Unohtava toimija

Unohdusfunktio ( an Erasing Functor ) on kategoriateoreettinen funktionaali , joka "unohtaa" osan tai kaikki alkuperäisen toimialueen algebralliset rakenteet ja ominaisuudet, toisin sanoen se muuntaa lisärakenteilla ja -ominaisuuksilla varustetut toimialueet koodidomeeneiksi, joilla on vähemmän rajoituksia.

Käsitteellä ei ole tiukkaa määritelmää, ja sitä käytetään laadullisesti karakterisoimaan tällaisten funktioiden tuottamia muunnoksia. Algebrallisella rakenteella , jolla on määrätty operaatiosarja, näitä muunnoksia voidaan kuvata allekirjoituksen vähentämiseksi, esimerkiksi unohdusfunktio on sellainen, joka yhdistää jokaisen renkaiden kategorian renkaan ${\mathbf {Rng}}$ sen additiiviseen Abelin-ryhmään kategoriasta ja ${\mathbf {Ab))$ ottaa rengashomomorfismit ryhmähomomorfismit . Allekirjoitus voi tulla tyhjäksi, eli alkuperäisen rakenteen kantoaaltojoukko osoittautuu sellaisen funktionaalin koodialueeksi; esimerkki tällaisesta funktorista on ryhmien muuntaminen ryhmien luokasta ${\mathbf {Grp))$ niiden elementtijoukkoiksi . luokka ${\mathbf {Set}}$ , joka muuttaa homomorfismit "tavallisiksi" joukkojen kartoituksiksi. Koska monet matematiikan konstruktit kuvataan joukoiksi lisärakenteella, on funktorin unohtaminen kantoaaltojoukoksi käytännössä yleisin esimerkki; mahdollisuus rakentaa unohtava funktori joukkojen kategoriaan on konkreettisen kategorian tärkeän käsityksen taustalla . Lisäksi unohtava funktori voi säilyttää rakenteita, mutta samalla vähentää ominaisuuksien rajoituksia .

Esimerkki

Esimerkkinä voidaan mainita useita unohtavia funktioita kommutatiivisten renkaiden kategoriasta. Universaalialgebran kielellä kuvattu kommutatiivinen rengas on joukko < R , +, *, a , 0, 1 > , joka täyttää tietyt aksioomit; tässä + ja * ovat joukon R binäärioperaatioita , a on unaarioperaatio (vastaavan alkion ottaminen yhteenlaskemalla), 0 ja 1 ovat nollaoperaatioita identtisten alkioiden ottamisesta yhteen- ja kertolaskulla. Yksikön poistaminen vastaa unohtavaa toimijaa renkaiden luokkaan ilman yksikköä; * :n ja 1 :n poisto vastaa Abelin ryhmien luokkaan kuuluvaa funktoria , joka yhdistää jokaisen renkaan ryhmäänsa lisäämällä. Lisäksi jokainen renkaiden morfismi liittyy samaan toimintoon , jota pidetään vain Abelin ryhmien morfismina. Koko allekirjoituksen poistaminen vastaa funktiota joukkojen luokassa.

Rakenteen ja ominaisuuksien poistaminen

On tiettyjä eroja niiden funktoreiden välillä, jotka "unohtavat rakenteen" ja "unohtavat vain ominaisuudet". Jos funktorit ja "pyyhkivät" operaatiot, niin esimerkkinä funktorista, joka menettää ominaisuuksia, voidaan antaa muunnos Abelin ryhmien luokasta ryhmäluokkaan , joka menettää kertolaskujen kommutatiivisuuden aksiooman , mutta säilyttää kaikki operaatiot. ${\mathbf {Rng}}\to {\mathbf {Ab}}$ ${\mathbf {Grp}}\to {\mathbf {Set}}$

Unohtelevat toimijat ovat lähes aina yksiarvoisia . Esimerkiksi konkreettiset luokat määritellään luokiksi, jotka sallivat yksiarvoisen funktionaalin joukkojen luokkaan. Funktiot, jotka unohtavat aksioomit , ovat aina täysin univalentteja .

Vasen adjointfunktiontori

Unohtuneet funktorit ovat usein jättäneet konjugaattifunktioita , jotka rakentavat vapaita objekteja . Esimerkiksi:

vapaa moduuli : unohtava funktio (kategoria -moduulit ) :een, jolla on vasen adjoint , joka vastaa joukon kartoittamista vapaaksi moduuliksi, jossa on kanta ; ${\mathbf {Mod}} (R)$ $R$ ${\mathbf {Set}}$ $\operaattorinimi {Ilmainen }_{R}$ $X\mapsto \operaattorin nimi {Ilmainen}_{R}(X)$ $X$ $R$ $X$
vapaa ryhmä ;
tensorialgebra .

Tässä tapauksessa konjugasio tulkitaan seuraavasti: ottaen joukon X ja siihen rakennetun objektin (esimerkiksi moduulin M ), joukkojen kuvaukset vastaavat yksiselitteisesti moduulien kuvauksia . Vektoriavaruuksien tapauksessa tämä sanotaan yleensä näin: "kartoitus annetaan kantavektoreiden kuvilla, ja kantavektorit voidaan lähettää minne tahansa", tämä tosiasia ilmaistaan kaavalla: $X:lle M$ $\operaattorinimi {Ilmainen }_{R}(X)\to M$

\operaattorinimi {Hom}_{{\mathbf {Mod}}_{R}}}(\operaattorinimi {Ilmainen }_{R}(X),M)=\operaattorinimi {Hom}_{{{\mathbf { Aseta}}}}(X,\operaattorin nimi {Unohda}(M))

Kenttien luokka on esimerkki kategoriasta, jossa unohtavalla funktorilla ei ole adjointtia: ei ole kenttää, joka täyttää joukon X vapaan universaalin ominaisuuden .

Kirjallisuus

McLane, Saunders . Categories for the Working Mathematician = Categories for the Working Mathematician. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 25. - 352 s. — ISBN 5-9921-0400-4 .