Neljännen asteen tasainen käyrä

Neljännen asteen tasainen käyrä tai tasainen kvartinen on neljännen asteen tasainen algebrallinen käyrä . Se voidaan määrittää neljännen asteen yhtälöllä kahdessa muuttujassa:

Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3} +Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,

jossa ainakin yksi luvuista A, B, C, D, E on nollasta poikkeava. Tässä yhtälössä on 15 vakiota. Yhtälö voidaan kuitenkin kertoa millä tahansa nollasta poikkeavalla vakiolla käyrää muuttamatta. Näin ollen kertovakion sopivalla valinnalla mikä tahansa kerroin voidaan tehdä 1:ksi, jolloin jäljelle jää vain 14 vakiota. Siten kvartaalinen avaruus voidaan tunnistaa todellisen projektiivisen avaruuden kanssa . Cramerin algebrallisten käyrien lauseesta seuraa myös , että 14 eri pisteen läpi kulkee tarkalleen yksi kvartsi yleisasemassa , koska kvartiksilla on 14 vapausastetta . $\mathbb {RP} ^{14}$

Lituralla voi olla maksimi

neljä yhdistettyä komponenttia
kaksikymmentäneljä bitangentti
kolme tavallista kaksoispistettä .

Voidaan harkita kvartsikäyriä muiden kenttien (tai jopa renkaiden ) yli, kuten kompleksilukuja . Jälkimmäisessä tapauksessa saadaan Riemannin pinnat, jotka ovat yksiulotteisia C :n suhteen mutta kaksiulotteisia R :n suhteen. Esimerkki on Kleinin kvartic . Lisäksi voidaan tarkastella homogeenisten polynomien antamia käyriä projektiivitasossa .

Esimerkkejä

Yllä olevan yhtälön kertoimien erilaiset yhdistelmät tuottavat useita tärkeitä käyräperheitä, jotka on lueteltu alla.

Lemniscate
- Lemniscate Bernoulli
- Lemniscate Gerono
Pascalin etana
Quartic Lurot
Perseuksen käyrä
neliömäisyys
- Lame special quartic
toric osa
Trotta käyrä

Et-merkki (käyrä)

Et -merkkikäyrä on kvarttinen tasokäyrä yhtälön kanssa

\ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.

Käyrässä on suku nolla, jossa on kolme tavallista kaksoispistettä todellisessa tasossa. [yksi]

Bob (käyrä)

Bob- käyrä on 4. asteen tasokäyrä yhtälön kanssa

x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,

Bobilla on suku nolla. Käyrällä on yksi singulariteetti origossa, tavallinen kolmoispiste [2] . [3]

Kaksikäyrä

Kaksoispistekäyrä on 4. asteen tasainen käyrä yhtälön kanssa

(x^{2}-a^{2})(xa)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,

jossa a määrittää käyrän koon. Kahden pisteen käyrällä on vain kaksi solmupistettä singulaarisina, ja siksi se on suvun yksi käyrä [4] .

Jousi (käyrä)

Keula on 4. asteen tasokäyrä yhtälön kanssa

x^{4}=x^{2}yy^{3}.\,

Bantilla on yksi kolmoispiste kohdissa x =0, y =0, ja siksi se on suvun nolla rationaalinen käyrä [5] .

Ristiinmuotoinen käyrä

Ristiinmuotoinen tai ristikäyrä on yhtälön antama 4. asteen tasokäyrä

x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,

jossa a ja b ovat kaksi parametria , jotka määräävät käyrän muodon. Ristinmuotoinen käyrä on yhdistetty standardinmukaisella toisen asteen muunnolla x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y ellipsiin , ja siksi se on nollan rationaalinen tasoalgebrallinen käyrä . Ristinmuotoisella käyrällä on kolme kaksoispistettä todellisessa projektiivitasossa pisteissä x =0 ja y =0, x =0 ja z =0, y =0 ja z =0. [6] $a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=1$

Koska käyrä on rationaalinen, se voidaan parametroida rationaalisilla funktioilla. Esimerkiksi jos a =1 ja b =2, niin yhtälöt

x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3)),\quad y={\frac {t^{2}-2t+5 }{2t-2}}

määrittää käyrän pisteiden parametrisoinnin, paitsi poikkeustapauksissa, joissa nimittäjä katoaa.

Spiraaliosa

Spiraalileikkaus voidaan määritellä neljännen asteen kaksiympyrämäiseksi käyräksi, joka on symmetrinen x- ja y -akselien suhteen . Spiraaliosat kuuluvat toristen osien perheeseenja sisältävät BoothinlemniscatejaCassini-soikaaliperheen. Nimi tulee kreikan sanasta σπειρα, joka tarkoittaa torusta.

Karteesisissa koordinaateissa yhtälö voidaan kirjoittaa

(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,

ja napakoordinaateissa as

r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,

Kolmilehtinen apila

Kolmilehtinen apila on 4. asteen tasainen käyrä

x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,

Ratkaisemalla yhtälön y :lle saadaan seuraava funktio

y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2)))){2))},

jossa kaksi merkkiä ovat toisistaan riippumattomia, jolloin kullekin x :lle on enintään neljä erilaista y -arvoa . $\pm$

Kolmilehtisen apilan parametrinen yhtälö on

x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,

[7] .

Napakoordinaateissa ( ) yhtälö saa muodon $x=r\cos(\varphi ),y=r\sin(\varphi )$

r=\cos(3\varphi ).\,

Käyrä on ruusun erikoistapaus, jossa k = 3. Tällä käyrällä on kolmoispiste origossa (0, 0) ja siinä on kolme kaksoistantagenttia.

Muistiinpanot

↑ Weisstein, Eric W. Ampersand Curve Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Cundy, Rollett, 1961 , s. 72.
↑ Weisstein, Eric W. Bean Curve Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Weisstein , Eric W. Bicuspid Curve Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Weisstein, Eric W. Bow Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Weisstein , Eric W. Ristiinmuotoinen käyrä Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Gibson, 2001 , s. 12, 78.

Kirjallisuus

Cundy HM, Rollett AP Matemaattiset mallit. – 2. - Clarendon Press, Oxford, 1961. - s. 72. - ISBN 978-0-906212-20-2 .
Gibson CG Elementary Geometry of Algebraic Curves, perustutkinnon johdanto. - Cambridge: Cambridge University Press, 2001. - P. 12, 78. - ISBN 978-0-521-64641-3 .