Abstrakti monitahoinen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. toukokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Matematiikassa abstrakti monitahoinen on epävirallisesti sanottuna rakenne, joka ottaa huomioon vain perinteisten polyhedrien kombinatoriset ominaisuudet ja jättää huomioimatta monet niiden muut ominaisuudet, kuten kulmat, reunan pituudet jne. Se ei vaadi tilaa, jossa monitaho on , kuten euklidinen avaruus . Abstrakti muotoilu toteuttaa kombinatoriset ominaisuudet osittain järjestetynä joukkona ("poset" [1] ).

Abstrakti määritelmä sallii joitain yleisempiä kombinatorisia rakenteita kuin perinteinen monitahoinen käsite ja mahdollistaa monia uusia objekteja, joilla ei ole vastinetta perinteisessä teoriassa.

Perinteiset polyhedrat vs. abstraktit

Euklidisessa geometriassa yllä olevan kuvan kuusi nelikulmiota eroavat toisistaan. Silti heillä on jotain yhteistä, joka erottaa ne esimerkiksi kolmiosta tai kuutiosta.

Tyylikäs, vaikkakin maantieteellisesti epätarkka, Lontoon metron kartta tarjoaa kaikki olennaiset tiedot siitä, kuinka päästä pisteestä A pisteeseen B. Vielä parempi esimerkki on sähköpiirikaavio . Sen mukaan johtojen ja elementtien lopullista sijaintia on usein mahdotonta määrittää ensi silmäyksellä.

Jokaisessa tällaisessa esimerkissä elementtien väliset suhteet ovat samat eivätkä liity fyysiseen sijaintiin . Tässä tapauksessa objektien sanotaan olevan kombinatorisesti ekvivalentteja . Tämä vastaavuus sisältyy abstraktin monitahoisen käsitteeseen. Siten kombinatorisesti kuusi nelikulmiamme ovat "samoja". Tarkemmin sanottuna ne ovat isomorfisia tai "säilyttää rakenne".

Perinteisten monitahojen ominaisuudet, erityisesti mitattavissa olevat, kuten kulmat, reunan pituudet, epäsymmetria ja kupera, ovat merkityksettömiä abstraktien polyhedrien kannalta . Muita perinteisiä käsitteitä voidaan harkita, mutta ei aina samalla tavalla . Saattaa käydä niin, että jokin perinteisten monitahojen arvio ei välttämättä pidä paikkaansa abstraktien monitahojen kohdalla ja päinvastoin. Esimerkiksi perinteiset polyhedrat ovat säännöllisiä, jos niiden kaikki pinnat ja kärkikuviot ovat säännöllisiä, mutta näin ei ole abstraktien polyhedrien tapauksessa [2] .

Johdantokäsitteet

Abstraktien polyhedrien määrittelemiseksi on otettava käyttöön useita käsitteitä.

Tässä artikkelissa polyhedronilla tarkoitetaan abstraktia monitahoja , ellei nimenomaisesti toisin mainita. Termiä perinteinen käytetään viittaamaan siihen, mitä yleisesti ymmärretään polyhedraksi , abstrakteja polyhedraja lukuun ottamatta. Joskus kirjoittajat käyttävät termejä klassinen tai geometrinen .

Polyhedra osittain tilattuina sarjoina

Rautatie- tai sähkökaavion liitännät voidaan esittää yksinkertaisesti "pisteillä ja viivoilla", eli kaaviolla . Polyhedrillä on kuitenkin ulottuvuushierarkia . Esimerkiksi kuution kärkien, reunojen ja pintojen mitat ovat vastaavasti 0, 1 ja 2. Itse kuutio on 3-ulotteinen.

Tässä abstraktissa teoriassa arvon käsite korvaa ulottuvuuden käsitteen . Tämä käsite määritellään muodollisesti jäljempänä.

Käytämme kasvojen käsitettä mille tahansa arvoltaan minkä tahansa elementin , kuten kärkien (sijoitus 0) tai reunojen (sijoitus 1), suhteen, ei vain tason 2 kasvot. Elementtiä, jolla on arvo 2, kutsutaan k - pinnaksi .

Voimme sitten määritellä monitahoisen joukoksi kasvoja P , joiden järjestysrelaatio < , joka täyttää lisäaksioomit. Muodollisesti P (järjestyssuhteella < ) on (tiukasti) osittain järjestetty joukko ( poset [1] ).

Jos F < G, sanomme, että F on G:n puoli (tai G:llä on F:n puoli).

Sanomme, että F ja G ovat sattumanvaraisia , jos joko F = G tai F < G tai G < F. Tämä merkitys eroaa perinteisestä geometrian ja muiden matematiikan alueiden käytöstä . Esimerkiksi neliössä abcd reunat ab ja bc eivät ole sattumanvaraisia.

Pienimmät ja suurimmat kasvot

Aivan kuten nollan ja äärettömän käsitteet ovat välttämättömiä matematiikassa, samat käsitteet ovat erittäin hyödyllisiä abstrakteille monitahoille - jokaisella polyhedronilla katsotaan olevan pienin pinta, joka on kaikkien muiden osapinta, ja suurin pinta, jolle kaikki muut pinnat ovat alapinnat.

Itse asiassa monitahoisella voi olla vain yksi kasvo. Tässä tapauksessa pienin ja suurin kasvot ovat samat.

Pienintä ja suurinta pintaa kutsutaan sopimattomiksi . Kaikkia muita kasvoja kutsutaan oikeiksi .

Pienintä pintaa kutsutaan tyhjäksi kasvoksi, koska sillä ei ole pisteitä (tai muita kasvoja) alipinnoina. Koska pienin pinta on alempana kärkien tasolla (nollatason pinnat), sen arvo on −1 . Merkitään tämä kasvo F −1 . Jos tämä näyttää ensi silmäyksellä oudolta, tämä tunne katoaa nopeasti, kun ymmärtää, mitä symmetriaa tämä käsite tuo teoriaan. (Historiallisesti matemaatikot ovat vastustaneet sellaisia ​​käsitteitä kuin negatiiviset luvut, murto-, irrationaali- ja kompleksiluvut ja jopa nolla!)

Yksinkertainen esimerkki

Esimerkkinä luodaan nyt abstrakti neliö reunoilla kuten taulukossa:

Kasvotyyppi Sijoitus ( k ) Määrä k - kasvot
Vähiten −1 yksi F -1
Huiput 0 neljä a , b , c , d
kylkiluut yksi neljä W, X, Y, Z
Suurin 2 yksi G

Relaatio < määritellään joukoksi pareja, jotka (tässä esimerkissä) sisältää

F −1 < a , … , F −1 <X, ... , F −1 <G, ... , b <Y, ... , c <G, ... , Z< G.

Tässä esimerkissä voisimme kirjoittaa reunat W, X, Y ja Z muodossa ab , ad , bc ja cd , ja käytämme tätä merkintää usein. Mutta kuten pian näemme, tällainen merkintäjärjestelmä ei ole aina hyväksyttävä.

Kutsumme tuloksena olevaa kuviota neliöksi , ei nelikulmioksi (tai nelikulmioksi ), koska abstraktissa maailmassamme ei ole kulmia eikä reunoilla ole pituuksia. Kaikki neljä reunaa ovat identtisiä ja "geometria" jokaisessa kärjessä on sama.

Järjestysrelaatiot ovat transitiivisia , eli F < G ja G < H seuraa, että F < H. Siten kasvojen hierarkian kuvaamiseksi ei ole tarpeen määrittää kaikkia tapauksia F < H, riittää, että osoitetaan seuraava elementti jokaiselle elementille, eli kun F < H ja ei ole G:tä, jolle F < G < H.

Hasse-kaavio

Pienet posetit ja erityisesti polyhedrat näkyvät usein hyvin Hasse-kaaviolla , kuten kuvassa näkyy. Yleensä saman luokan kasvot sijoitetaan samalle vaakatasolle. Jokainen pintojen välinen "viiva" vastaa paria F, G siten, että F < G, jossa F on kaaviossa G:n alapuolella.

Monitahoinen piirretään usein epävirallisesti graafina . Graafilla on kärjet ja reunat, mutta ei kasvoja. Lisäksi useimmille polyhedreille ei ole mahdollista saada kaikkia muita kasvoja graafista, ja yleensä eri polyhedreillä voi olla sama graafi.

Hasse-kaavio puolestaan ​​​​kuvaa täysin mitä tahansa posettia - Hasse-kaaviot kattavat kaikki polyhedra-rakenteet. Isomorfiset polytoopit antavat isomorfisia Hasse-kaavioita ja päinvastoin.

Sijoitus

Pinnan F järjestys määritellään kokonaislukuna ( m  − 2), missä m on suurin määrä kasvoja missä tahansa ketjussa ( F', F", ... , F), joka täyttää F' < F" < .. <F.

Asetusarvo P on minkä tahansa kasvon maksimiarvo n , eli maksimikasvojen arvo (kuten edellä todettiin, millä tahansa polytoopililla on maksimikasvot). Tässä artikkelissa käytämme aina n : tä posetin tai polyhedronin arvoon.

Tästä seuraa, että pienimmällä pinnalla, eikä millään muulla, on arvo −1 ja suurimmalla kasvolla n . Merkitsemme niitä F −1 ja F n vastaavasti.

Kasvon tai polyhedronin arvo vastaa tavallisesti perinteisessä teoriassa vastapuolen ulottuvuutta , mutta ei aina. Esimerkiksi tason 1 pinta vastaa reunaa, jonka ulottuvuus on 1. Mutta perinteisessä geometriassa avaruuspolygoni on kolmiulotteinen, koska se ei ole tasainen. Abstraktissa vastineessa tällainen monikulmio pysyy tason 2 abstraktina polygonina.

Joillekin riveille on olemassa nimiä kasvotyypeille.

Sijoitus −1 0 yksi 2 3 … n  - 2 n  - 1 n
Kasvotyyppi Pienin
_		 Vertex Reuna † Cell hyperedge Hyperface Suurin

† Vaikka "kasvot" ymmärretään perinteisesti 2-tason kasvoiksi, kirjoitamme aina "kaksikasvot" epäselvyyden välttämiseksi ja säilytämme termin "kasvot" viittaamaan minkä tahansa tason kasvoihin.

Segmentti

Segmentti  on asento, jolla on minimipinta, tasan kaksi 0-pintaa ja suurin pinta, kuten {ø, a, b, ab }. Tämä tarkoittaa välittömästi, että kärkien a ja b arvo on 0 ja suurimmalla pinnalla ab ja siten itse posetilla on arvo 1.

Liput

Lippu  on maksimaalinen pintojen ketju , eli (täysin) järjestetty pintojen joukko Ψ, jossa jokainen pinta on seuraavan (jos sellainen on) osapinta ja sellainen, että Ψ ei ole minkään suuremman ketjun osajoukko.

Esimerkiksi { ø , a , ab , abc } on lippu kolmiossa abc .

Lisäksi vaadimme, että tietyn monitahoisen kaikki liput sisältävät saman määrän kasvoja. Posetit eivät yleensä täytä näitä vaatimuksia. Posetissa { ø ,  a ,  b ,  bc ,  abc } on 2 erikokoista lippua, joten se ei ole monitahoinen.

On selvää, että jos lipussa on kaksi erillistä pintaa F, G, niin joko F < G tai F > G.

Osat

Mikä tahansa posetin P osajoukko P' on poset (samalla suhteella < rajoitettu P':ään).

Erityisesti ottaen huomioon posetin P kaksi pintaa F , H , jossa F ≤ H , joukko { G | F ≤ G ≤ H } kutsutaan P : n osaksi ja sitä merkitään H / F . (Järjestysteorian terminologiassa jaksoa kutsutaan suljetuksi poset-väliksi ja sitä merkitään [ F , H ], mutta käsitteet ovat identtisiä).

Joten P on osa itsestään.

Esimerkiksi prismassa abcxyz (katso kuva) xyz / ø -osa (korostettu vihreällä) on kolmio

{ ø , x , y , z , xy , xz , yz , xyz }.

k -osio  on luokan k jakso .

Polytooppi, joka on toisen polytoopin osajoukko, ei välttämättä ole leikkaus. Neliö abcd on tetraedrin abcd osajoukko, mutta ei sen osa .

Leikkauksen käsitteellä ei ole samaa merkitystä perinteisessä geometriassa.

Vertex-luvut

Tietyssä kärjessä V oleva kärkiluku on F n / V :n  ( n − 1)-leikkaus, jossa F n on suurin pinta.

Esimerkiksi kolmiossa abc pistekuvio kohdassa b , abc / b , on { b, ab, bc, abc }, eli jana. Kuution kärkiluvut ovat kolmioita.

Yhteydet

Poset P on yhdistetty , jos arvo P ≤ 1 tai kahdelle oikealle pinnalle F ja G on olemassa sarja oikeita kasvoja

H1 , H2 , … , Hk

Sellainen, että F = H 1 , G = H k ja jokainen pinta Hi , i < k osuu edelliseen pintaan.

Yllä oleva ehto varmistaa, että erillisten kolmioiden pari abc ja xyz ei ole (yksi) monitahoinen.

Poset P on vahvasti kytketty , jos jokainen P:n osa (mukaan lukien itse P) on yhdistetty.

Tällä lisävaatimuksella kaksi pyramidia, joilla on vain yhteinen kärki, suljetaan pois. Kuitenkin esimerkiksi kaksi neliömäistä pyramidia voidaan "liimata" niiden neliömäisiä pintoja pitkin, jolloin saadaan oktaedri. Tässä tapauksessa "yhteiset kasvot" eivät ole oktaedrin kasvot.

Muodollinen määritelmä

Abstrakti monitahoinen  on osittain järjestetty joukko , jonka elementtejä kutsumme kasvoiksi ja joka täyttää seuraavat neljä aksioomaa:

  1. Sillä on pienimmät kasvot ja suurimmat kasvot .
  2. Kaikissa lipuissa on sama määrä kasvoja.
  3. Hän on tiukasti sidottu .
  4. Mikä tahansa 1-osio on segmentti .

N - polytooppi on polytooppi , jonka arvo on n .

Muistiinpanot

Tyhjän polyhedronin tapauksessa pienin ja suurin pinta ovat sama yksittäinen elementti .

Aksiooma 2 vastaa sanomista, että poset on arvosteltu asento .

Jos muut aksioomit pätevät, Aksiooma 3 vastaa lippujen vahvaa yhteyttä , mikä epävirallisesti tarkoittaa:

Minkä tahansa monitahoisen osan kohdalla (mukaan lukien itse monitahoinen) mitä tahansa lippua voidaan muuttaa missä tahansa muussa osassa muuttamalla vain yhtä pintaa kerrallaan.

Aksiooma 4 tunnetaan "timantin ominaisuutena", koska Hasse-kaaviossa janaa edustaa nelikulmio (timantti).

Aksioomista voidaan osoittaa, että mikä tahansa leikkaus on monitahoinen ja että Rank( G / F ) = Rank( G ) − Rank( F ) − 1.

Yksinkertaisin polyhedra

Sijoitus < 2

On vain yksi polytooppi, jolla kullakin on arvot −1, 0 ja 1, ja tämä on vastaavasti tyhjä polytooppi , piste ja segmentti .

Kun n ≤ 1, polytoopin kaikki n -osat ovat (yksilöllisiä) n - polytooppeja. Kuitenkin kasvoja, joiden arvo on 0 ja 1 monitahoista kutsutaan kärjeksi ja reunaksi , vastaavasti.

Sijoitus 2

Jokaiselle p , 3 ≤ p < on (abstrakti vastine) perinteiselle polygonille, jossa on p kärki ja p reuna, a p - kulmio. Kun p = 3, 4, 5, … saadaan kolmio, neliö, viisikulmio, ….

Arvolle p \u003d 2 saamme digonin ja p \ u003d  - apeirogonille .

Digon

Digon on monitahoinen, jossa on kaksi reunaa, mikä vastaa nimeä. Toisin kuin muut polygonit, molemmilla reunoilla on kaksi yhteistä kärkeä. Tästä syystä sitä pidetään rappeutuneena .

Toistaiseksi olemme käyttäneet "vertex-merkintää" esimerkiksi reunojen määrittämiseen. { ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc } kolmiolle abc . Tällä menetelmällä on selvä etu < -relaation asettamiseen verrattuna .

Digonin ja monien muiden abstraktien polyhedrien tapauksessa kärkimerkintää ei voida käyttää . Joudumme antamaan kasvoille yksilölliset nimet ja määrittämään alipintojen parit F < G (määritä järjestys).

Näin ollen digoni on määriteltävä joukoksi { ø , a , b , E', E", G} järjestyssuhteella <

{ ø < ​​​​a , ø < b , a <E', a <E", b <E', b <E", E'<G, E"<G}

jossa E' ja E" ovat kaksi reunaa ja G on suurin pinta.

Yhteenvetona voidaan todeta, että monitahoinen voidaan kuvata täydellisesti kärkimerkinnällä vain, jos jollakin pinnalla on ainutlaatuinen kärkijoukko . Monitahoista, jolla on tämä ominaisuus, kutsutaan atomiksi .

Korkeamman asteen esimerkkejä

Kuten edellä todettiin, abstraktin polyhedronin käsite on hyvin yleinen ja sisältää:

  • Ääretön , eli ääretön polyhedra tai substituutio
  • Muiden monistojen, kuten toruksen tai todellisen projektiivitason hajoamat
  • On monia muita objekteja, kuten yksitoista -solu ja fifty-seven -solu , jotka eivät sovi tavalliseen tapaan "normaaleihin" geometrisiin tiloihin.

Yleisesti ottaen perinteisen n -polytoopin j -pintojen joukko (−1 ≤ j ≤ n ) muodostaa abstraktin n -polytoopin.

Hosohedra

Digon on yleistetty osohedralla , joka voidaan toteuttaa pallon pallomaisina monitahoina .

Projektiivinen polyhedra

Neljä esimerkkiä ei-perinteisistä abstrakteista polyhedreistä ovat puolikuutio [3] (näkyy kuvassa), puolioktaedri , puolidodekaedri ja puoli-ikosaedri . Nämä polyhedrat ovat projektiivisiä vastineita säännöllisille polyhedraille , ja ne voidaan toteuttaa projektiivisinä monitahoina  — ne muodostavat todellisen projektiivitason .

Puolikuutio on toinen esimerkki, jossa huippupisteiden merkintää ei voida soveltaa – kaikilla 2-pinnalla ja 3-pinnalla on samat kärkijoukot.

Kaksinaisuus

Jokaisella polyhedronilla on duaali , monitaho, jossa osajärjestys on päinvastainen - kaksoispolyhedronin Hasse-kaavio on sama kuin alkuperäisessä, mutta käännettynä ("ylösalaisin"). Jokainen n -polytoopin alkuperäinen k -pinta siirtyy duaalin ( n −  k  −  1)-pintaan. Joten esimerkiksi n - pinta siirtyy (−1)-pintaan. Duaalin kaksoispolytooppi on identtinen ( isomorfinen ) alkuperäisen kanssa.

Polytooppi on itseduaali, jos se osuu yhteen kaksoispolytooppinsa kanssa, eli on isomorfinen duaalin kanssa. Siten itsekaksoispolytoopin Hasse-kaavion on oltava symmetrinen vaaka-akselin suhteen. Yllä olevan esimerkin neliöpyramidi on itsekaksoispolyhedri.

Huippukuvio kärjessä V on kaksoispolyhedronin vastaavan pinnan duaali.

Abstrakti säännöllinen polyhedra

Muodollisesti abstrakti polytooppi määritellään "säännölliseksi", jos sen automorfismiryhmä toimii transitiivisesti sen lippujen joukossa. Erityisesti mitkä tahansa kaksi n - polytoopin k -pintaa F ja G ovat "samat", eli on olemassa automorfismi, joka kuvaa F :n G :hen . Kun abstrakti polytooppi on säännöllinen, sen automorfismiryhmä on isomorfinen Coxeter-ryhmän tekijäryhmän kanssa .

Kaikki polytoopit, joiden arvo on ≤ 2, ovat säännöllisiä. Tunnetuimmat säännölliset polyhedrat ovat viisi platonista kiintoainetta. Myös puolikuutio (näkyy kuvassa) on oikea.

Epävirallisesti tämä tarkoittaa, että jokaisella arvolla k ei ole mitään tapaa erottaa k - kasvot muista - kasvojen on oltava samat ja niillä on oltava samat naapurit ja niin edelleen. Esimerkiksi kuutio on säännöllinen, koska sen kaikki pinnat ovat neliöitä, neliön jokainen kärki kuuluu kolmeen ruutuun ja jokaista neliötä ympäröivät samat muut pinnat, reunat ja kärjet ja niin edelleen.

Tämä ehto ilman lisäyksiä riittää siihen, että abstraktilla polyhedrillä on isomorfiset säännölliset ( n − 1)-pinnat ja isomorfiset säännölliset kärkiluvut.

Tämä on heikompi ehto kuin perinteisten polyhedrien oikeellisuus, koska se viittaa (kombinatoriseen) automorfismiryhmään, ei (geometriseen) symmetriaryhmään. Esimerkiksi mikä tahansa abstrakti monikulmio on oikea, koska kulmia, reunan pituuksia, reunan kaarevuutta, vinoutta jne. ei ole olemassa abstrakteille polyhedraille.

On joitain muita löystyviä käsitteitä, joista jotkin eivät ole aivan standardoituja, kuten puolisäännölliset , kvasisäännölliset , yhtenäiset , kiraaliset polyhedrat ja Archimedean solids , jotka koskevat monitahoja, joissa jotkin, mutta eivät kaikki, pinnat ovat vastaavia jokaiselle arvolle.

Esimerkki epäsäännöllisestä monitahoisesta

Kun otetaan huomioon, kuinka paljon tilaa on säännöllisille monitahoille, näyttää siltä, ​​​​että kaikki monitahot ovat säännöllisiä. Itse asiassa tavalliset polyhedrat ovat hyvin erikoistapauksia.

Yksinkertaisin epäsäännöllinen monitahoinen on neliöpyramidi , vaikka sillä on monia symmetrioita.

Kuvassa on esimerkki monitahoisesta, jossa ei ole ei-triviaalista symmetriaa - yksikään kärki-, reuna- tai 2-pintapari ei ole "sama" kuten edellä on määritelty. Ehkä tämä on yksinkertaisin näistä polyhedraista.

Toteutukset

Mikä tahansa perinteinen monitahoinen on esimerkki sen taustalla olevan abstraktin polyhedronin toteutumisesta. Sama pätee tasojen tai muiden paloittain lineaaristen jakotukkien laatoituksiin , joiden mitat ovat kaksi tai enemmän. Jälkimmäisiin kuuluvat esimerkiksi projektiiviset polyhedrat. Ne voidaan saada monitahoista keskussymmetriaa käyttämällä tunnistamalla vastakkaiset kärjet, reunat, pinnat jne. Kolmessa ulottuvuudessa tämä antaa puolikuution ja puolidodekaedrin ja niiden duaalit, puolioktaedrin ja puoli-ikosaedri .

Yleisemmin säännöllisen abstraktin polytoopin toteutus on joukko avaruudessa olevia pisteitä (vastaa polytoopin kärkipisteitä) yhdessä (abstraktin) polytoopin niille muodostaman kasvorakenteen kanssa, ja tällä rakenteella on ainakin sama symmetriaa alkuperäisenä abstraktina polytooppina. Eli kaikki abstraktien polyhedrien kombinatoriset automorfismit toteutetaan geometristen symmetrioiden avulla. Esimerkiksi pistejoukko {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} on abstraktin 4-kulmaisen (neliön) toteutus. Tämä ei kuitenkaan ole ainoa toteutus - voit valita sen sijaan tavallisen tetraedrin kärjet. Neliön mille tahansa symmetrialle on olemassa vastaava säännöllisen tetraedrin symmetria (säännölliselle tetraedrille on kuitenkin enemmän symmetrioita kuin abstraktille 4 kulmiolle).

Itse asiassa millä tahansa abstraktilla polytoopilla, jossa on v -pisteitä, on vähintään yksi toteutus ( v  − 1)-ulotteisen simpleksin kärkipisteenä . Usein on mielenkiintoista löytää oivallus pienimmässä ulottuvuudessa.

Jos abstrakti n - polytooppi on toteutettu n - ulotteisessa avaruudessa siten, että geometrinen järjestely ei riko perinteisten monitahojen sääntöjä (kuten kaarevia pintoja tai harjuja [4] , joiden koko on nolla), tällaisen toteutuksen sanotaan olevan olla oikeassa . Yleensä vain rajoitettu joukko abstrakteja polyhedrejä, joiden arvo on n , voidaan toteuttaa oikein mille tahansa n - avaruudelle.

Yhdistämisongelma ja universaali polyhedra

Kombinatoristen rakenteiden perusteoria, joka tunnetaan nykyään "abstrakteina polytoopeina" (alun perin "incidenssipolytoopit" - satunnaiset polyhedrat) on kuvattu Egon Schulten väitöskirjassa, vaikka se perustuu Branko Grünbaumin , Harold Coxeterin ja Jacques Titsin aikaisempiin töihin. . Siitä lähtien abstraktien polytooppien teorian tutkimus on keskittynyt pääasiassa säännöllisiin polytooppeihin, eli polytooppeihin, joiden automorfismiryhmät vaikuttavat transitiivisesti polytoopin lippujoukossa .

Tärkeä kysymys abstraktien polyhedrien teoriassa on sekoitusongelma . Tehtävä koostuu sarjasta kysymyksiä, kuten

Kun on annettu abstraktit polytoopit K ja L , onko olemassa polytooppia P , jonka fasetit ovat K ja jonka kärkiluvut ovat L  ? Jos on, ovatko ne kaikki rajallisia? Mitä tämän tyyppisiä äärellisiä monitahoja on olemassa?

Esimerkiksi, jos K on neliö ja L  on kolmio, vastaukset näihin kysymyksiin ovat seuraavat

Kyllä, on polytooppeja P , joiden neliöpinnat on yhdistetty kolmella yhdessä kärjessä (eli polyhedrat, joiden tyyppi on {4,3}). Kyllä, ne ovat kaikki rajallisia On kuutio , jossa on kuusi neliömäistä pintaa, kaksitoista reunaa ja kahdeksan kärkeä, ja puolikuutio , jossa on kolme pintaa, kuusi reunaa ja neljä kärkeä.

Tiedetään, että jos vastaus ensimmäiseen kysymykseen on kyllä ​​( Kyllä ) jollekin oikealle K :lle ja L: lle, niin on olemassa ainutlaatuinen polytooppi, jonka fasetit ovat K ja jonka kärkiluvut ovat L. Tätä polytooppia kutsutaan universaaliksi polytooppiksi näillä puolilla ja kärkikuvioilla, joka kattaa kaikki tämän tyyppiset polytoopit. Eli oletetaan, että P on universaali polytooppi, jolla on fasetit K ja kärkiluvut L . Sitten mikä tahansa muu polytooppi Q , jolla on nämä pinnat ja kärkikuviot, voidaan kirjoittaa muodossa Q = P / N , missä

  • N on ryhmän P  automorfismien alaryhmä
  • P / N on P : n elementtien ratajoukko N :n vaikutuksen alaisena ryhmän P generoiman osittaisjärjestyksen kanssa .

Q = P / N kutsutaan P :n osamääräksi , ja sanomme, että P kattaa Q :n .

Tämän tosiasian vuoksi monitahojen haku valituilla faseteilla ja kärkikuvioilla noudattaa yleensä seuraavaa skenaariota:

  1. Yritämme löytää universaalin monitahoisen
  2. Yritämme luokitella yksityisiä.

Nämä kaksi tehtävää ovat yleisesti ottaen hyvin vaikeita.

Palatakseni yllä olevaan esimerkkiin, jos K on neliö ja L  on kolmio, universaali polytooppi { K , L } on kuutio (joka kirjoitetaan muodossa {4,3}). Puolikuutio on suhde {4,3}/ N , jossa N  on ryhmä symmetriaa (automorfismia), jossa on kaksi elementtiä - identiteettisymmetria ja symmetria, joka kuvaa kunkin kulman (reunan tai pinnan) vastakkaiseen elementtiin.

Jos L on myös neliö, universaali polytooppi { K , L } (eli {4,4}) on euklidisen avaruuden laatoitus neliöillä. Tässä laatoituksessa on ääretön määrä neliöosaosamäärää, neljä pistettä kohti, joista osa on säännöllisiä ja osa ei. Kaikki osamäärät yleisintä monitahoista lukuun ottamatta vastaavat erilaisia ​​tapoja laatoittaa toruksen tai äärettömän pitkän sylinterin pinta neliöillä .

Yksitoista solua ja viisikymmentäseitsemän solua

Coxeterin ja Grünbaumin itsenäisesti löytämä yksitoista solu on abstrakti 4-ulotteinen monitahoinen. Sen pinnat ovat puoli-ikosaedrejä. Koska fasetit ovat topologisesti projektiivisiä tasoja eivätkä palloja, yksitoista solu ei ole minkään monisteen laatoitus tavallisessa merkityksessä. Sen sijaan yksitoista solu on paikallisesti projektiivinen polytooppi. Yksitoista solu ei ole vain matemaattisesti kaunis, vaan se on historiallisesti tärkeä ensimmäinen löydetty epätavallinen abstrakti monitahoinen. Monitahoinen on itsedual ja universaali - se on ainoa monitahoinen, jossa on puoli-ikosaedriset fasetit ja hemi-dodekaedriset kärkihahmot.

50 -soluinen on myös itsekaksoittava, sillä on puolidodekaedriset puolet. Harold Coxeter löysi monitahoisen pian yhdentoista solun löytämisen jälkeen. Kuten 11-soluinen, se on universaali, koska se on ainoa monitahoinen puolidodekaedriset fasetit ja puoli-ikosaedriset kärkihahmot. Toisaalta on olemassa monia muita polytooppeja, joissa on puolidodekaedriset fasetit ja Schläfli-symboli {5,3,5}. Universaali polyhedri, jossa on puolidodekaedriset fasetit ja ikosaedri (ei puoliikosaedri) kärkihahmot, on äärellinen, mutta erittäin suuri, siinä on 10006920 fasettia ja puolet vähemmän pisteitä.

Paikallinen topologia

Sulautumisongelma liittyi historiallisesti paikalliseen topologiaan . Toisin sanoen sen sijaan, että K ja L rajoitetaan tiettyihin polytooppeihin, kaikki polytoopit, joilla on tietty topologia , ovat sallittuja , toisin sanoen mikä tahansa tietyn jakosarjan monitahoinen laatoitus . Jos K ja L ovat pallomaisia ​​(eli topologisen pallon laatoituksia ), niin P :n sanotaan olevan paikallisesti pallomainen ja se vastaa jonkin monisteen laatoitusta. Esimerkiksi, jos K ja L ovat molemmat neliöitä (ja siksi topologisesti ympyröitä), P on tason, toruksen tai Klein-pullon laatoitus neliöillä. N -ulotteisen moniston laatoitus on itse asiassa monitahoinen, jonka arvo on n  + 1. Ja tämä on yhdenmukainen sen intuition kanssa, että platoniset kiinteät aineet ovat kolmiulotteisia, vaikka niitä voidaan pitää pinnan pinnan tessellaatioina. pallon kaksiulotteinen pinta.

Yleisesti ottaen abstraktia polytooppia kutsutaan paikallisesti X :ksi , jos sen fasetit ja kärkikuviot ovat topologisesti joko palloja tai X , mutta eivät palloja samaan aikaan. Yksitoista solu ja viisikymmentäseitsemän solua ovat esimerkkejä paikallisesti projektiivisistä rank-4 polytoopeista (eli neliulotteisista), koska niiden fasetit ja kärkihahmot ovat laattoja todellisista projektiivitasoista . Tässä on kuitenkin terminologiassa heikkous. Määritelmä ei tarjoa yksinkertaisia ​​tapoja kuvata monitahoja, joiden fasetit ovat tori ja joiden kärkikuviot ovat projektitiivisia tasoja. Vielä pahempaa on, kun eri puolilla on eri topologiat tai ei ollenkaan määriteltyä topologiaa. Iso askel on kuitenkin otettu kohti n paikallisesti toroidisen säännöllisen polyhedran täydellistä luokittelua [5] .

Exchange-näytöt

Olkoon Ψ  abstraktin n -polytoopin lippu ja olkoon −1 <  i  <  n . Abstraktin polytoopin määritelmästä voidaan todistaa, että on olemassa ainutlaatuinen lippu, joka eroaa Ψ :stä vain yhdellä i -luokan elementillä ja on muuten sama. Jos merkitsemme tällaista lippua Ψ ( i ) :llä , niin tämä määrittelee joukon monitahoisen lippukuvauksia, sanotaan φ i . Näitä kuvauksia kutsutaan vaihtokuvauksiksi , koska ne vaihtavat lippupareja: ( Ψφ i ) φ i  =  Ψ [6] . Joitakin muita vaihtokartoitusten ominaisuuksia:

  • φ i 2 identiteettikartoitus
  • φ muodostan ryhmän . _
  • Jos | i  −  j | > 1, φ i φ j = φ j φ i
  • Jos α  on monitahoisen automorfismi, niin αφ i = φ i α
  • Jos polytooppi on säännöllinen, φ i :n generoima ryhmä on isomorfinen automorfismiryhmän kanssa, muuten se on ehdottomasti suurempi.

Vaihtokartoilla voidaan osoittaa, että mikä tahansa abstrakti polytooppi on johdettu jostain säännöllisestä polytoopista.

Tapahtumamatriisit

Monitahoinen voidaan esittää esiintyvyystaulukkona. Alla on kolmion esiintyvyysmatriisi:

ø a b c ab eKr noin abc
ø • • • • • • • •
a • • • • •
b • • • • •
c • • • • •
ab • • • • •
eKr • • • • •
noin • • • • •
abc • • • • • • • •

Piste taulukossa osoittaa, että yksi pinta on toisen pinnan alipinta (tai päinvastoin , jolloin taulukko on vinosti symmetrinen ). Näin ollen taulukko sisältää redundanttia tietoa , riittäisi näyttää piste, kun rivin pinnan numero ≤ sarakkeen pintanumero (ylempi kolmiomatriisi).

Koska itse runko ja tyhjä joukko liittyvät kaikkiin muihin elementteihin, ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake sekä viimeinen rivi ja viimeinen sarake ovat triviaaleja ja ne voidaan jättää pois.

Lisätietoja saat laskemalla tapauksia. Tämä numeerinen esitys mahdollistaa ryhmittelyn symmetrian mukaan, kuten neliömäisen pyramidin Hasse-kaaviossa  - jos pisteet B, C, D ja E ovat symmetrisesti ekvivalentteja abstraktissa monitahoisessa, niin reunat f, g, h ja j ryhmitellään yhteen, ja sama reunoille k, l, m ja n. Lopuksi kolmiot ' P' , ' Q' , ' R' ja ' S' on myös ryhmitelty . Abstraktin polyhedronin vastaava esiintymismatriisi voi näyttää tältä:

 A B, C, D, E f, g, h, j k, l, m, n P , Q , R , S T
A yksi * neljä 0 neljä 0
B, C, D, E * neljä yksi 2 2 yksi
f, g, h, j yksi yksi neljä * 2 0
k, l, m, n 0 2 * neljä yksi yksi
P , Q , R , S yksi 2 2 yksi neljä *
T 0 neljä 0 neljä * yksi

Tässä esiintymämatriisissa diagonaaliset elementit antavat kunkin elementtityypin kokonaismäärän.

On selvää, että saman luokan eri tyyppiset elementit eivät voi koskaan olla sattumanvaraisia, joten arvo on aina 0, mutta tämän suhteen tunnistamisen helpottamiseksi taulukossa käytetään tähteä (*) nollan sijasta.

Taulukon subdiagonaaliset elementit kullekin riville edustavat vastaavien alielementtien esiintymisten määrää, kun taas diagonaaliset elementit edustavat elementtien esiintymien lukumäärää kärkipisteissä, reunoissa ja muissa muodoissa.

Jo tämä esimerkki neliömäisestä pyramidista osoittaa, että tällainen esiintymismatriisi ei ole symmetrinen. Taulukkoelementtien yksinkertaiset liitännät jäävät kuitenkin jäljelle, koska tällaisille esiintymämatriiseille pätee seuraava:

Historia

Varhaisia ​​esimerkkejä abstrakteista polyhedraista löysivät Coxeter ja Petrie  , kolme ääretöntä rakennetta {4, 6}, {6, 4} ja {6, 6}, joita he kutsuivat säännöllisiksi vinoiksi infinithedraksi .

Vuonna 1960 Branko Grünbaum kutsui geometrisen yhteisön keskustelemaan säännöllisen polyhedran käsitteen yleistyksestä , jota hän kutsui polystromataksi (poly + stromata [7] ). Hän kehitti teorian näyttämällä esimerkkejä uusista objekteista, mukaan lukien yksitoista solu .

Yksitoista solu on itsekaksoisinen neliulotteinen monitahoinen , jonka pinnat eivät ole ikosaedrejä , vaan " puoli-ikosaedrejä ". Toisin sanoen luvut, jotka saadaan, jos ikosaedrin vastakkaisia ​​puolia pidetään yhtenä (samana) pinnana (Grünbaum, 1977). Muutama vuosi sen jälkeen, kun Grünbaum löysi yhdentoista solun, Coxeter löysi samanlaisen monitahoisen, fifty -seven solun (Coxeter 1982, 1984), ja löysi sitten itsenäisesti uudelleen yhdentoista solun.

Egon Schulte määritteli "säännölliset tapahtumakompleksit" ja "säännölliset tapahtumapolyhedrat" väitöskirjassaan 1980-luvulla, joka tarjosi ensimmäisen modernin määritelmän. Myöhemmin hän ja Peter McMullen taustalla olevan teorian sarjassa papereita, jotka myöhemmin koottiin kirjaksi. Lukuisat tutkijat ovat osallistuneet sen jälkeen, ja tutkimuksen pioneerit (mukaan lukien Grünbaum) ovat hyväksyneet Schulten määritelmän "oikeana".

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 poset = osittain tilattu sarja
  2. ↑ McMullen, Schulte, 2002 , s. 31.
  3. ↑ Englannin kielessä on kaksi termiä, jotka voidaan kääntää puolikuutioksi - hemicube  ja demicube. Artikkeli käsittelee hemicubea.
  4. ↑ Kampa on pinta, jonka mitat ovat n -2. Kolmiulotteisten polytooppien kohdalla harjanne osuu reunaan.
  5. ↑ McMullen, Schulte, 2002 .
  6. ↑ Hartley, Hulpke, 2010 , s. 107.
  7. ↑ polystromata = poly + stromata, stromata = pl. tuntia stromasta = kanta, luuranko

Kirjallisuus