Eheysalue

Eheysalue (tai integraalirengas tai eheysalue tai yksinkertaisesti alue ) on kommutatiivisen algebran käsite : assosiatiivinen kommutatiivinen rengas ilman nollajakajia (minkään nollasta poikkeavien elementtien parin tulo ei ole yhtä suuri kuin 0).

Tämä artikkeli noudattaa käytäntöä, jonka mukaan eheysalueilla on kertova neutraali elementti, joka yleensä merkitään 1:llä, mutta jotkut kirjoittajat eivät vaadi eheysalueilta multiplikatiivista neutraalia elementtiä.

Vastaava määritelmä: Eheystoimialue on kommutatiivinen rengas, jossa nollaideaali { 0} on alkuluku . Mikä tahansa eheysalue on osamääräkentän aliluku .

Esimerkkejä

Yksinkertaisin esimerkki eheysalueesta on kokonaislukujen rengas . $\mathbb {Z}$
Mikä tahansa kenttä on eheysalue. Toisaalta mikä tahansa artinilainen eheyden alue on kenttä. Erityisesti kaikki eheyden äärelliset alueet ovat äärellisiä kenttiä .
Myös polynomien rengas, joiden kertoimet ovat peräisin jostain integraalirenkaasta, on integraali. Esimerkiksi polynomien rengas yhdessä muuttujassa kokonaislukukertoimilla ja polynomien rengas kahdessa muuttujassa todellisilla kertoimilla on integraali. Muodollisen potenssisarjan rengas integraalirenkaan kertoimilla on myös integraali. ${\mathbb {Z}}[x]$ ${\mathbb {R}}[x,y]$
Lomakkeen reaalilukujen joukko on kentän aliluku ja siten eheyden alue. Sama voidaan sanoa muodon kompleksilukujen joukosta , jossa ja ovat kokonaislukuja ( Gaussin kokonaislukujen joukko ). $a+b{\sqrt {2}}$ $\mathbb {R}$ $a+bi$ $a$ $b$
Antaa olla yhdistetty avoin osajoukko monimutkaisen tason . Silloin kaikkien holomorfisten funktioiden rengas on integraali. Sama pätee mihin tahansa analyyttisten funktioiden renkaaseen, joka on määritetty analyyttisen moniston yhdistetylle osajoukolle . $U$ $\mathbb {C}$ $H(U)$ $f:U\rightarrow {\mathbb {C}}$
Jos on kommutatiivinen rengas ja on ideaalissa , niin osamäärä rengas on integraali, jos ja vain jos on prime ideaali . $K$ $minä$ $K$ $K/I$ $minä$

Jakautuvuus, alku- ja redusoitumattomat elementit

Antaa ja olla integraalirenkaan elementtejä . He sanovat, että " jakaa " tai " -jakaja " (ja kirjoittaa ) jos ja vain jos on sellainen elementti , että . $a$ $b$ $K$ $a$ $b$ $a$ $b$ $a\mid b$ $x\in K$ $ax=b$

Jakautuvuus on transitiivinen : jos jakaa ja jakaa , niin jakaa . Jos jakaa ja , niin myös jakaa niiden summan ja erotuksen . $a$ $b$ $b$ $c$ $a$ $c$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b+c$ $eKr$

Yksikkörenkaassa yksikköjakajia eli alkioita, jotka jakavat $K$ luvun 1, kutsutaan myös (algebrallisiksi) yksiköiksi . Niillä ja vain niillä on käänteinen elementti, joten yksikön jakajia kutsutaan myös käänteisiksi elementeiksi . Käännettävät elementit jakavat kaikki muut renkaan elementit. $a\in K$ $K$

Elementit ja kutsutaan assosioituneiksi jos jakaa ja jakaa . ja liittyvät jos ja vain jos , jossa on käännettävä elementti. $a$ $b$ $a$ $b$ $b$ $a$ $a$ $b$ $a = olla$ $e$

Nollasta poikkeavaa elementtiä , joka ei ole yksikkö, kutsutaan redusoitumattomaksi , jos sitä ei voida hajottaa kahden ei - käännettävän alkion tuloksi . $q$

Nollasta poikkeavaa irreversiibeliä elementtiä kutsutaan yksinkertaiseksi , jos se seuraa tosiasiasta, että tai seuraa . Tämä määritelmä yleistää renkaan alkuluvun käsitteen , mutta ottaa huomioon myös negatiiviset alkuluvut. Jos on renkaan yksinkertainen elementti , niin sen luoma pääideaali on yksinkertainen. Mikä tahansa yksinkertainen elementti on redusoitumaton, mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa kaikilla eheyden aloilla. $s$ $p\mid ab$ $p\mid a$ $p\mid b$ $\mathbb {Z}$ $s$ $(p)$

Ominaisuudet

Mikä tahansa kenttä, samoin kuin mikä tahansa rengas, jossa on yksikkö, joka sisältyy johonkin kenttään, on eheyden alue.
- Sitä vastoin mikä tahansa eheysalue voi olla sisäkkäinen johonkin kenttään. Tällainen upotus saadaan osamääräkentän rakentamisesta.
Renkaiden suora tulo ei ole koskaan koko alue, koska ensimmäisen renkaan yksikkö kerrottuna toisen renkaan yksiköllä antaa 0.
Integraalirenkaiden tensoritulo on myös integraalirengas.
Eheysalueen ominaisuus on joko nolla tai alkuluku .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Joskus kommutatiivisuutta ei vaadita eheysalueen määrittelyssä. Esimerkkejä ei-kommutatiivisista eheysalueista ovat kiinteät aineet sekä yksikön sisältävät kiintoaineiden osarenkaat, kuten kokonaislukukvaternionit . Ei kuitenkaan ole totta, että mitä tahansa ei -kommutatiivista eheysaluetta voidaan upottaa johonkin runkoon.

Kirjallisuus

Vinberg E.B. Algebran kurssi. - 3. painos - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 kappaletta. — ISBN 5-88688-060-7 .

Joidenkin sormusluokkien sisällyttäminen kaavioon
kommutatiiviset renkaat ⊃ integraalirenkaat ⊃ tekijärenkaat ⊃ pääideaalialueet ⊃ euklidiset renkaat ⊃ kentät