Differentiaali (matematiikka)

Differentiaali ( latinan sanasta differentia "ero, ero") on funktion inkrementin lineaarinen osa .

Merkintä

Yleensä funktion differentiaalia merkitään . Jotkut kirjoittajat haluavat käyttää latinaa korostaakseen, että differentiaali on operaattori . $f$ $df$ ${{\rm {d}}}f$

Differentiaalia pisteessä merkitään , ja joskus tai , sekä , jos merkitys on selvä asiayhteydestä. $x_{0}$ $d_{{x_{0}}}f$ $df_{{x_{0}}}}$ $df[x_{0}]$ $df$ $x_{0}$

Vastaavasti differentiaalin arvoa pisteessä from voidaan merkitä muodossa , ja joskus tai , ja myös , jos merkitys on selkeä asiayhteydestä. $x_{0}$ $h$ $d_{{x_{0}}}f(h)$ $df_{{x_{0}}}(h)$ $df[x_{0}](h)$ $df(h)$ $x_{0}$

Differentiaalimerkin käyttö

Differentiaalin etumerkkiä käytetään integraalin lausekkeessa . Tässä tapauksessa joskus (eikä aivan oikein) differentiaali otetaan käyttöön osana integraalin määritelmää $\int f(x)\, dx$ $dx$ .
Myös differentiaalin etumerkkiä käytetään Leibnizin merkinnässä derivaatta varten . Tämä merkintä perustuu siihen tosiasiaan, että funktion ja identtisen funktion differentiaaleille suhde on tosi: $f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})$ $f$ $x$ $d_{{x_{0}}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{{x_{0}}}x.$

Määritelmät

Toimintoja varten

Funktion differentiaali pisteessä voidaan määritellä lineaarifunktioksi $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}$

d_{{x_{0}}}f(h)=f'(x_{0})h,

jossa tarkoittaa derivaatta pisteessä ja on argumentin lisäys siirtyessään kohdasta . $f'(x_{0})$ $f$ $x_{0}$ $h$ $x_{0}$ $x_{0}+h$

Siten on olemassa kahden argumentin funktio . $df$ $df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{{x_{0}}}f(h)$

Differentiaali voidaan määritellä suoraan, eli ilman derivaatan määritelmää, funktiona , joka riippuu lineaarisesti arvosta ja jolle seuraava relaatio on tosi $d_{{x_{0}}}f(h)$ $h$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

Näytöille

Kuvauksen differentiaali pisteessä on lineaarinen kuvaus siten, että ehto $f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Kuvausta kutsutaan differentioituvaksi pisteessä, jos differentiaali on määritelty . $f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$

Ominaisuudet

Lineaarisen operaattorin matriisi on yhtä suuri kuin Jacobilainen matriisi ; sen elementit ovat osittaisia johdannaisia . $d_{{x_{0}}}f$ $f$
- Huomaa, että Jacobi-matriisi voidaan määrittää pisteessä, jossa differentiaalia ei ole määritelty.
Funktion differentiaali liittyy sen gradienttiin seuraavan konstitutiivisen suhteen avulla $f$ $\nabla f$ $d_{{x_{0}}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle$

Historia

Termin "differentiaali" otti käyttöön Leibniz . Sitä käytettiin alun perin tarkoittamaan " ääretöntä pientä " - määrää, joka on pienempi kuin mikä tahansa äärellinen suure, mutta ei kuitenkaan ole nolla. Tämä näkemys on osoittautunut epämukavaksi useimmilla matematiikan aloilla, lukuun ottamatta ei-standardianalyysiä . $dx$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Differentiaalin käsite sisältää enemmän kuin vain funktion tai mappauksen differentiaalin. Se voidaan yleistää antamaan useita tärkeitä kokonaisuuksia funktionaalisessa analyysissä , differentiaaligeometriassa, mittateoriassa, ei-standardianalyysissä, algebrallisessa geometriassa ja niin edelleen.

Kirjallisuus

G. M. Fikhtengolts "Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi"

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista maailman ympäri Pieni Brockhaus ja Efron Treccani

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet

Infinitesimaalien ja infinitesimaalien laskenta
Tarina	Leibnizin merkintä Integroitu merkki Jakamattomien menetelmä
Liittyvät kohteet	Mukautettu analyysi
Formalismit	Ero
Käsitteet	Numeron vakioosa Siirtymäperiaate Hyperinteger Inkrementtilause Monad Sisäinen sarja Levi-Civitan kenttä Hyperfinite set Jatkuvuuden laki ylivuoto Mikrojatkuvuus Transsendentti homogeenisyyden laki
Tiedemiehet	Archimedes Leibniz Robinson Maatila Cauchy Euler
Kirjallisuus	Infinitesimaalien analyysi Elementaariset laskelmat Analyysikurssi

Johdannaisia latinalaisesta kirjaimesta D, d
Kirjaimet	РР ð̤ ð̞ Ꟈꟈ Ďď d̯ Đđ Ɖɖ Ɗɗ Ƌƌ Ḋḋ Ḍḍ Ḏḏ Ḑḑ D̦d̦ D̂d̂ D̓d̓ d̈ D̤d̤ Ḓḓ Dd Ḍ́ḍ́ D̲d̲ d̪ d͔ d͕ ȡ ᶑ ᶑ̥ ᴅ ᴆ ᴅ́ ᴅ̣ ᴅ͔ ᴅ͕ ᵭ ꝱ ȸ e̥ ᶁ Ǳǲǳ Ǆǅǆ ʣ ʤ 𝼒 𝼙 ꭦ ʥ Ꝺꝺ
Symbolit	ⅅ/ⅆ ∂ ₫ ₰ 𝄊 𝄉 Ⓓⓓ ⒟