Rannikkoparadoksi

Rannikkoparadoksi on maantieteellisissä tieteissä kiistanalainen havainto, joka liittyy kyvyttömyyteen määrittää tarkasti rantaviivan pituutta sen fraktaalimaisten ominaisuuksien vuoksi . Ensimmäisen dokumentoidun kuvauksen tästä ilmiöstä teki Lewis Richardson [1] ; myöhemmin sitä laajensi Benoit Mandelbrot [2] .

Rantaviivan pituus riippuu siitä, miten se mitataan. Koska maa-alueella voidaan erottaa minkä tahansa kokoisia mutkia, sadoista kilometreistä millimetrin murto-osaan tai alle, on mahdotonta valita selkeällä tavalla pienimmän elementin kokoa, joka tulisi ottaa mittaukseen. Siksi on mahdotonta määrittää yksiselitteisesti tämän osan kehää. Tämän ongelman ratkaisemiseksi on olemassa useita matemaattisia approksimaatioita.

Paradoksin kehityksen historia

Vähän ennen vuotta 1951 Lewis Fry Richardson , tutkiessaan valtion rajojen pituuden väitettyä vaikutusta sotilaallisten konfliktien puhkeamisen todennäköisyyteen, totesi seuraavan: Portugali ilmoitti, että sen maaraja Espanjan kanssa oli 987 km, ja Espanja määriteltiin sen pituudeksi 1 214 km. Tämä tosiasia toimi lähtökohtana rantaviivaongelman tutkimiselle [3] .

Päämenetelmä rajan tai rantaviivan pituuden arvioimiseksi oli asettaa N yhtä suuret l pituiset segmentit kartalle tai ilmakuvaan kompassin avulla. Janan jokaisen pään on kuuluttava mitattuun rajaan. Tutkiessaan eroja sidotuissa arvioissa Richardson löysi sen, mitä nykyään kutsutaan Richardson-ilmiöksi : mittausasteikko on kääntäen verrannollinen kaikkien segmenttien kokonaispituuteen. Eli mitä lyhyempää viivainta käytetään, sitä pidempi on mitattu reuna. Näin ollen espanjalaisia ​​ja portugalilaisia ​​maantieteilijöitä ohjasivat yksinkertaisesti eri mittakaavat.

Silmiinpistävin asia Richardsonille oli, että kun l :n arvo menee nollaan, rannikon pituus menee äärettömään. Aluksi Richardson uskoi euklidiseen geometriaan perustuen, että tämä pituus saavuttaisi kiinteän arvon, kuten tapahtuu säännöllisten geometristen kuvioiden tapauksessa. Esimerkiksi ympyrään piirretyn säännöllisen monikulmion kehä lähestyy itse ympyrän pituutta, kun sivujen lukumäärä kasvaa (ja kunkin sivun pituus pienenee). Geometristen mittausten teoriassa sellaista tasaista käyrää kuin ympyrä, joka voidaan likimäärin esittää pieninä segmentteinä tietyllä rajalla, kutsutaan tasasuuntautuvaksi käyräksi.

Yli kymmenen vuotta Richardsonin työnsä valmistumisen jälkeen Mandelbrot kehitti uuden matematiikan haaran - fraktaaligeometrian - kuvaamaan sellaisia ​​luonnossa esiintyviä ei-korjautuvia komplekseja, kuten loputon rantaviiva [4] . Hänen oma määritelmänsä fraktaalista tutkimuksensa perustana on [5] :

Keksin sanan fraktaali latinan adjektiivin fractus perusteella . Vastaava latinalainen verbi frangere tarkoittaa rikkoa : luoda epäsäännöllisiä fragmentteja. Siksi on järkevää, että fractus tarkoittaa sanan "fragmentary" lisäksi myös "epäsäännöllistä".

Fraktaalien tärkein ominaisuus on itsensä samankaltaisuus , joka koostuu saman yleisen hahmon ilmentymisestä missä tahansa mittakaavassa. Rantaviivaa pidetään lahden ja niemen vuorotteluna. Jos tietyllä rannikolla on hypoteettisesti samankaltaisuuden ominaisuus, niin riippumatta siitä, kuinka paljon yksi tai toinen osa on skaalattu, samanlainen kuvio pienempien lahtien ja niemien päälle ilmestyy yhä suurempien lahtien ja niemien päälle hiekanjyviin asti. Sellaisessa mittakaavassa rantaviiva näyttää olevan hetkessä muuttuva, mahdollisesti ääretön lanka, jossa on stokastinen lahden ja niemen järjestely. Tällaisissa olosuhteissa (toisin kuin tasaisissa kaarteissa) Mandelbrot toteaa: "Rantaviivan pituus osoittautuu saavuttamattomaksi käsitteeksi, joka liukuu niiden sormien välistä, jotka yrittävät ymmärtää sitä" [4] .

Matemaattinen tulkinta

Pituuden käsite tulee euklidisesta etäisyydestä . Euklidisessa geometriassa suora on lyhin etäisyys kahden pisteen välillä. Pallon pinnalla oleva geodeettinen viiva, jota kutsutaan suureksi ympyräksi , mitataan käyrää pitkin, joka sijaitsee tasossa, joka sisältää polun päätepisteet ja pallon keskipisteen. Käyrän pituutta on vaikeampi laskea. Viivainta käytettäessä käyrän pituus voidaan laskea likimäärin summaamalla pisteitä yhdistävien janaosien pituudet:

Lyhyempien ja lyhyempien segmenttien käyttö antaa yhä tarkemman arvon, joka lähestyy kaaren pituuden todellista arvoa. Tällainen tarkka arvo äärettömän pienille etäisyyksille voidaan laskea laskemalla . Seuraava animaatio näyttää, kuinka tasainen tällainen käyrä voi olla tarkalla pituudella:

Kaikkia käyriä ei kuitenkaan voida mitata tällä tavalla. Fraktaalin monimutkaisuus vaihtelee mittakaavasta riippuen, joten fraktaalipituuksien mitatut arvot voivat muuttua arvaamattomasti.

"todellisen fraktaalin" pituus pyrkii aina äärettömyyteen, aivan kuten rantaviivan äärettömän pienten mutkien pituudet laskevat yhteen äärettömyyteen [6] . Mutta tämä väite perustuu oletukseen, että avaruus on rajaton, mikä puolestaan ​​tuskin heijastaa todellista avaruuden ja etäisyyden käsitettä atomitasolla . Universumin pienin pituusyksikkö on Planckin pituus , joka on paljon pienempi kuin atomin koko.

Rantaviiva, jolla on samankaltaisuusominaisuus, sisältyy "ensimmäiseen fraktaaliluokkaan, nimittäin se on käyrä, jonka fraktaalimitta on suurempi kuin 1". Tämä viimeinen lausunto on Mandelbrotin laajennus Richardsonin ajatukselle. Mandelbrot muotoilee Richardson-ilmiön [7] seuraavasti:

jossa rantaviivan pituus L on yksikön ε funktio ja se on approksimoitu oikeanpuoleisella lausekkeella. F on vakio, D on Richardsonin parametri, joka riippuu itse rantaviivasta (Richardson ei antanut teoreettista selitystä tälle arvolle, mutta Mandelbrot määritteli D:n ei-kokonaislukumuodoksi Hausdorffin ulottuvuudesta , myöhemmin fraktaaliulottuvuudeksi. toisin sanoen D on käytännössä mitattu "karheuden" arvo). Järjestämällä lausekkeen oikean puolen uudelleen saamme:

jossa Fε -D tulee olla e:n yksiköiden lukumäärä, joka vaaditaan L: n saamiseksi. Fraktaalimitta on niiden objektimittojen lukumäärä, joita käytetään fraktaalin approksimoimiseen: 0 pisteelle, 1 viivalle, 2 pinta-alaluvuille. Koska rannikon pituutta mittaava katkoviiva ei ulotu yhteen suuntaan eikä samalla edusta aluetta, D:n arvo lausekkeessa on välissä 1 ja 2 välillä (yleensä alle 1,5 rannikolla). . Se voidaan tulkita paksuksi viivaksi tai 2ε leveäksi raidaksi. "Rikkoutuneemmilla" rannikoilla on suurempi D-arvo, ja siten L osoittautuu pidemmäksi samalla ε:lla. Mandelbrot osoitti, että D ei riipu ε:stä.

Yleisesti ottaen rannikkoviivat eroavat matemaattisista fraktaaleista, koska ne muodostetaan käyttämällä lukuisia pieniä yksityiskohtia, jotka luovat malleja vain tilastollisesti [8] .

Paradoksi käytännössä

Käytännön syistä osien vähimmäiskoko valitaan mittayksiköiden järjestyksen mukaiseksi. Joten jos rantaviivaa mitataan kilometreissä, pieniä muutoksia linjoissa, paljon vähemmän kuin yksi kilometri, ei yksinkertaisesti oteta huomioon. Rannikkoviivan mittaamiseksi senttimetreinä on otettava huomioon kaikki pienet, noin yhden senttimetrin koon vaihtelut. Senttimetrin asteikolla on kuitenkin tehtävä erilaisia ​​mielivaltaisia ​​ei-fraktaalioletuksia, kuten missä suisto yhtyy mereen tai missä mittaukset on tehtävä leveillä wateilla . Lisäksi eri mittausmenetelmien käyttö eri mittayksiköille ei mahdollista näiden yksiköiden muuntamista yksinkertaisella kertolaskulla.

Valtion aluevesien määrittämiseksi rakennetaan niin sanotut suorat perusviivat , jotka yhdistävät rannikon virallisesti vahvistetut pisteet. Tällaisen virallisen rantaviivan pituutta ei myöskään ole vaikea mitata.

Rannikkoparadoksien ääritapauksia ovat rannikot, joissa on paljon vuonoja : Norjan rannikko , Chile , Pohjois-Amerikan luoteisrannikko ja muut. Vancouverin saaren eteläkärjestä pohjoissuunnassa Kaakkois-Alaskan eteläkärkeen Kanadan Brittiläisen Kolumbian provinssin rannikon kaaret muodostavat yli 10 % Kanadan rannikon pituudesta (kaikki saaret mukaan lukien). Kanadan arktinen saaristo ) - 25 725 km 243 042 km:stä lineaarisella etäisyydellä, mikä vastaa vain 965 km [9] .

Katso myös

• fraktaali ulottuvuus
• Kasan paradoksi
• Aporia Zeno
• Alaskan rajakiista
• Kuinka pitkä Ison-Britannian rannikko on? »

Muistiinpanot

1. ↑ Weisstein, Eric W. Rannikkoparadoksi  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
2. ↑ Mandelbrot, Benoit M. Luonnon fraktaaligeometria. - W.H. Freeman and Co., 1983. - P. 25-33. - ISBN 978-0-7167-1186-5 .
3. ↑ Ashford, Oliver M. , Charnock, H. , Drazin, PG , Hunt, JCR Fractals // The Collected Papers of Lewis Fry Richardson / toim. Ashford, Oliver M. - Cambridge University Press, 1993. - Voi. 1, "Meteorologia ja numeerinen analyysi" . - s. 45-46. — 1016 s. - ISBN 0-521-38297-1 .
4. ↑ 1 2 Mandelbrot (1983), s. 28.
5. ↑ Mandelbrot (1983), s. yksi.
6. ↑ Post & Eisen, s. 550.
7. ↑ Mandelbrot (1983), s. 29-31.
8. ↑ Peitgen, H.-O. , Jürgens, H. , Saupe, D. Epäsäännölliset muodot: Randomness in Fractal Constructions // Chaos and Fractals: New Frontiers of Science . - 2. painos - Springer, 2004. - S. 424. - ISBN 0-387-21823-8 .
9. ↑ Sebert, LM ja MR Munro. 1972. Kanadan kansallisen topografisen järjestelmän karttojen mitat ja alueet. Tekninen raportti 72-1. Ottawa, Ont: Surveys and Mapping Branch, Department of Energy, Mines and Resources.

Lue lisää

• Michael Frame, Benoit Mandelbrot ja Nial Neger. Rannikkoviivat  (englanniksi) . fraktaaleja . yale.edu. Käyttöönottopäivä: 13.2.2016.
• II.5 Kuinka pitkä Ison-Britannian rannikko on? // Luonnon fraktaaligeometria. - Macmillan, 1983. - s. 25-33. - ISBN 978-0-7167-1186-5 .
• Kuinka paljon pituutta todella tarvitset? Ahhh, rantaviivan pituus on!  (englanniksi) . NOAA GeoZone -blogi Digital Coastissa . geozoneblog.wordpress.com (26. maaliskuuta 2012). Käyttöönottopäivä: 13.2.2016.