Perkolaatioteoria

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Perkolaatioteoria ( perkolaatioteoria tai tihkumisteoria) on matemaattinen teoria, jota käytetään fysiikassa, kemiassa ja muilla aloilla kuvaamaan toisiinsa liittyvien rakenteiden syntymistä yksittäisistä elementeistä koostuvissa satunnaisissa medioissa ( klustereissa ).

Perkolaatioteorian yksinkertaisimmat ongelmat on muotoiltu diskreeteille hiloille . Todennäköisyys (pitoisuus) , jolla ruudukon solmu on varattu, on annettu . Näin ollen todennäköisyys, että solmu on vapaa, on yhtä suuri kuin . Yksinkertaisimmassa tapauksessa kaikkia solmuja pidetään itsenäisinä, eli yhden solmun kiire ei vaikuta muiden kiireisiin. Kahden solmun katsotaan kuuluvan samaan klusteriin, jos ne voidaan yhdistää jatkuvalla vierekkäisten varattujen solmujen ketjulla. Parametrin arvon kasvaessa solmuja varataan yhä enemmän ja seurauksena syntyy yhä suurempia klustereita. Tietyllä kriittisellä arvolla järjestelmään muodostuu supistuva (perkolaatio)klusteri, joka yhdistää järjestelmän toisen pään toiseen - tapahtuu kriittinen siirtymä, samanlainen kuin toisen asteen vaihemuutos . Kuvattu ongelman muotoilu vastaa ns. solmuongelmaa . On mahdollista muotoilla toinen ongelma, jossa todennäköisyydellä ei itse solmut ole varattu, vaan niiden väliset yhteydet - yhteyksien ongelma. Tällainen lähestymistapa mahdollistaa perkolaatioteorian laitteiston käytön monilla alueilla, esimerkiksi huokoisten materiaalien, johtavuuden, polymeroinnin, biologisen evoluution, galaksien muodostumisen ja monien muiden kuvauksessa [1] . $s$ $1-s$ $s$ ${\displaystyle p=p_{c))$ $s$

Historia

Matemaatikoiden kiinnostus perkolaatioilmiöön on saanut alkunsa ongelmasta, jonka professori De Volson Wood ehdotti ja joka julkaistiin vuonna 1894 American Mathematical Monthly -lehdessä [2 ] :

Ongelman sisältöselostus. Sama määrä valkoisia ja samankokoisia mustia palloja heitetään suorakaiteen muotoiseen laatikkoon. Millä todennäköisyydellä valkoiset pallot koskettavat jatkuvasti laatikon päästä toiseen? Erityisenä esimerkkinä oletetaan, että laatikko on 30 palloa pitkä, 10 palloa leveä ja 5 (tai 10) kerrosta syvä.

Alkuperäinen teksti (englanniksi)[ näytäpiilottaa] Todellinen tapaus ehdotti seuraavaa: Suorakaiteen muotoiseen laatikkoon heitetään yhtä suuri määrä valkoisia ja samankokoisia mustia palloja, millä todennäköisyydellä valkoiset pallot joutuvat kosketukseen laatikon toisesta päästä toiseen päähän. Erityisenä esimerkkinä oletetaan, että laatikon pituudessa on 30 palloa, 10 leveässä ja 5 (tai 10) kerroksen syvyydessä.

Tiukan matemaattisen perustan perkolaatioon liittyvien fysikaalisten ilmiöiden kuvaamiseen kehitti kymmenen vuoden työn tuloksena Stanislav Smirnov , joka palkittiin Fields Prize -palkinnolla vuonna 2010 yhdestä työstään tilastollisen fysiikan litteiden hilamallien alalla [ 3] [4] .

Kuvaus

Perkolaatioilmiö (tai väliainevirtaus ) määräytyy :

Ympäristö, jossa tämä ilmiö havaitaan;
Ulkoinen lähde, joka tarjoaa virtauksen tässä ympäristössä;
Tapa, jolla väliaine virtaa, riippuu ulkoisesta lähteestä.

Esimerkki

Yksinkertaisimpana esimerkkinä voidaan tarkastella virtausmallia (esimerkiksi sähköinen läpilyönti ) kaksiulotteisessa neliömäisessä hilassa , joka koostuu solmuista, jotka voivat olla johtavia tai johtamattomia. Alkuhetkellä kaikki verkon solmut eivät ole johtavia. Ajan myötä lähde[ mitä? ] korvaa johtamattomat solmut johtavilla solmuilla, ja johtavien solmujen määrä kasvaa vähitellen. Tällöin solmut korvataan satunnaisesti, eli minkä tahansa solmun valinta korvattavaksi on yhtä todennäköistä koko hilan pinnalla.

Perkolaatio on hetki, jolloin ilmaantuu sellainen hilan tila, jossa on vähintään yksi jatkuva polku viereisten johtavien solmujen läpi yhdestä vastakkaiseen reunaan. Ilmeisesti johtavien solmujen lukumäärän kasvaessa tämä hetki tulee ennen kuin hilan koko pinta [ selventää ] koostuu yksinomaan johtavista solmuista.

Merkitään solmujen ei-johtavat ja johtavat tilat nolilla ja ykkösillä. Kaksiulotteisessa tapauksessa media vastaa binaarimatriisia. Sarja, jossa matriisin nollia korvataan ykkösillä, vastaa vuodon lähdettä.

Alkuhetkellä matriisi koostuu kokonaan johtamattomista elementeistä:

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

Altistuessaan ulkoiselle lähteelle johtavia elementtejä aletaan lisätä matriisiin, mutta aluksi ne eivät riitä perkolaatioon:

0	0	yksi
yksi	0	0
0	yksi	0
0	yksi	0

Kun johtavien solmujen lukumäärä kasvaa, tulee kriittinen hetki, jolloin perkolaatio tapahtuu, kuten alla on esitetty:

0	0	0	yksi
yksi	yksi	0	0
0	yksi	yksi	0
0	0	yksi	yksi

Voidaan nähdä, että viimeisen matriisin vasemmalta oikealle reunalle on elementtiketju, joka varmistaa virran kulkemisen johtavien solmujen (yksiköiden) läpi, jotka seuraavat jatkuvasti toisiaan.

Perkolaatiota voidaan havaita sekä hilassa että muissa geometrisissa rakenteissa, mukaan lukien jatkuvat, jotka koostuvat suuresta määrästä samankaltaisia elementtejä tai vastaavasti jatkuvia alueita, jotka voivat olla jossakin kahdesta tilasta. Vastaavia matemaattisia malleja kutsutaan hilaksi tai jatkumoksi.

Esimerkki perkolaatiosta jatkuvassa väliaineessa voi olla nesteen kulkeminen ison huokoisen näytteen läpi (esimerkiksi vesi vaahtoavasta materiaalista tehdyn sienen läpi), jossa kuplia täytetään vähitellen, kunnes niiden koko on riittävä nesteen tihkumiseen. näytteen reunasta toiseen.

Induktiivisesti perkolaation käsite siirtyy kaikkiin rakenteisiin tai materiaaleihin, joita kutsutaan perkolaatioväliaineiksi, joille on määritettävä ulkoinen vuotolähde, jonka virtaustapa ja elementit (fragmentit) voivat olla eri tilassa, yksi joista (ensisijainen) ei tyydytä tätä kulkutapaa ja toinen tyydyttää. Virtausmenetelmä tarkoittaa myös tiettyä elementtien esiintymisjärjestystä tai ympäristön fragmenttien muutosta virtauksen kannalta välttämättömään tilaan, jonka lähde tarjoaa. Lähde puolestaan siirtää näytteen osia tai fragmentteja asteittain tilasta toiseen, kunnes perkolaation hetki koittaa.

Perkolaatiokynnys

Elementtijoukkoa, jonka läpi virtaus tapahtuu, kutsutaan perkolaatioklusteriksi . Koska se on luonteeltaan yhdistetty satunnainen graafi , sillä voi tietystä toteutuksesta riippuen olla eri muotoinen. Siksi on tapana karakterisoida sen kokonaiskoko. Vuotokynnys on pienin pitoisuus, jossa vuoto tapahtuu.

Ympäristön elementtien kytkentätilojen satunnaisuudesta johtuen lopullisessa järjestelmässä ei ole selkeästi määriteltyä kynnystä (kriittisen klusterin kokoa), vaan on olemassa ns. kriittinen arvoalue, johon perkolaatio erilaisten satunnaisten toteutusten tuloksena saadut kynnysarvot putoavat. Kun järjestelmän koko kasvaa, alue kapenee tiettyyn pisteeseen. Äärettömille järjestelmille se on yhtä suuri kuin jokin kiinteä arvo: kaikille , järjestelmässä ei ole supistuvaa klusteria, koska se on aina läsnä. Kriittisen pitoisuuden analyyttinen laskenta on kuitenkin mahdollista vain rajoitetulle määrälle hilakonfiguraatioita. Esimerkiksi yksiulotteisessa tapauksessa (hila on ääretön solmuketju) , Bethen hilassa , jossa z on koordinaatioluku . Muissa tapauksissa ohjelmistosimulaatioihin perustuva numeerinen laskenta suurille äärellisille hiloille on mahdollista. $p_{c}$ ${\displaystyle p<p_{c))$ ${\displaystyle p>p_{c))$ $p_{c}=1$ $p_{c}=1/(z-1)$

Kriittisessä pisteessä monet järjestelmän tärkeät ominaisuudet (kuten korrelaation pituus, keskimääräinen klusterin koko, supistavan klusterin teho jne.) ovat yksittäisiä , ja lähes kriittisellä alueella niitä säätelevät teholait lomake . Kriittiset eksponentit toimivat kuten eri suureille . Universaliteetin laista seuraa, että nämä indeksit riippuvat vain perkolaatiomallin tyypistä ja tilan dimensiosta eivätkä riipu hilan geometriasta. Ne ovat samat myös solmu- ja linkkiongelmissa. ${\displaystyle p=p_{c))$ ${\displaystyle |p-p_{c}|^{x))$ $x$

Muistiinpanot

↑ M. Sahini, M. Sahimi. Perkolaatioteorian sovellukset . – Lontoo: CRC Press, 21.4.2014. — 276 s. — ISBN 978-0-429-08044-9 . Arkistoitu 21. joulukuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Ongelmat // American Mathematical Monthly : Journal . - 1894. - Voi. 1 , ei. 3 . - s. 99 . - doi : 10.2307/2971675 . Arkistoitu alkuperäisestä 23. elokuuta 2021.
↑ Takaisin tulevaisuuteen: 100 vuotta vanha AMM-ongelma on saattanut olla perkolaatioteorian varhaisin vihje , Mathematical Association of America (25. elokuuta 2010). Arkistoitu alkuperäisestä 5. marraskuuta 2016. Haettu 5.11.2016.
↑ Rajendra Bhatia. Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Hyderabad, 19.-27.8.2010 . - World Scientific, 2011-06-06. - S. 73-84. — 814 s. — ISBN 978-981-4324-35-9 . Arkistoitu 23. elokuuta 2021 Wayback Machinessa

Katso myös

Coherer

Kirjallisuus

Tarasevich Yu. Yu. Perkolaatio: teoria, sovellukset, algoritmit: Oppikirja - Moskova: Editorial URSS, 2002. - 112 s.
Smirnov S. Modernista matematiikasta ja sen opetuksesta // Kvant , 2011, nro 2, s. 11-18.
Kesten H. Perkolaatioteoria matemaatikoille. - Boston: Birkhauser, 1982. (venäjäksi: Kesten X. Perkolaatioteoria matemaatikoille. - M .: Mir, 1986. - 392 s.)
D. Stauffer ja A. Aharony, Introduction to Percolation Theory, Taylor ja Fransis, Lontoo, 1994.
B. I. Shklovsky, A. L. Efros, Seostettujen puolijohteiden elektroniset ominaisuudet, luku 5. M .: Nauka, 1979.
A. Bunde, S. Havlin, Percolation I (s. 51-95), Percolation II (s. 97-149), julkaisussa: Fractals and disordered systems, toim. A. Bunde, S. Havlin, Springer, Berliini, 1996.
VKSShante ja S. Kirkpatrick, Adv. Phys. 20, 325 (1971).
S. Kirkpatrick, Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973).
Efros A. L. Epäjärjestyksen fysiikka ja geometria . — M .: Nauka , 1982. — 176 s. - ( Kirjasto "Kvantti" ). - 150 000 kappaletta.

Linkit

Hilasolmujen avautumisen simulaatio (sähkövirran johdin) Arkistoitu 5. toukokuuta 2019 Wayback Machinessa

fraktaaleja
Ominaisuudet	fraktaali ulottuvuus Hausdorffin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus rekursio itsensä samankaltaisuus
Yksinkertaisimmat fraktaalit	Fern Barnsley Kantorin setti lohikäärmeen käyrä Kochin käyrä Sieni Menger Sierpinski matto Sierpinskin kolmio Tilan täyttökäyrä
outo houkutin	Multifraktaali
L-järjestelmä	Tilan täyttökäyrä
Bifurkaatiofraktaalit	Julia setti Ljapunovin fraktaali Mandelbrot setti Newtonin altaat
Satunnaiset fraktaalit	Brownin liike ruskea puu fraktaalipinta Perkolaatioteoria
Ihmiset	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Aleksanteri Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
liittyvät aiheet	Kuinka pitkä Ison-Britannian rannikko on? » Rannikkoparadoksi