Legendren arvelu (Landaun 3. ongelma) on matemaattinen olettamus tulosten ja hypoteesien perheestä alkulukujen välisistä intervalleista , joiden mukaan mille tahansa luonnolliselle on olemassa alkuluku välillä ja . Se on yksi Landaun ongelmista . Legendren muotoilema vuonna 1808, [1] vuodesta 2022 lähtien ei todistettu eikä kumottu.
Alkulukujakauman lauseesta seuraa, että alkulukujen määrä välillä ja [2] pyrkii asymptoottisesti . Koska tämä luku kasvaa kasvaessa , tämä antaa perusteita Legendren hypoteesille.
Jos olettamus on totta, minkä tahansa alkuluvun ja seuraavan alkuluvun välin tulee aina olla luokkaa [3] , ja -notaatiossa väli on . Kaksi vahvempaa hypoteesia, Andritzin olettamus ja Oppermanin olettamus, olettavat saman intervallien käyttäytymisen. Hypoteesi ei anna ratkaisua Riemannin hypoteesille , vaan vahvistaa yhtä seurauksista, jos hypoteesi pitää paikkansa.
Jos Cramerin olettamus on totta (että intervalleilla on järjestys ), siitä seuraa Legendren arvelu riittävän suurelle . Cramer osoitti myös, että heikompi rajoitus suurimman alkulukujen välisen intervallin koolle seuraa Riemannin hypoteesista [4] .
Vastaesimerkillä, joka on noin 10 18 , tulisi olla 50 miljoonaa kertaa keskimääräinen intervalli.
Legendren olettamuksesta seuraa, että Ulam-spiraalin jokaisesta puolikierroksesta löytyy ainakin yksi alkuluku .
2000-luvun alussa todettiin, että välissä on alkuluku kaikille suurille [5] .
Alkulukujen maksimivälien taulukko osoittaa [6] , että hypoteesi pätee .
On todistettu, että äärettömälle määrälle lukuja ,
missä on alkulukujen jakaumafunktio [7] .
Hypoteesit alkuluvuista _ | |
---|---|
Hypoteesit |