Kaksoisnumerot

Paraboliset kaksoisluvut tai (hyper) kompleksiluvut ovat muotoa , missä ja ovat reaalilukuja , ja ovat abstrakteja elementtejä, joiden neliö on yhtä suuri kuin nolla, mutta se ei ole nolla itse. Mikä tahansa kaksoisluku määräytyy yksilöllisesti tällaisella numeroparilla ja . Kaikkien kaksoislukujen joukko muodostaa kaksiulotteisen kommutatiivisen assosiatiivisen algebran , jolla on yksikkö reaalilukukentän kertolaskuoperaation alla . Toisin kuin tavallisten kompleksilukujen kenttä , tämä algebra sisältää nollajakajia , ja niillä kaikilla on muoto . Kaikkien kaksoislukujen taso on "vaihtoehtoinen kompleksitaso". Kompleksi- ja kaksoislukujen algebrat rakennetaan samalla tavalla. $a+\varepsilon b$ $a$ $b$ $\varepsilon$ $a$ $b$ $\mathbb {R}$ $a\varepsilon$

Kommentti. Joskus kaksoislukuja kutsutaan kaksoisluvuiksi [1] , vaikka tavallisesti erilainen hyperkompleksilukujärjestelmä ymmärretään kaksoisluvuiksi .

Määritelmä

Algebrallinen määritelmä

Kaksoisluvut ovat muodon reaalilukupareja , joille kerto- ja yhteenlaskuoperaatiot määritellään sääntöjen mukaan: $(a,\;b)$

\ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2)

\ (a_{1},\;b_{1})(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2 }+a_{2}b_{1})

Tässä tapauksessa muodon numerot identifioidaan reaaliluvuilla ja numeroa merkitään merkillä , jonka jälkeen määrittävät identiteetit saavat muodon: $(a,\;0)$ $(0,\;1)$ $\varepsilon$

\varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepsilon

(a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2),

(a_1+\varepsilon b_1)(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1a_2)+\varepsilon (a_1b_2+a_2b_1).

Lyhyesti sanottuna kaksoislukujen rengas on polynomin generoiman ideaalin reaalipolynomien renkaan tekijärengas . $\R[x]/(x^2)$ $x^{2}$

Lineaarinen esitys

Kaksoisluvut voidaan esittää reaalilukujen matriiseina , joissa kaksoislukujen yhteenlasku vastaa matriisilaskua ja lukujen kertolasku vastaa matriisikertoa. Anna . Sitten mielivaltainen kaksoisluku saa muodon $\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}$

a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}

Ohjeellinen muoto

Eksponentille , jolla on kaksoiseksponentti, seuraava yhtälö on totta:

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x

Tämän kaavan avulla voit esittää minkä tahansa kaksoisluvun eksponentiaalisessa muodossa ja löytää sen logaritmin todellisesta kannasta. Se voidaan todistaa laajentamalla eksponenttia Taylor-sarjassa :

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \ cdots

Tässä tapauksessa kaikki ensimmäisen järjestyksen yläpuolella olevat termit ovat yhtä suuria kuin nolla. Näin ollen:

\sinh \varepsilon x = \sin \varepsilon x = \varepsilon x

\cosh \varepsilon x = \cos \varepsilon x = 1

Aritmeettiset operaatiot

Lisäys $(a+b\varepsilon)+(c+d\varepsilon)=(a+c)+(b+d)\varepsilon$
Vähennyslasku $(a+b\varepsilon)-(c+d\varepsilon)=(ac)+(bd)\varepsilon$
Kertominen $(a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=(ac)+(bc+ad)\varepsilon$
Division $\frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \varepsilon$

Roots

Lajinumeron n:s juuri määritellään seuraavasti $a+\varepsilon b$

{\sqrt[{n}]{a))+{\frac {\varepsilon b}{n{\sqrt[{n}]{a^{n-1))))}.

Erottaminen

Kaksoisluvut liittyvät läheisesti funktioiden eriyttämiseen. Tarkastellaan analyyttistä funktiota , jonka määritelmäalue voidaan luonnollisesti laajentaa kaksoislukujen renkaaseen. Sen voi helposti osoittaa $f(x)$

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

Miksi se on niin

Kuten tiedetään,

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{nk}b^{k},

tuo on

(x+y\varepsilon )^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{nk}(y\varepsilon )^{k}, \qquad(1)

mutta koska kaikki yhtä suuremmat potenssit ovat nolla, niin $\varepsilon$

(x+y\varepsilon )^{n}=x^{n}+nx^{n-1}y\varepsilon .

Harkitse nyt toiminnon laajentamista Maclaurin-sarjassa (kaikki on samanlainen kuin Taylor-sarjan laajennus):

f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {x^{k}}{k!}}.

Tarkastellaan samaa kaksoisargumentin funktiota:

f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {(x+y\varepsilon )^{k }}{k!}}.

Kaavan (1) avulla saamme

f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}+kx^{k-1} y\varepsilon }{k!}}=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}}{k!)}}+y\ varepsilon \sum _{k=1}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}.

Toinen termi ei ole muuta kuin funktion derivaatan sarjalaajennus , toisin sanoen $f$

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

QED

Siten tekemällä laskelmia ei reaaliluvuilla, vaan kaksoisluvuilla, voidaan automaattisesti saada funktion derivaatan arvo pisteessä. On erityisen kätevää tarkastella funktioiden koostumuksia tällä tavalla.

Kaksoislukujen ja epästandardien analyysilukujen välillä voidaan vetää analogia . Duaalien renkaan kuvitteellinen yksikkö ε on kuin epästandardin analyysin äärettömän pieni määrä: mikä tahansa potenssi (suurempi kuin ensimmäinen) on täsmälleen 0, kun taas mikä tahansa äärettömän pienen luvun potenssi on suunnilleen yhtä suuri kuin 0 (on korkeamman kertaluvun infinitesimaali) . Näin ollen, jos on äärettömän pieni luku, niin muodon hyperreaalilukujen renkaaseen asti on isomorfinen kaksoislukujen renkaan kanssa. $\varepsilon$ $\delta$ $o(\delta)$ $\R+\R\delta$

Muistiinpanot

↑ J. Humphrey . Lineaariset algebralliset ryhmät. — M .: Nauka , 1980. — S. 121.

Kirjallisuus

IM Yaglom Kompleksiluvut ja niiden soveltaminen geometriassa. M.: Fizmatlit, 1963. 192 s.
VV Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024 (englanniksi)

Numeeriset järjestelmät
Laskettavat sarjat	Luonnolliset luvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Kokonaisluvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Järkevä ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrallinen ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Jaksot Laskettavissa Aritmeettinen
Reaaliluvut ja niiden laajennukset	Todellinen ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Monimutkainen ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaternions ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyn numerot (oktaavit, oktoniot) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Vaihtoehdot Kaksinkertainen Hyperkompleksi Superrealistinen Hypermateriaali surrealistinen
Numeeriset laajennustyökalut	Cayley-Dixonin menettely Frobenius-lause Hurwitzin lause
Muut numerojärjestelmät	kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaals) p-adic Yliluonnollisia lukuja intervallinumerot
Katso myös	kaksoisnumerot Irrationaalisia lukuja transsendenttiset numerot numerosäde Biquaternion

Infinitesimaalien ja infinitesimaalien laskenta
Tarina	Leibnizin merkintä Integroitu merkki Jakamattomien menetelmä
Liittyvät kohteet	Mukautettu analyysi
Formalismit	Ero
Käsitteet	Numeron vakioosa Siirtymäperiaate Hyperinteger Inkrementtilause Monad Sisäinen sarja Levi-Civitan kenttä Hyperfinite set Jatkuvuuden laki ylivuoto Mikrojatkuvuus Transsendentti homogeenisyyden laki
Tiedemiehet	Archimedes Leibniz Robinson Maatila Cauchy Euler
Kirjallisuus	Infinitesimaalien analyysi Elementaariset laskelmat Analyysikurssi