Multinomiaalinen jakelu

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. huhtikuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Multinomiaalinen (polynomijakauma) todennäköisyysteoriassa on binomijakauman yleistys tapaukseen, jossa n>1 riippumatonta koetta satunnaiskokeissa k>2 mahdollisella tuloksella.

Määritelmä

Olkoon riippumattomia identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia siten, että niiden jakauma saadaan todennäköisyysfunktiolla [1] : $X_{1},\ldots,X_{n}$

\mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k

Intuitiivisesti tapahtuma tarkoittaa, että kokeilu numerolla johti tulokseen . Olkoon satunnaismuuttuja yhtä suuri kuin tulokseen johtaneiden kokeiden lukumäärä : ${\displaystyle \{X_{i}=j\))$ $i$ $j$ ${\näyttötyyli Y_{j))$ $j$

Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots ,k

Tällöin vektorijakaumalla on todennäköisyysfunktio ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top ))$

{\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}p_{1} ^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}=n\\0,&\sum \ rajat _{j=1}^{k}y_{j}\not =n\end{matrix}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k} )^{\top }\in \mathbb {N} _{1}^{k))

missä

{n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!))

on multinomikerroin .

Keskimääräinen vektori ja kovarianssimatriisi

Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on muotoa [1] : . Kovarianssimatriisin diagonaalielementit ovat binomisten satunnaismuuttujien variansseja ja siksi ${\näyttötyyli Y_{j))$ ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j))$ $\Sigma =(\sigma _{{ij}})$

\sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k

Muiden elementtien osalta meillä on

\sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j

Multinomijakauman kovarianssimatriisin järjestys on . $k-1$

Muistiinpanot

↑ 1 2 Groot, 1974 , s. 55-56.

Kirjallisuus

M. de Groot Optimaaliset tilastolliset päätökset = Optimal Statistical Decisions. -M.: Mir, 1974. - 492 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4263656-5

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula