . Lisäksi otettiin käyttöön kaksi aksioomaa: äärettömyyden aksiooma (kohteita on ääretön määrä) ja pelkistyvyysaksiooma (jokaiselle joukolle on ensimmäisen asteen joukko, jonka tilavuus on yhtä suuri) [3] .

Historia

Leibniz ilmaisi implisiittisesti Principia Mathematican keskeisen ajatuksen matematiikan pelkistettävyydestä logiikkaan (logiikka) 1600-luvulla, myöhemmin Frege ilmaisi sen eksplisiittisesti , joka kehitti logiikan tekniseen perusteluun tarvittavan logiikkamatemaattisen laitteen. [1] .

Vuonna 1898 Whitehead julkaisi teoksensa logismista, Traktaatti universaalista algebrasta , ja vuonna 1903 Russell kirjoitti matematiikan periaatteet . Koska molemmat matemaatikot tulivat samanlaisiin johtopäätöksiin ja heidän työnsä aiheet olivat päällekkäisiä, he alkoivat pian tehdä yhteistyötä yhteisen työn parissa, jonka nimi oli Principia Mathematica . Nimen valinta ei liittynyt Newtonin Philosophiæ Naturalis Principia Mathematicaan , vaan Mooren Principia Ethicaan [4] [5] .

Russell vastasi teoksen filosofisesta osasta, kun taas tekniset näkökohdat kirjoitettiin yhdessä. Kuten Russell kirjoitti:

Mitä tulee matemaattisiin tehtäviin, Whitehead kehitti suurimman osan merkinnöistä, paitsi mitä Peanolla jo oli ; Työskentelin rivien kanssa ja Whitehead teki melkein kaiken muun. Mutta tämä koskee vain ensimmäisiä luonnoksia. Jokainen osa uusittiin 3 kertaa. Toinen meistä teki tekstistä ensimmäisen luonnoksen ja lähetti sen toiselle, joka yleensä muutti sitä oleellisesti ja lähetti sen takaisin. Sitten alkuperäisen luonnoksen kirjoittaja toi tekstin lopulliseen muotoonsa. Kaikissa kolmessa osassa on tuskin ainuttakaan riviä, joka ei olisi yhteisen työn tulos.

Alkuperäinen teksti  (englanniksi)[ näytäpiilottaa] Mitä tulee matemaattisiin ongelmiin, Whitehead keksi suurimman osan merkinnöistä, paitsi siltä osin kuin se oli otettu Peanolta; Tein suurimman osan sarjoihin liittyvästä työstä ja Whitehead teki suurimman osan lopusta. Mutta tämä koskee vain ensimmäisiä luonnoksia. Jokainen osa tehtiin kolme kertaa. Kun toinen meistä oli tehnyt ensimmäisen luonnoksen, hän lähetti sen toiselle, joka yleensä muutti sitä huomattavasti. Sen jälkeen se, joka oli tehnyt ensimmäisen luonnoksen, laittoi sen lopulliseen muotoon. Kaikissa kolmessa osassa on tuskin riviä, joka ei olisi yhteinen tuote. - Bertrand Russell. Minun filosofinen kehitys . - Lontoo: Allen ja Unwin, 1959. - s  . 74 . - 279 s. — ISBN 0041920155 .

Matemaatikot suunnittelivat saavansa työn valmiiksi vuodessa, mutta lähes kymmenen vuoden kuluttua työ ei ollut vielä valmis. Lisäksi Cambridge University Press päätti, että tämän teoksen julkaiseminen aiheuttaisi 600 punnan menetystä , josta kustantaja oli valmis ottamaan vastaan ​​300 puntaa, Lontoon Royal Societyn lahjoitti 200 ja maksoi kumpikin 50 puntaa Russellille ja Whiteheadille. henkilökohtaisista varoista. Tällä hetkellä ei ole yhtään akateemista kirjastoa, jolla ei olisi Principia Mathematica -painosta [1] .

Sisältö

Principia Mathematica koostuu 3 osasta, jotka on jaettu 6 osaan.

Osa I julkaistiin vuonna 1910, ja se sisälsi perusaksioomia ja sääntöjä korkeamman asteen aksioomien johtamiseen, perusoperaatioita joukkoihin ja binäärisuhteisiin sekä yhden ja kahden määrittelyä numeroina. Osassa I käsiteltiin Zermelon lausetta , valinnan aksioomaa ja Cantor-Bernsteinin lausetta .

Osa II julkaistiin vuonna 1912. Siinä käsiteltiin kardinaalilukuja ja niiden aritmeettisia operaatioita, äärellisiä lukuja, binäärirelaatioaritmetiikkaa, lineaarisesti järjestettyjä joukkoja , järjestettyjä Dedekind -joukkoja , rajapisteitä ja jatkuvia toimintoja .

Volume III julkaistiin vuonna 1913. Se käsitteli hyvin järjestettyjä joukkoja , täysin järjestettyjä joukkoja, kokonaislukujoukkoja, rationaalisia, reaalilukuja ja niiden mittausta. Käsiteltiin myös kysymystä valinnan aksiooman ja hyvin järjestyksen periaatteen vastaavuudesta.

Volume IV oli suunniteltu julkaistavaksi, mutta sitä ei koskaan kirjoitettu. Sen piti olla omistettu geometrialle [1] [6] .

Kritiikkiä ja vaikuttamista

Kirja Principia Mathematica oli suuri saavutus kahdessa suhteessa: se edisti merkittävästi matemaattisen logiikan kehitystä ja osoitti, kuinka päästä eroon kaikista tunnetuista joukkoteorian paradokseista . Sen kirjoittajat väittivät kuitenkin enemmän - selventääkseen matemaattisen tiedon olemusta. Tässä suhteessa heidän kantansa ei saanut juurikaan kannatusta. Logismin kannattajia ovat Alonzo Church ja Willard Van Orman Quine , vastustajien leirissä ovat sellaiset merkittävät matemaatikot kuin A. Poincaré , D. Hilbert , G. Weil ja monet muut.

Kriitikot ovat hyökänneet sekä logismin ideologiaa että sen erityistä inkarnaatiota vastaan ​​kirjassa. He huomauttivat, että Russell-Whitehead-rakenteen johdonmukaisuutta ei ollut todistettu, eikä ollut mitään takeita siitä, ettei uusia paradokseja ilmaantuisi. Kaksi uutta tekijöiden ehdottamaa aksioomaa, äärettömyyden aksiooma ja pelkistettävyyden aksiooma, aiheuttivat erityistä hylkäämistä. Monet matemaatikot ovat väittäneet, että nämä aksioomit eivät ole puhtaasti loogisia [7] . Siten kriitikkojen mukaan äärettömyyden aksiooma on empiirinen , mutta ei looginen. Ja pelkistettävyyden aksioomilta puuttuu intuitiivista näyttöä, ja se otettiin käyttöön tapauskohtaisesti tyyppiteorian haitallisten vaikutusten kiertämiseksi. Näin ollen kysymys logismin tieteellisestä arvosta jäi avoimeksi [1] .

Kun K. Gödel liittyi työhön Principia Mathematican muodollisten järjestelmien johdonmukaisuuden todistamiseksi , tuli käännekohta. Vuonna 1931 Gödel osoitti, että muodollisen aritmeettisen johdonmukaisuutta ei voida perustella omilla keinoillaan, ja oletus sen johdonmukaisuudesta tarkoittaa, että on mahdotonta todistaa kaikkia ensimmäisen asteen aksioomia luonnollisista lukuista (ks . Gödelin epätäydellisyyslause ). Tiedeyhteisössä tämä Gödel-lause pidettiin mahdottomuutena toteuttaa sekä logiikan että formalismin täysimittaista toteutusta . Gödelin Principia Mathematican muodollisia järjestelmiä koskevan työn tulokset eivät koskeneet vain logiikkaa, matematiikkaa ja filosofiaa, vaan myös kysymyksiä, jotka ovat sellaisilla ihmistietämyksen aloilla kuin epistemologia , psykologia ja tekoälyjärjestelmien metodologia [3] .

Kritiikistä huolimatta Principia Mathematica on edelleen yksi maailman vaikutusvaltaisimmista loogisista teoksista. Tämän työn ansiosta uusi matemaattinen logiikka sai paljon suuremman suosion. Yksi Russellin ja Whiteheadin ansioista tässä on se, että he onnistuivat, kuten kukaan muu ei ole aiemmin onnistunut, osoittamaan predikaattilogiikan voiman. He myös osoittivat, kuinka rikas ja monipuolinen ajatus muodollisista järjestelmistä voi olla, ja avasivat siten uuden tutkimuslinjan - metalogiikan . Principia Mathematicalla oli suuri vaikutus logiikan jatkokehitykseen ja se merkitsi alkua monille metalologisille tutkimuksille. Joten vuonna 1920 E. Post osoitti propositionaalisen logiikan deduktiivisen ja toiminnallisen täydellisyyden ja vuonna 1930 K. Gödel todisti predikaattilogiikan deduktiivisen täydellisyyden [3] . Kirjan käsitteet vaikuttivat myös A. Turingin ja A. Churchin [1] loogisten ja matemaatikoiden työhön .

Lisäksi Russell ja Whitehead osoittivat selkeän yhteyden logiikan ja filosofian kahden päähaaran: metafysiikan ja epistemologian välillä . Principia Mathematica on kannustanut tutkimusta molempiin suuntiin ja vaikuttaa edelleen matematiikkaan ja logiikkaan [2] .

Vaikka yritykset elvyttää Russellin ja Whiteheadin logismia jatkuvat tähän päivään asti, monet kirjoittajat uskovat, että Principia Mathematican muodolliset järjestelmät ovat liian heikkoja tai sekavaa oikeuttaakseen todella logiikan mahdollisuuden [1] .

Käännökset muille kielille

Kirjan ensimmäisen osan käännös venäjäksi julkaistiin vuonna 2004, toinen osa - vuonna 2005, kolmas osa - vuonna 2006. Käännös tehtiin G. P. Yarovoyn ja Yu. N. Radaevin toimituksissa [2] .

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Irvine, AD Principia Mathematica  // The Stanford Encyclopedia of Philosophy. – 2010.
  2. ↑ 1 2 3 Samara State University (pääsemätön linkki) . Käyttöpäivä: 7. elokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 26. tammikuuta 2007. 
  3. ↑ 1 2 3 A. S. Karpenko. Matematiikan periaatteet // Epistemologian ja tiedefilosofian tietosanakirja. - M . : "Kanon +", ROOI "kuntoutus". I. T. Kasavin, 2009.
  4. ↑ Nicholas Griffin. Cambridgen seuralainen Bertrand Russellille . - Cambridge University Press, 2003. - S. 66. - 550 s. — ISBN 0521636345 .
  5. ↑ I. Grattan-Guinness. Matemaattisten juurien etsintä, 1870–1940: Logiikka, joukkoteoriat ja matematiikan perusteet Cantorista Russellin kautta Godeliin . - Princeton University Press. - 2011. - s. 380. - 624 s. — ISBN 1400824044 .
  6. ↑ Stanley Burris. Principia Mathematica: Whitehead ja  Russell . – 1997.
  7. ↑ Kline M., 1984 , s. 260-267.

Kirjallisuus

Painos venäjäksi

Linkit

  Siirry Wikidata-kohteeseen  Sanakirjat ja tietosanakirjat
Bibliografisissa luetteloissa