Lineaarinen muoto

Lineaarinen muoto, lineaarinen funktionaalinen (käytetään myös termejä 1-muoto , kovektori , kovarianttivektori ) on lineaarinen kartoitus , joka toimii vektoriavaruudesta kentän yli kenttään . Lineaarisuusehto koostuu seuraavan kahden ominaisuuden täyttymisestä: $L$ $K$ $K$

\Phi (f+g)=\Phi (f)+\Phi (g),

\Phi (\alpha f)=\alpha \,\Phi (f)

kahdelle vektorille ja mille tahansa . Siten lineaarinen muoto (lineaarinen funktionaalinen) on erityinen tapaus käsitteestä lineaarinen operaattori , joka toimii yhdestä vektoriavaruudesta toiseen vektoriavaruuteen: tarkastellaan saman kentän yli . Nimittäin lineaarisen muodon (lineaarinen funktionaalinen) tapauksessa vektoriavaruus . $f,g\in L$ $\alpha \in K$ $L_{K}\to M_{K}$ $K$ $M_{K}=K$

Termiä lineaarinen muoto käytetään yleensä algebrassa ja algebrallisessa geometriassa, useimmiten puhuen äärellisulotteisista vektoriavaruuksista. Algebrallisesta näkökulmasta lineaarinen muoto on erikoistapaus yleisemmässä k-muodon käsitteessä k = 1 : lle.

Termi lineaarinen funktionaalinen on yleinen funktionaalisessa analyysissä , ja useimmiten puhutaan äärettömän ulottuvista vektoriavaruuksista, joiden elementit ovat jonkin luokan funktioita ja termi funktionaalinen korostaa, että funktiota (kartta) tarkastellaan, joiden argumentit ovat funktioita. Yleisimmin käytetyt kentät ovat tai . $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Esimerkkejä

Esimerkkejä äärellisulotteisten vektoriavaruuksien lineaarisista muodoista :

Yksinkertaisin esimerkki lineaarisesta muodosta on yhden todellisen tai kompleksisen muuttujan lineaarinen homogeeninen funktio:

y=kx.

Argumentin ja mielivaltaisen vektorin skalaaritulo on lineaarinen muoto:

\Phi (\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} =a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\pisteet +a_{n }x_{n}.\qquad(*)

Lisäksi minkä tahansa äärellisulotteisen avaruuden tapauksessa kaikilla siinä olevilla lineaarisilla muodoilla on muoto . Tämä mahdollistaa jokaisen lineaarisen muodon tunnistamisen vektorilla , ja tämä vastaavuus on yksi yhteen.

L

(*)

\Phi (\mathbf {x} )

{\mathbf {a} }\in L

Esimerkkejä lineaarisista funktionaaleista funktioavaruuksille :

Olkoon avaruus koostuva funktioista , jotka ovat jatkuvia joukossa . Sitten mille tahansa lausekkeelle ja yksi määrittelee lineaariset funktionaalit . $L$ $f(x)$ $\Omega$ $x_{i}\in \Omega$ $\Phi (f)=f(x_{0})$ $\Phi (f)=\alpha _{1}f(x_{1})+\alpha _{2}f(x_{2})$ $L$
Olkoon avaruus funktioista , jotka ovat jatkuvasti differentioituvia n kertaa joukossa . Ilmaisu $L$ $f(x)$ $\Omega$

\Phi (f)=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(x_{i }),\quad x_{i}\in \Omega ,

määrittää lineaarisen funktion .

L

Yksi tärkeimmistä esimerkeistä lineaarifunktiosta on argumenttivektorin ja jonkin kiinteän vektorin skalaaritulo : . Funktionaalisessa analyysissä otetaan usein huomioon vektoriavaruudet, jotka koostuvat integroitavista funktioista, ja skalaaritulo annetaan integraalilla (yleensä käytetään Lebesguen integraalia ). Tässä tapauksessa yllä oleva lineaarifunktion kaava saa muodon $f\in L$ $\phi \in L$ $\Phi (f)=\langle f,\phi \rangle$

\Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)d\omega

. Tällaisia lineaarisia funktionaalisia käytetään esimerkiksi Fourier-muunnoksen määrittelyssä .

Olkoon lineaarinen operaattori, joka kuvaa itseensä vektoriavaruuden , joka koostuu johonkin joukkoon integroitavista funktioista . Sitten ilmaisu $A\colon L\to L$ $L$ $\Omega$

\Phi (f)=\int _{\Omega }Af(x)\phi (x)d\omega

. määrittelee avaruuteen lineaarisen funktionaalin . Esimerkkejä tällaisista lineaarisista funktionaaleista:

L

\Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)d\omega

\Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)d\omega

\Phi (f)=\int _{\Omega }{\Bigl (}\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\frac {d^{i}f} {dx^{i))}(x){\Bigr )}\,d\omega

Ominaisuudet

Kaikkien vektoriavaruuden lineaaristen muotojen joukko on itse vektoriavaruus kentän elementeillä yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden suhteen . Tätä avaruutta kutsutaan duaaliksi ja sitä merkitään [1] . Duaaliavaruuden vektoreita kutsutaan yleensä kovektoreiksi . Kvanttimekaniikassa on myös tapana käyttää termejä bra vektorit ja ket vektorit kuvaamaan alkuperäisen avaruuden vektoreita ja kovektoreita. $L$ $K$ $L$ ${\displaystyle L^{\ast ))$
Jos ulottuvuus on (äärellinen), niin kun tietty kanta valitaan avaruuteen, mikä tahansa lineaarinen muoto kirjoitetaan muotoon , jossa vektori ja kertoimien joukko määrittelevät tämän muodon yksiselitteisesti. Muodon antaa sen koordinaattien joukko konjugaattiavaruuden jossakin kannassa , jota kutsutaan käänteiseksi tai duaaliksi kantaan nähden . Näin ollen [2] . $\dim L=n$ $L$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ ${\displaystyle \Phi (x)=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n))$ ${\displaystyle x=x_{1}e_{1}+\cdots +x_{n}e_{n))$ $a_{i}$ $\Phi (x)$ $a_{i}$ ${\displaystyle L^{\ast ))$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $\dim L^{*}=n$
Jos ulottuvuus on äärellinen, niin se on isomorfinen , mutta äärettömän ulottuvuuden tapauksessa näin ei ole. Äärillisulotteisessa tapauksessa toinen kaksoisavaruus identifioidaan luonnollisesti alkuperäiseen avaruuteen [3] . Äärettömän ulottuvuuden tapauksessa ehto, että avaruus on isomorfinen , on melko ei-triviaali; tällaisia avaruuksia kutsutaan refleksiivisiksi [4] . $\dim L$ ${\displaystyle L^{\ast ))$ $L$ ${\näyttötyyli (L^{\ast })^{\ast ))$ $L$ $L$ ${\näyttötyyli (L^{\ast })^{\ast ))$
Lineaarisen muodon (lineaarinen funktionaalinen) ydin on vektorialiavaruus. Jos avaruus on äärellisulotteinen, niin lineaarisen muodon ydin, joka ei ole identtinen nolla, on hypertaso . Erityisesti lineaarisen muodon ytimelle , jossa , on taso kolmiulotteisessa avaruudessa, ja kertoimet ovat tason normaalivektorin koordinaatteja. $L$ $L$ $\dim L=3$ $\Phi (x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=0$ $|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|\neq 0$ $a_{i}$

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Äärettömän ulottuvuuden funktioavaruuksien tutkimuksessa erityinen rooli on jatkuvilla lineaarisilla funktioilla , joita kutsutaan muuten yleistetyiksi funktioiksi . Lineaarifunktion jatkuvuusominaisuus riippuu funktioluokista (avaruudesta), johon se vaikuttaa. Näin ollen on helppo nähdä, että jotkin yllä olevista funktioista eivät ole jatkuvia , kun ne toimivat epäjatkuviin funktioihin (sellaisia esimerkkejä voidaan antaa helposti). Kuitenkin erotettavissa tiloissa — eli yleisimmässä ja rakentavasti kehitetyssä tapauksessa — ne ovat kaikki jatkuvia.
Reesin esityslause sanoo, että jokainen jatkuva lineaarinen funktionaali Hilbert-avaruudessa voidaan esittää samalla tavalla skalaaritulon kautta tämän avaruuden jollakin elementillä. $(*)$
Käyttämällä yleistettyjä funktioita , erityisesti Diracin deltafunktiota ja sen johdannaisia, monet lineaarifunktiot, erityisesti yllä olevina esimerkeinä annetuista, voidaan esittää integraaleina funktionaaleina , esimerkiksi:

\Phi (f)=f(1)-f(0)=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-1)f(x)dx-\int _{ -\infty }^{+\infty }\delta (x-0)f(x)dx=\int _{-\infty }^{+\infty }(\delta (x-1)-\delta (x ))f(x)dx

. Yleisen funktion tavallisessa abstraktissa määritelmässä se määritellään yksinkertaisesti jatkuvaksi lineaarifunktioksi (perinteisessä merkityksessä ja merkinnöissä funktionaali luodaan implisiittisellä integroinnilla yleisen funktion kanssa).

Katso myös

Kirjallisuus

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineaarinen algebra ja geometria, - M .: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, Fizmatlit, Moskova, 2009.
Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, - M .: Nauka, 1965.
Kantorovich L. V. , Akilov G. P. , Funktionaalinen analyysi, 1. painos, M., 1977.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi. - Mikä tahansa painos.

Muistiinpanot

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - ch. III, § 3.7. - M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - ch. III, s. 131. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - ch. III, s. 132. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. - Mikä tahansa painos.