Polynomi

Muuttujien polynomi (tai polynomi kreikan sanasta πολυ- "monet" + latinan nimi "nimi") on monomioiden summa tai tiukasti muodon äärellinen muodollinen summa $n$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n))$

P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2} }\cdots x_{n}^{i_{n}}

, missä

$I=(i_{1},i_{2},\pisteet ,i_{n})$ - joukko ei-negatiivisia kokonaislukuja , jota kutsutaan moniindeksiksi , $n$
$c_{I}$ - luku, jota kutsutaan polynomin kertoimeksi , riippuen vain moniindeksistä . ${\mathit {I}}$

Erityisesti polynomi yhdessä muuttujassa on muodon äärellinen formaalinen summa

{\displaystyle P(x)=c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{m}x^{m))

, missä

$c_{i}$ — kiinteät kertoimet ,
$x$ -muuttuva . _

Polynomin avulla esitellään käsitteet " algebrallinen yhtälö ", " algebrallinen funktio " ja " algebrallinen luku ".

Tutkimus ja sovellus

Polynomiyhtälöiden ja niiden ratkaisujen tutkiminen pitkään oli kenties "klassisen algebran " päätarkoitus.

Polynomien tutkimukseen liittyy useita matematiikan muunnoksia : nolla- , negatiivi- ja sitten kompleksilukujen käyttöönotto , ryhmäteorian syntyminen matematiikan haaraksi ja erityisfunktioluokkien erottaminen matemaattisessa analyysissä . .

Koska polynomeja sisältävät laskelmat ovat yksinkertaisia verrattuna monimutkaisempiin funktioluokkiin ja koska polynomijoukko on tiheä jatkuvien funktioiden avaruudessa euklidisen avaruuden kompakteissa osajoukkoissa (katso Weierstrassin approksimaatiolause ), laajennusmenetelmät sarja ja polynomiinterpolointi laskennassa . _

Polynomeilla on myös keskeinen rooli algebrallisessa geometriassa . Sen pääobjekti on joukot, jotka määritellään ratkaisuiksi polynomiyhtälöjärjestelmiin .

Polynomin kertolaskujen muunnoskertoimien erikoisominaisuuksia käytetään algebrallisessa geometriassa , algebrassa , solmuteoriassa ja muilla matematiikan aloilla koodaamaan tai ilmaisemaan erilaisten objektien ominaisuuksia polynomien avulla.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Näkymäpolynomia kutsutaan monomi- tai moniindeksimonomiaaliksi . _ $cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $I=(i_{1},\pisteet ,\,i_{n})$
Moniindeksiä vastaavaa monomia kutsutaan vapaaksi jäseneksi . $I=(0,\pisteet ,\,0)$
(nollasta poikkeavan) monomin täyttä tehoa kutsutaan kokonaisluvuksi . $c_{I}x_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $|I|=i_{1}+i_{2}+\pisteet +i_{n}$
Moniindeksijoukkoa , jonka kertoimet ovat nollasta poikkeavia, kutsutaan polynomin kantajaksi ja sen kuperaa runkoa kutsutaan Newtonin polyhedroniksi . ${\mathit {I}}$ $c_{I}$
Polynomin aste on sen monomiasteiden maksimi. Identtisen nollan asteen oletetaan joko olevan epämääräinen, tai sen määrittää edelleen arvotai(katso nollapolynomin aste ). [yksi] $-yksi$ $-\infty$
Polynomia, joka on kahden monomin summa, kutsutaan binomiiksi tai binomiiksi ,
Polynomia, joka on kolmen monomin summa, kutsutaan trinomiksi tai trinomiksi .
Polynomin kertoimet otetaan yleensä tietystä kommutatiivisesta renkaasta (useimmiten kentästä , kuten reaali- tai kompleksilukujen kentästä ). Tässä tapauksessa yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden suhteen polynomit muodostavat renkaan (lisäksi assosiatiivis-kommutatiivinen algebra renkaaseen ilman nollajakajia ), jota merkitään . $R$ $R$ $R[x_1,x_2,\pisteet,x_n]$
Yhden muuttujan polynomin yhtälön ratkaisua kutsutaan sen juureksi . $p(x)$ $p(x) = 0$

Polynomifunktiot

Olkoon algebra renkaan päällä Satunnainen polynomi määrittelee polynomifunktion $A$ $R.$ $p(x)\in R[x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n}]$

p_{R}\colon A\to A.

Usein harkittu tapaus $A=R.$

Jos on reaali- tai kompleksilukujen kenttä (tai mikä tahansa muu kenttä, jossa on ääretön määrä alkioita ), funktio määrittää polynomin p kokonaan . Tämä ei kuitenkaan pidä paikkaansa yleisessä tapauksessa, esimerkiksi: polynomit ja from määrittelevät identtiset funktiot . $R$ $f_{p}\colon R^{n}\to R$ $p_{1}(x)\equiv x$ $p_{2}(x)\equiv x^{2}$ $\mathbb{Z } _{2}[x]$ $\mathbb{Z } _{2}\to \mathbb{Z } _{2}$

Yhden reaalimuuttujan polynomifunktiota kutsutaan kokonaiseksi rationaalifunktioksi .

Polynomityypit

Yhden muuttujan polynomia kutsutaan unitaariksi , normalisoiduksi tai pelkistetyksi , jos sen alkukerroin on yhtä suuri kuin yksi.
Polynomia, jonka monomieilla on sama täysi aste, kutsutaan homogeeniseksi .
- Esimerkiksi - kahden muuttujan homogeeninen polynomi, mutta se ei ole homogeeninen. $x^{2}+xy+y^{2}$ $x^{2}+y+1$
Polynomia, joka voidaan esittää alempien asteiden polynomien tulona tietyn kentän kertoimilla, kutsutaan redusoitavaksi (annetun kentän yli), muuten sitä kutsutaan redusoitumattomaksi .

Ominaisuudet

Polynomirengas mielivaltaisen eheysalueen päällä on itsessään eheysalue.
Polynomirengas missä tahansa äärellisessä määrässä muuttujia minkä tahansa tekijärenkaan yli on itse faktoriaalinen.
Polynomien rengas yhdessä muuttujassa kentän päällä on pääideaalien rengas , eli mikä tahansa sen ihanteista voidaan generoida yhdellä elementillä.
- Lisäksi polynomirengas yhdessä muuttujassa kentän päällä on euklidinen rengas .
Rational Root Lause .

Jaettavuus

Pelkistymättömien polynomien rooli polynomirenkaassa on samanlainen kuin alkulukujen rooli kokonaislukujen renkaassa . Esimerkiksi lause on tosi: jos polynomien tulo on jaollinen redusoitumattomalla polynomilla , niin p tai q on jaollinen . Jokainen nollaa suurempi polynomi hajoaa tietyssä kentässä pelkistymättömien tekijöiden tuloksi ainutlaatuisella tavalla (nollaasteen kertoimiin asti). $pq$ $\lambda$ $\lambda$

Esimerkiksi polynomi , joka on redusoitumaton rationaalilukujen alalla, voidaan jakaa kolmeen tekijään reaalilukujen alalla ja neljään tekijään kompleksilukujen alalla. $x^{4}-2$

Yleensä jokainen yhden muuttujan polynomi hajoaa reaalilukujen alalla ensimmäisen ja toisen asteen tekijöiksi, kompleksilukujen alalla - ensimmäisen asteen tekijöiksi ( algebran peruslause ). $x$

Kahden tai useamman muuttujan osalta tätä ei voida enää väittää. Minkä tahansa kentän päällä, missä tahansa , muuttujissa on polynomeja, jotka ovat redusoitumattomia tämän kentän missä tahansa laajennuksessa. Tällaisia polynomeja kutsutaan ehdottoman redusoitumattomiksi. $n>2$ $n$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Jos määritelmässä sallitaan myös negatiiviset potenssit, niin tuloksena olevaa objektia kutsutaan Laurentin polynomiksi .
kvasipolynomi
Trigonometrinen polynomi
Power-sarja

Katso myös

Kirjallisuus

Vinberg E. B. Polynomien algebra. - M . : Koulutus, 1980. - 176 s.
Kurosh A. G. Korkeamman algebran kurssi, 9. painos. - M. , 1968.
Mishina A. P., Proskuryakov I. V. Korkeampi algebra, 2. painos. - M. , 1965.
Solodovnikov A.S., Rodina M.A. Algebran harjoituskirja. - M . : Koulutus, 1985. - 127 s.
Prasolov VV:n polynomit . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 s. — ISBN 5-94057-077-1 .
Faddeev DK, Sominsky IS Kokoelma korkeamman algebran tehtäviä. - M. , 1977.

Muistiinpanot

↑ Eric W. Weisstein. Nollapolynomi . _ mathworld.wolfram.com . Haettu 28. toukokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 1. toukokuuta 2021.

Linkit

Polynomi / A. I. Markushevich // Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja : [30 nidettä] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani Iso venäläinen Britannica (verkossa) Universalis
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 119786822 J9U : 987007563144505171 LCCN : sh85104702 NDL : 00572625 NKC : ph135425