Neliön kolmionumero

Numeroteoriassa neliön kolmioluku (tai kolmion neliöluku ) on luku, joka on sekä kolmio että neliö . Neliön kolmiolukuja on ääretön määrä.

Esimerkiksi numero 36 on sekä neliön ( ) että kolmion muotoinen : ${\näyttötyyli 6\kertaa 6}$ $\left({\frac {9\times 8}{2}}\right)$

Neliön kolmioluvut muodostavat sarjan:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, ... (sekvenssi A001110 OEIS : ssä ).

Kaavat

Kirjoitamme N k k : nnelle neliön kolmioluvulle, s k ja t k neliön ja kolmion sivuille, vastaavasti,

N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2)).

Sekvenssit Nk , sk ja tk ovat läsnä OEIS : ssä ( A001110 , A001109 ja A001108 , vastaavasti).

Vuonna 1778 Leonhard Euler loi eksplisiittisen kaavan [1] [2] :12-13

N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{ 4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.

Muut vastaavat kaavat, jotka voidaan johtaa tästä kaavasta:

{\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}} )^{2k}\oikea)^{2}={1 \yli 32}\vasen((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}} )^{4k}\oikea)\\&={1 \yli 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2} })^{k}\oikea).\end{tasattu}}

Vastaavat eksplisiittiset kaavat s k :lle ja t k :lle [2] :13 :

s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\ sqrt {2}}}}

t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4 }}.

Pellin yhtälö

Neliön kolmiolukujen yhteys Pellin yhtälöön voidaan saada seuraavasti [3] :

mikä tahansa kolmioluku on muotoa t ( t + 1)/2, joten meidän on löydettävä t ja s siten, että

{\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.

Kerrotaan vasen ja oikea osa 8:lla ja valitaan täysi neliö, saadaan

(2t+1)^{2}=8s^{2}+1,

korvaamalla nyt x = 2 t + 1 ja y = 2 s , saamme diofantiiniyhtälön

x^{2}-2y^{2}=1,

joka on Pellin yhtälö . Tämän yhtälön ratkaisut ovat Pell-luvut P k [4]

x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};

ja siksi kaikki ratkaisut on annettu kaavoilla

s_{k}={\frac {P_{2k)){2)),\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2} },\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\oikea)^{2}.

Pell-lukuihin liittyy monia identiteettejä, ja yllä olevat kaavat kääntävät ne identiteeteiksi neliön kolmiolukujen kanssa.

Toistuvat suhteet

Neliön kolmioluvuille sekä vastaavien neliöiden ja kolmioiden sivuille on olemassa toistuvuussuhteet . Meillä on [5] :(12)

N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,N_{0}=0,N_{1}=1.

N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1))}-{\sqrt {N_{k-2))}\right)^{2},N_{0}= 1,N_{1}=36.

Ja myös [1] [2] :13

s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},s_{0}=0,s_{1}=1;

t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,t_{0}=0,t_{1}=1.

Muut ominaisuudet

Kaikki neliön kolmioluvut ovat muotoa b 2 c 2 , missä b / c on luvun 2 neliöjuuren jatkuvan murto -osan konvergentti arvo [6] .

AV Sylwester antoi lyhyen todisteen neliön kolmiolukujen määrän äärettömyydestä, nimittäin [7] :

Jos kolmioluku n ( n + 1)/2 on neliö, on olemassa suurempi kolmioluku:

{\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{ 2}\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}.

Ja tämän arvon on oltava neliö, koska se on kolmen neliön tulo: (ilmeisesti), (n:nnen kolmioluvun oletetaan olevan neliö) ja (ilmeisesti). $2^{2}$ ${\näyttötyyli (n(n+1))/2}$ ${\näyttötyyli (2n+1)^{2}}$

Neliön kolmiolukujen generointifunktio on [8] :

{\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)))=1+36z+1225z^{2}+\cdots .

Numeeriset arvot

Kun k kasvaa , suhde t k / s k pyrkii , ja vierekkäisten neliön kolmiolukujen suhde pyrkii . ${\sqrt {2}}\noin 1,41421$ $17+12{\sqrt {2}}\noin 33,97056$

{\begin{array}{rrrrll}k&N_{k}&s_{k}&t_{k}&t_{k}/s_{k}&N_{k}/N_{k-1}\\0&0&0&0&&\\1&1&1&1&1& ' 930&9\,800&1.41414&33.97056\\7&1\,631\,432\,881&40\,391&57\,121&1.41420&33.97056\\\end{array}}

Muistiinpanot

↑ 12 Leonard Eugene Dickson . Lukuteorian historia (englanniksi) . - Providence: American Mathematical Society, 1999. - Voi. 2. - s. 16. - ISBN 978-0-8218-1935-7 .
↑ 1 2 3 Euler, Leonhard Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite solvendi (Helppo sääntö diofantiiniongelmille, jotka on ratkaistava nopeasti integraaliluvuilla) (lat.) // Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg. - 1813. - Voi. 4 . - s. 3-17 . . - "Tiedostojen mukaan se esitettiin St. Pietarin akatemiassa 4. toukokuuta 1778.
↑ Barbeau, Edward. Pellin yhtälö . - New York: Springer, 2003. - P. 16-17. — (Matematiikan ongelmakirjat). - ISBN 978-0-387-95529-2 .
↑ Hardy, GH ; Wright, E.M. Johdatus numeroteoriaan . – 5. - Oxford University Press , 1979. - S. 210. - ISBN 0-19-853171-0 . . - "Lause 244".
↑ Weisstein, Eric W. Neliön kolmioluku Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Ball, W.W. Rose ; Coxeter , HSM Mathematical Recreations and Essays . - New York: Dover Publications , 1987. - S. 59 . - ISBN 978-0-486-25357-2 .
↑ Pietenpol, JL; A. V. Sylwester, Erwin Just, R. M. Warten. Alkeistehtävät ja ratkaisut: E 1473, Neliön kolmion numerot // American Mathematical Monthly : Journal . - Mathematical Association of America, 1962. - Helmikuu ( osa 69 , nro 2 ). - s. 168-169 . — ISSN 00029890 . — .
↑ Plouffe, Simon 1031 Funktioiden luominen (PDF) A.129. Quebecin yliopisto, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (elokuu 1992). Haettu 11. toukokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 6. helmikuuta 2013. (määrätön)

Linkit

Kolmiomaiset luvut, jotka ovat myös neliön muotoisia . Arkistoitu 27. huhtikuuta 2006 Wayback Machinessa cut-the- knotissa
Weisstein, Eric W. Square Triangular Number (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Michael Dummettin ratkaisu Arkistoitu 13. helmikuuta 2021 Wayback Machinessa

kiharat numerot

tasainen

Klassinen monikulmio	kolmion muotoinen Neliö Viisikulmainen Kuusikulmainen Seitsenkulmainen Kahdeksankulmainen Kaksikulmainen
Keskitetty	kolmion muotoinen Neliö Viisikulmainen Kuusikulmainen Seitsenkulmainen Kahdeksankulmainen Yhdeksänkulmainen Dekagonaalinen

Pyramidin muotoinen	tetraedrinen Neliön muotoinen pyramidi
moniulotteinen	kuutio Octahedral Dodekaedri ikosaedrinen Tähtikuvioinen oktaedri

moniulotteinen	Pentatopic Bisquare