Kokeellinen matematiikka

Kokeellinen matematiikka on matematiikan  haara , joka erottuu eri tekniikoiden käytöllä, mukaan lukien korvausmenetelmät, syrjäytykset, todisteet päinvastaisesta, mukaan lukien elektronisten laskentatyökalujen käyttö vanhojen matematiikan tosiasioiden ( lauseiden ) tarkistamiseen, vahvistamiseen ja uusien hankkimiseen. . Kaikki kokeellisessa matematiikassa saadut tulokset ovat tiukasti todistettuja matematiikan väitteitä. Tarkkaan ottaen kaikki todisteet , laskelmat, laskelmat jne. ovat kokeita uusien lakien (lauseiden) saamiseksi. Kuitenkin kokeellisessa matematiikassa nykyaikaista tietokonetekniikkaa käytetään kokeiden suorittamiseen , mikä mahdollistaakokeet , jotka eivät ole käytettävissä manuaalisella laskennalla. Kokeellisen matematiikan päämenetelmä on evidentiaalinen laskelma , jonka aikana laskelmien tuloksia käytetään matemaattisten tosiasioiden tiukkaan todistamiseen .

Paul Richard Halmos kirjoitti: ”Matematiikka ei ole deduktiivinen tiede  , se on klise. Jos yrität todistaa lauseen, ei riitä, että luet premissit ja aloitat päättelyn. Se mitä teet, on yritystä ja erehdystä , kokeilua ja arvailua. Sinun on selvitettävä, mikä on tosiasia, ja mitä teet, on kuin kokeen suorittajan työtä laboratoriossa" [1] .

Historia

Matemaatikot ovat aina harjoittaneet kokeellista matematiikkaa. On olemassa varhaisten matemaatikoiden, kuten Babylonin matemaatikoiden, tietueita , jotka yleensä koostuvat luettelosta algebrallista identiteettiä kuvaavista numeerisista esimerkeistä. Nykyaikaiset matemaatikot ovat kuitenkin 1600-luvulta lähtien kehittäneet perinteen tulostaa tulokset lopullisena, muodollisena esityksenä. Numeerisia esimerkkejä, jotka voisivat johtaa matematiikan lauseen muotoiluun, ei julkaistu, ja ne yleensä unohdetaan.

Kokeellinen matematiikka erillisenä tutkimusalana heräsi henkiin 1900-luvulla, jolloin elektronisten tietokoneiden keksiminen lisäsi huomattavasti mahdollisia laskelmia sellaisella nopeudella ja tarkkuudella, johon aikaisempien sukupolvien matemaatikot eivät pystyneet. Merkittävä virstanpylväs ja saavutus kokeellisessa matematiikassa oli vuonna 1995 löydetty Bailey-Borwain-Pluff-kaava luvun π binäärinumeroille. Kaavaa ei löydetty muodollisista syistä, vaan tietokonehaun jälkeen. Vasta sen jälkeen löydettiin tiukka todiste [2] .

Tarkoitukset ja käyttötarkoitukset

Kokeellisen matematiikan tarkoitus on "saada ymmärrystä ja näkemystä käsitteiden olemuksesta, vahvistaa tai kumota hypoteeseja, tehdä matematiikasta konkreettisempaa, elävämpää ja kiinnostavampaa sekä ammattimatemaatikoille että amatööreille" [3] .

Kokeellisen matematiikan käyttö [4] :

  1. Tunkeutuminen aiheen olemukseen ja tunteeseen.
  2. Uusien mallien ja liitäntöjen löytäminen.
  3. Graafisten näyttöjen avulla yrittää arvata taustalla olevat periaatteet.
  4. Hypoteesien testaus ja kumoaminen.
  5. Mahdollisten tulosten tutkiminen sen arvioimiseksi, ovatko ne arvokkaita muodollisia todisteita.
  6. Ehdotuksia muodolliselle todisteelle.
  7. Pitkien manuaalisten johdinten korvaaminen tietokonepohjaisilla johtimilla.
  8. Saatujen analyysitulosten vahvistus.

Laitteet ja tekniikka

Kokeellinen matematiikka laskee laskennallisia menetelmiä integraalien likimääräisten arvojen ja äärettömien sarjojen summien laskemiseen. Laskelmissa käytetään usein mielivaltaista tarkkuusaritmetiikkaa ,  yleensä 100 merkitsevää numeroa tai enemmän. Kokonaislukusuhdealgoritmia käytetään sitten näiden arvojen ja matemaattisten vakioiden välisten suhteiden etsimiseen. Erittäin tarkka työskentely vähentää mahdollisuutta sekoittaa matemaattinen vastaavuus todelliseen suhteeseen. Sitten se etsii muodollista näyttöä väitetystä suhteesta – usein on helpompi löytää todisteita, jos hypoteettinen suhde tiedetään.

Jos etsit vastaesimerkkiä tai joudut tuottamaan todistuksen, joka vaatii paljon luettelointia, hajautettua laskentatekniikkaa voidaan käyttää laskennan jakamiseen tietokoneiden välillä.

Yleisiä tietokonealgebrajärjestelmiä , kuten Mathematicaa , käytetään usein , vaikka verkkoaluekohtaisia ​​ohjelmia on myös kirjoitettu hyökkäämään korkeaa tehokkuutta vaativiin ongelmiin. Kokeellinen matemaattinen ohjelmisto sisältää tyypillisesti virheiden havaitsemis- ja korjausmekanismeja , eheyden tarkistuksen ja redundantteja laskelmia ohjelmistovirheiden tai prosessorin kaatumien aiheuttamien virheellisten tulosten minimoimiseksi.

Sovellukset ja esimerkit

Uskottavia, mutta virheellisiä esimerkkejä

Jotkut uskottavat liitännät on tehty erittäin tarkasti, mutta ne ovat edelleen virheellisiä. Yksi tällainen esimerkki:

Tämän lausekkeen molemmat puolet eroavat toisistaan ​​vain 42. merkissä [8] .

Toinen esimerkki on, että kaikkien tekijöiden x n − 1 maksimikorkeus (kertoimien suurin absoluuttinen arvo) osoittautuu samaksi kuin n :nnen asteen ympyräpolynomin korkeus. Tietokonelaskelmat ovat osoittaneet tämän olevan totta arvoille n < 10000 ja oletettu tämän olevan totta kaikille n :ille . Kattavampi haku osoitti kuitenkin, että yhtälö ei pidä paikkaansa arvolle n = 14235, kun n:nnen asteen ympyräpolynomin korkeus on 2 ja x n − 1 -tekijän maksimikorkeus on 3 [9] .

Tutkijat

Seuraavat matemaatikot ja tietojenkäsittelytieteilijät ovat antaneet merkittävän panoksen kokeellisen matematiikan alalla:

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Halmos, 1985 , s. 321.
  2. ↑ The Quest for Pi Arkistoitu 27. syyskuuta 2011 Wayback Machinessa , kirjoittaneet David G. Bailey , Jonathan Borwein , Peter J. Borwein ja Simon Plouff .
  3. ↑ Borwein, Bailey, 2004 , s. VII .
  4. ↑ Borwein, Bailey, 2004 , s. 2.
  5. ↑ Lam, 1991 , s. 305–318.
  6. ↑ Bailey, 1997 .
  7. ↑ Mumford, sarja, Wright, 2002 , s. VIII.
  8. ↑ Bailey, Borwein, 2005 .
  9. ↑ Φ 4745 :n korkeus on 3 ja 14235 = 3 x 4745. Katso Sloan-sekvenssit A137979 ja A160338 .

Kirjallisuus

Linkit