Liitteenä oleva edustus

Lie-ryhmän yhteisliitosesitys on esityskonjugaatti [ ] adjointille . Jos on ryhmän Lie - algebra , vastaavaa toimintoa avaruuskonjugaatilla kutsutaan yhteisliitostoiminnaksi . Geometrialta katsottuna se on vasemmalle siirtymien vaikutus oikea-invarianttien 1-muotojen avaruuteen . $\mathrm {Ad} ^{*}$ $G$ $\mathfrak{g}$ $G$ $G$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathfrak{g}$ $G$

Coadjoint -esityksen tärkeyttä korostettiin A. A. Kirillovin teoksissa , jotka osoittivat, että yhteisen esityksen kiertoradalla (K-orbit) on keskeinen rooli nilpotenttien Lie - ryhmien esitysteoriassa . Kirillovin ratamenetelmässä esitysmuodot muodostetaan geometrisesti, alkaen K-radoista. Eräässä mielessä jälkimmäiset korvaavat konjugaattisuusluokat , jotka voidaan järjestää monimutkaisesti, kun taas kiertoradalla työskentely on suhteellisen yksinkertaista. $G$ $G$ $G$

Määritelmä

Antaa olla Lie ryhmä ja olla sen Lie algebra, olla adjoint edustus . Sitten yhteisliitosesitys määritellään muodossa . Tarkemmin, $G$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g)))$ $G$ $\mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}^{*})$ $\mathrm {Ad} _{g}^{*}:=\left(\mathrm {Ad} _{g^{-1}}\right)^{*}$

\langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f,\,X\rangle =\langle f,\,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}X\rangle , \qquad g\in G,\quad X\in {\mathfrak {g)],\quad f\in {\mathfrak {g))^{*},

missä on vektorin lineaarifunktion arvo . $\langle f,X\rangle$ $f$ $X$

Antaa olla esitys Lie algebran indusoiman yhteisen edustuksen Lie ryhmä . Sitten yhtäläisyys pätee , jossa on adjoint edustus Lie algebra . Tämä johtopäätös voidaan tehdä yllä olevan konstitutiivisen yhtälön äärettömän pienestä muodosta : $\mathrm {ad} ^{*}$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $G$ $X\in {\mathfrak {g))$ $\mathrm {ad} _{X}^{*}=-\left(\mathrm {ad} _{X}\right)^{*}$ $\mathrm {ad}$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} ^{*}$

\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,Y\rangle :=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\ langle \mathrm {Ad} _{\exp(tX)}^{*}f,\,Y\rangle \right|_{t=0}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\ mathrm {d} t}}\langle f,\,\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}Y\rangle \right|_{t=0}=\langle f,\,-\mathrm { ad} _{X}Y\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g)],\quad f\in {\mathfrak {g))^{*},

missä on eksponentiaalinen kuvaus ] kohteesta . $\exp$ $\mathfrak g$ $G$

Generaattorit

Antaa olla differentioituva funktio . Tarkastellaan funktion muutosta yhden parametrin aliryhmän yhteistoiminnassa vektorin suuntaan ja erottele se ryhmän identiteetissä: $\varphi \in C^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\varphi$ $e^{tX}\subset G$ $X\in {\mathfrak {g))$

\left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f)}{\mathrm {d} t}}\oikea |_{t=0}=\langle \left.{\frac {\mathrm {d} \mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f}{\mathrm {d} t} }\right|_{t=0},\,\nabla _{f}\varphi (f)\rangle =-\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\nabla _ {f}\varphi (f)\rangle =\langle f,\,\mathrm {ad} _{X}\nabla _{f}\varphi (f)\rangle .

(yksi)

Tässä on funktion gradientti , joka luonnollisesti tunnistetaan algebran elementtiin . Valitaan algebrasta jokin kanta ja olkoon sen käänteiskanta kohdassa , eli , , missä on Kronecker-symboli . Valitsemme kantavektoriksi . Sitten tasa-arvo ( 1 ) saa muodon $\nabla _{f}\varphi$ $\varphi$ $\mathfrak{g}$ $\{e_{i}\}$ $\mathfrak{g}$ $\{e^{i}\}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\langle e_{i},\,e_{j}\rangle =\delta _{j}^{i}$ $i,j=1,...,\dim {\mathfrak {g))$ $\delta^i_j$ $X$ $e_{i}$

{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-te_{i})}^{*}f)}{\mathrm {d} t} }\right|_{t=0}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{j))))

(tässä ja alla summauksen viittaavat kahdesti toistetut indeksit ), mikä osoittaa, että yhteistoiminnon generaattorien perustaksi voidaan valita joukko vektorikenttiä

{\hat {X}}_{i}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial }{\partial f_{j}}},\qquad i=1, ...,\dim {\mathfrak {g}}

missä ovat algebran rakennevakiot . ${\displaystyle C_{ij}^{k))$ $\mathfrak{g}$

Invariantit

Koadjoint-toiminnan invariantit täyttävät differentiaaliyhtälöjärjestelmän $K$

{\hat {X}}_{i}K\equiv C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{j}}}= 0,\qquad i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}.

(2)

Määrittelemme antisymmetrisen bilineaarisen muodon tasa -arvon avulla $B_{f}(X,\,Y)$ $\mathfrak{g}$

B_{f}(X,\,Y):=\langle f,\,[X,\,Y]\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g))

Riippumattomien yhtälöiden lukumäärä järjestelmässä ( 2 ) on yhtä suuri kuin . Sen ratkaisuja yleisasemassa olevan pisteen (eli pisteen, jossa muodon sijoitus on maksimi) läheisyydessä kutsutaan algebran Casimir-funktioiksi . Toiminnallisesti riippumattomien ei-triviaalien (ei identtisesti vakio) Casimir-funktioiden lukumäärää kutsutaan algebran indeksiksi ja se on yhtä suuri kuin ${\displaystyle \mathrm {sijoitus} \,B_{f))$ ${\näyttötyyli B_{f))$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {g}}-\sup \limits _{f\in {\mathfrak {g}}^{*}}\ matematiikka {sijoitus} \,B_{f}

Koska antisymmetrisen muodon järjestys on parillinen, indeksin pariteetit ja algebran dimensio ovat aina samat.

Avaruuden yleisen sijainnin kohdissa määriteltyjen Casimir-funktioiden , lisäksi voi olla määritettyjä invariantteja yhteisvaikutuksen erityisille alijoukoille, joilla muodon arvo on maksimiarvoa alempi. Jos erityisellä invariantilla osamonisolla muodon arvo on , , niin järjestelmän ( 2 ) ei-vakioratkaisuja , jotka on rajoittunut osamonistoon , kutsutaan tyypin Casimir-funktioiksi . Riippumattomien funktioiden joukko muodostaa coadjoint-toiminnan invarianttien perustan: mikä tahansa invariantti voidaan ilmaista tämän joukon elementtien funktiona. Järjestelmän ( 2 ) muodosta seuraa, että invarianttien kanta voi aina muodostua kovektorin komponenttien homogeenisista funktioista . $K_{\mu }$ $\mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ ${\näyttötyyli B_{f))$ $M_{s}\subset {\mathfrak {g}}^{*}$ ${\näyttötyyli B_{f))$ $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ $s=1,...,(\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}})/2$ $K^{(s)}$ $Neiti$ $s$ ${\displaystyle \{K_{\mu },K_{\nu }^{(1)},...,K_{\rho }^{((\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind } \,{\mathfrak {g)))/2)}\))$ $f$

K-kiertoradat

Coadjoint-esityksen kiertorata tai lyhyesti sanottuna K-rata, joka kulkee pisteen kautta Lie-algebran kaksoisavaruudessa , voidaan määritellä kiertoradana , tai vastaavasti homogeenisena avaruutena , jossa on stabilaattori pisteen suhteen ryhmän yhteistoimintaan . $\mathcal{O}$ $f$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} _{G}^{*}f\subset {\mathfrak {g}}^{*}$ $G/\mathrm {Stab} (f)$ $\mathrm {Stab} (f)\subset G$ $f$ $G$

Yleisessä asemassa olevien kiertoradojen suurin mahdollinen ulottuvuus on yhtä suuri kuin , ja niitä kutsutaan ei- degeneroituneiksi tai säännöllisiksi . Tällaiset kiertoradat määritellään yhtälöillä mielivaltaisena joukkona itsenäisiä Casimir-funktioita $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$

K_{\mu }(f)=\kappa _{\mu },\qquad \mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g)).

Samalla tavalla rappeutuneet tai singulaariset ulottuvuuden kiertoradat , jotka muodostavat yksittäisiä invariantteja osamonistoja , määritellään yhtälöillä $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ $Neiti$

K_{\mu }^{(s)}(f)=\kappa _{\mu }^{(s)},\qquad \mu =1,...,r_{s},

missä on tyypin itsenäisten Casimir-funktioiden lukumäärä . Jos Casimir-funktiot ovat yksiarvoisia, jokainen vakiojoukko vastaa laskettavaa (yleensä äärellistä) määrää ratoja. (Ei)degeneroituneelle kiertoradalle kuuluvia kovektoreita kutsutaan myös ( ei ) degeneroituneiksi . ${\displaystyle r_{s))$ $s$ ${\displaystyle \kappa _{\mu }^{(s)))$

Kirillovin univormu

Coadjoint-esityksen kiertoradat ovat parillisen mittasuhteen alijoukot ja niillä on luonnollinen symplektinen rakenne . Jokaisella kiertoradalla on suljettu ei-degeneroitu -invariantti 2-muoto , joka on rakennettu seuraavasti. Antaa olla antisymmetrinen bilineaarinen muoto edellä määritelty . Sitten se voidaan määritellä tasa-arvolla ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathcal{O}$ $G$ $\omega _{\mathcal {O}}$ ${\näyttötyyli B_{f))$ $\mathfrak{g}$ $\omega _{\mathcal {O}}\in \mathrm {Hom} (\Lambda ^{2}({\mathcal {O}}),\mathbb {R} )$

\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\mathrm {ad} _{Y}^{*}f):=B_{ f}(X,\,Y)

Olemassaolo, rappeutumattomuus ja muuttumattomuus johtuvat seuraavista tosiseikoista: $G$ $\omega _{\mathcal {O}}$

Tangenttiavaruus voidaan tunnistaa , jossa on ryhmän Lie-algebra . $T_{f}({\mathcal {O}})$ ${\mathfrak {g}}/\mathrm {stab} (f)$ $\mathrm {stab} (f)$ $\mathrm {Stab} (f)$

Näyttöydin on täsmälleen . ${\näyttötyyli B_{f))$ $\mathrm {stab} (f)$

${\näyttötyyli B_{f))$ muuttumaton toiminnon alla . $\mathrm {Stab} (f)$

Lisäksi lomake on suljettu . Kanonista 2-muotoa kutsutaan nimellä Kirillov , Kirillov - Kostant tai Kirillov-Kostant- Surio . $\omega _{\mathcal {O}}$ $\omega _{\mathcal {O}}$

K-kiertorataa kutsutaan kokonaisluvuksi , jos Kirillovin muoto kuuluu kokonaislukukohomologialuokkaan , eli sen integraali minkä tahansa kaksiulotteisen syklin aikana on yhtä suuri kuin kokonaisluku: $\mathcal{O}$ $\sigma$ $\mathcal{O}$

\int \limits _{\sigma }\omega _{\mathcal {O}}=n\in Z

Kokonaislukuradalla on keskeinen rooli Lie-ryhmien pelkistymättömien esityksien rakentamisessa kiertoratamenetelmällä.

Berezin hakasulke

Lomake varustaa tilaa Poisson-jakotukin rakenteella Lie-Poisson- kiinnikkeellä ${\näyttötyyli B_{f))$ ${\mathfrak {g}}^{*}$

\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}=B_{f}(\mathrm {d} \varphi ,\,\mathrm {d} \psi )=C_{ij}^{k }f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{i))}{\frac {\partial \psi (f)}{\partial f_{j))},\qquad \varphi ,\psi \in C^{2}({\mathfrak {g))^{*})

joka on rappeutunut Poisson-hakasulku : yhteisyhteistoimintageneraattoreiden muodosta on selvää, että Casimir-funktiot (ja vain ne) liikkuvat sen suhteen millä tahansa funktiolla . Tämän hakasulkeen rajoitus rinnakkaisliitosesityksen kiertoradalle, jota kutsutaan Berezinin haarukalla [1] , ei ole rappeutunut ja on sama kuin Kirillov-muodolla generoitu Poisson-sulke: ${\mathfrak {g}}^{*}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\,\cdot \}_{\omega _{\mathcal {O))))$

\{\varphi ,\,\psi \}_{\omega _{\mathcal {O}}}=\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {sgrad} \,\varphi ,\ ,\mathrm {sgrad} \,\psi )=\left.\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}\right|_{\mathcal {O))

Tässä on Hamiltonin vektorikenttä Hamiltonin kanssa . $\mathrm {sgrad} \,\varphi$ $\varphi$

K-kiertoradan ominaisuudet

Rinnakkaisliitostoiminto K-kiertoradalla on Hamiltonin toiminta liikemääräkartoituksella [ en . $({\mathcal {O}},\omega _{\mathcal {O}})$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$
Jos kiertoradalla on polarisaatio , niin upotus voidaan toteuttaa lineaarisilla muuttujissa olevilla funktioilla , joissa ovat Kirillov-muodon kanoniset koordinaatit kiertoradalla . [2] [3] $\mathcal{O}$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ $f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g))$ $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ $s$ ${\näyttötyyli (q,\,p)}$ $\mathcal{O}$

Esimerkkejä

Ryhmä $E(2)$

Euklidisen tason liikeryhmän Lie - algebra määritellään kommutaatiorelaatioilla ${\mathfrak {e}}(2)$ $E(2)$

[e_{1},\,e_{2}]=0,\qquad [e_{1},\,e_{3}]=e_{2},\qquad [e_{2},\, e_{3}]=-e_{1}

( työskentelyelementit ja vastaavat tason käännöksiä kahden koordinaattiakselin suunnassa, ja elementti vastaa pyörimistä jonkin pisteen ympäri; ryhmä on siis kolmiulotteinen). Vastaavasti muotomatriisilla on muoto $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{3}$ $E(2)$ ${\näyttötyyli B_{f))$

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&0&f_{2}\\0&0&-f_{1}\\-f_{2}&f_{1}&0\end{pmatrix}}

Sen arvo on kaksi kaikkialla, paitsi viiva , joka on erityinen invariantti ryhmän yhteisvaikutuksen aliluku , joten ei-degeneroituneet K-radat ovat kaksiulotteisia. Tämän toiminnan luojat $f_{1}=f_{2}=0$ $M_{1}$ $E(2)$ ${\mathfrak {e}}(2)^{*}$

{\displaystyle {\hat {X}}_{1}=f_{2}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{2}= -f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{3}=-f_{2}{\frac {\partial }{\ osittainen f_{1))}+f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{2))))

kirjoitetaan kaksi riippumatonta yhtälöä

f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{3))}=-f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{1 ))}+f_{1}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{2))}=0,\qquad f_{1}^{2}+f_{2}^{2} \neq 0

määrittää ainutlaatuisen Casimir-funktion. Ei-yksittäisiä sen tason lajikkeita

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

joista jokainen koostuu yhdestä kiertoradalta, ovat sylintereitä, joilla on yhteinen akseli . Yksittäistasomonitori ( ) osuu yhteen ja koostuu (nollaulotteisista) singulaariradoista , . Kirillovin muoto $M_{1}$ $j = 0$ $M_{1}$ $f_{1}=f_{2}=0$ ${\displaystyle f_{3}=\kappa ^{(1)))$

\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{3}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{1}}}

pelkistetty kanoniseen muotoon sylinterimäisissä koordinaateissa, rajoitettu kiinteälle kiertoradalle : $\omega _{\mathcal {O}}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q$ $j=const$

f_{1}=j\cos q,\qquad f_{2}=j\sin q,\qquad f_{3}=p

Huomaa, että siirtyminen kanonisiin muuttujiin on tässä tapauksessa lineaarinen . Lineaarisen -siirtymän mahdollisuus "vauhdissa" on taattu vektorien , , kattamien translaatioiden läsnäololla kaksiulotteisessa osabalgebrassa , joka kommutatiivisuudestaan johtuen on polarisaatio mille tahansa ei-degeneroituneelle K-radalle. $s$ $q$ $s$ ${\mathfrak {e}}(2)$ $e_{1}$ $e_{2}$

Ryhmä $SO(3)$

$SO(3)$ on kolmiulotteisen euklidisen avaruuden (kolmiulotteinen) rotaatioryhmä . Kommutaatiorelaatiot sen Lie-algebrassa ${\mathfrak {niin}}(3)$

[e_{1},\,e_{2}]=e_{3},\qquad [e_{1},\,e_{3}]=-e_{2},\qquad [e_{2} },\,e_{3}]=e_{1}

(jokainen kantavektori vastaa rotaatiogeneraattoria yhdessä kolmesta keskenään kohtisuorassa olevasta tasosta) määritä muotomatriisin muoto : ${\näyttötyyli B_{f))$

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&f_{3}&-f_{2}\\-f_{3}&0&f_{1}\\f_{2}&-f_{1}&0 \end{pmatrix}}

Kolmesta rinnakkaisliitosesityksen generaattorista kussakin pisteessä vain kaksi on lineaarisesti riippumattomia, joten ei-singulaariset radat ovat kaksiulotteisia. Ne ovat samankeskisiä palloja $f\in {\mathfrak {so}}(3)^{*}\backslash \{0\}$

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+f_{3}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

keskitetty alkuperään. Erityinen alalaji koostuu yhdestä pisteestä , koska vain siinä kaikista kolmesta generaattorista tulee nolla. $M_{1}$ $\{0\}$

Koska algebrassa ei ole kaksiulotteisia osabalgebroita, säännöllisillä kovektoreilla ei ole polarisaatioita, joten säännöllisten kiertoradojen upottamista avaruuteen ei voida toteuttaa funktioilla, jotka ovat lineaarisia Kirillov-muodon kanonisissa -muuttujissa. ${\mathfrak {niin}}(3)$ ${\mathfrak {so}}(3)^{*}$ $s$

\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{1}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{3}}}

Algebran kompleksisoinnissa on kuitenkin (monimutkaisia) kaksiulotteisia subalgebroja, jotka ovat alisteisia ei- degeneroituneille kovektoreille . Esimerkiksi kovektorille tämä on aligebra , joten tällainen upottaminen on mahdollista muuttujien kautta, jotka ottavat monimutkaisia arvoja: ${\mathfrak {so}}(3)^{\mathbb {C}} }$ ${\mathfrak {niin}}(3)$ ${\displaystyle j\,e^{3))$ $\{e_{1}+ie_{2},\,e_{3}\}$

f_{1}={\frac {i}{2}}\left(1-q^{2}\right)p+j\,q,\qquad f_{2}=-{\frac { 1}{2}}\vasen(1+q^{2}\oikea)p-ij\,q,\qquad f_{3}=-i\,q\,p+j,\qquad q,\ p \in \mathbb {C} ,\quad |p|\leqslant j

On helppo varmistaa, että tämä muunnos todella tuo muodon kanoniseen muotoon. $\omega _{\mathcal {O}}$

Katso myös

Liitteenä oleva näkymä
Kirillovin ratamenetelmä
Borel-Weyl-Bott-lause
Kirillovin hahmokaava

Kirjallisuus

A. A. Kirillov. Edustusteorian elementit. - M .: Nauka, 1978. - 343 s.
Kirillov, AA, Lectures on the Orbit Method , Graduate Studies in Mathematics , Vol. 64, American Mathematical Society, ISBN 0821835300 , ISBN 978-0821835302

Muistiinpanot

↑ A. V. Borisov, I. S. Mamaev. Dirac-kiinnikkeet geometriassa ja mekaniikassa. Kirjassa: Dirac P. A. M. Luennot teoreettisesta fysiikasta. - Izhevsk: Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", 2001. - S. 191 - 230. - 240 s. — ISBN 5-93972-026-9 .
↑ S. P. Baranovsky, I. V. Shirokov. Vektorikenttien ja kanonisten koordinaattien muodonmuutokset yhteisliitosesityksen kiertoradalla // Siberian Mathematical Journal. - 2009. - heinä-elokuu ( nide 50 , nro 4 ). - S. 737-745 . — ISSN 0037-4474 . (Venäjän kieli)
↑ Do Ngoc Diep. Yhteiskiertoratojen kvanttikerrokset (englanniksi) // arXiv.org. - 2000. - Toukokuu. - s. 1-27 . — ISSN 2331-8422 .

Linkit

Coadjoint orbit (englanniksi) PlanetMath - verkkosivustolla .