Kytkin (algebra)

Operaattoreiden ja algebran kommutaattori , samoin kuin kvanttimekaniikassa , on operaattori . Yleensä se ei ole nolla. Kommutaattorin käsite ulottuu myös mielivaltaisiin assosiatiivisiin algebroihin (ei välttämättä operaattorialgebroihin). Kvanttimekaniikassa kvanttimekaniikassa kvanttimekaniikan nimi on jäänyt kiinni myös operaattoreiden kommutaattoriin . ${\hattu {A}}$ ${\hattu B}$ $[{\hattu A},{\hattu B}]={\hattu A}{\hattu B}-{\hattu B}{\hattu A}$

Jos kahden operaattorin kommutaattori on yhtä suuri kuin nolla, niitä kutsutaan kommutoiksi, muuten ne ovat ei-kommutoivia.

Identiteetit kommutaattorin kanssa

Antikommutatiivisuus : Tämä identiteetti tarkoittaa sitä kaikille operaattorille . $[A,B]=-[B,A].$ $[A,A]=0$ $A$

Assosiatiivisessa algebrassa myös seuraavat identiteetit ovat tosia:

$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$ . Tämä identiteetti on Leibnizin sääntö operaattorille , ja tästä syystä operaattoria kutsutaan algebran sisäiseksi derivaatioksi . Operaattorilla on samanlainen omaisuus $D_{A}=[A,\cdot ].$ $D_{A}$ ${\tilde D}_{A}=[\cdot ,A].$
Jacobi-identiteetti : Algebraa, joka täyttää Jacobi-identiteetin, kutsutaan Lie-algebraksi . Siten mistä tahansa assosiatiivisesta algebrasta voidaan saada Lie-algebra, jos määritellään kertolasku uudessa algebrassa vanhan algebran elementtien kommutaattoriksi. $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.$
$[AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0.$ Tämä identiteetti on toinen merkintä Jacobi-identiteetistä.
$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
$[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
$[AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D ]B$
$[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
$[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
$[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
$[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A], B],C]=[[A,C],[B,D]]$
$e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{ 3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \equiv e^{\operaattorinimi {ad} (A)}B.$ Tämä kaava pätee algebroissa, joissa matriisieksponentti voidaan määrittää, kuten Banach-algebrassa tai muodollisten potenssisarjojen renkaassa . Sillä on myös keskeinen rooli kvanttimekaniikassa ja kvanttikenttäteoriassa häiriöteorian rakentamisessa Heisenberg- esityksen operaattoreille ja vuorovaikutusesitykseen .
$\ln \left(e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}\right)=[A,B]+{\frac {1}{2!} [(A+B),[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left([A,[B,[B,A]]]]/2+[(A+) B ),[(A+B),[A,B]]]\oikea)+\cdots .$

Kommutaattori kvanttimekaniikassa

Kuten tiedetään, kvanttimekaniikan fysikaalinen mittaus vastaa fyysisen suuren operaattorin toimintaa järjestelmän tilavektoriin . Ns. puhtaat tilat , joissa fyysisellä suurella on tiukasti määritelty arvo, vastaavat ominaisvektoreita , kun taas suuren arvo tietyssä tilassa on puhtaan tilavektorin ominaisarvo: ${\hattu F}$ $f$ ${\hattu F}$

{\hat {F}}\psi _{i}=f\psi _{i}

Jos kaksi kvanttimekaanista suuretta ovat samanaikaisesti mitattavissa, niin puhtaissa oloissa niillä molemmilla on tietty arvo, eli suureiden operaattoreiden ominaisvektorijoukot ovat samat. Mutta sitten he matkustavat:

{\hat {F}}{\hat {G}}\psi _{i}=g{\hat {F}}\psi _{i}=gf\psi _{i}={\hat {G}}{\hattu {F}}\psi _{i}

Näin ollen ei-työmatkaoperaattorit vastaavat fyysisiä suureita, joilla ei ole samaan aikaan tiettyä arvoa. Tyypillinen esimerkki on liikemäärä-operaattorit (vauhtikomponentit ) ja vastaava koordinaatti (katso epävarmuussuhde ). ${\hat p}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x))$ ${\hat x}=x$

Luonnonsuojelulainsäädäntö

Kvanttijärjestelmän Hamiltonin ominaisarvot ovat stationaaristen tilojen energia-arvoja. Ilmeinen seuraus yllä olevasta on, että fyysinen suure, jonka operaattori kommutee Hamiltonin kanssa, voidaan mitata samanaikaisesti järjestelmän energian kanssa. Kvanttimekaniikassa energialla on kuitenkin erityinen rooli. Schrödingerin yhtälöstä

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))={\hat {H))\psi

ja operaattorin kokonaisderivaatan määritelmä ajan suhteen

{\piste {{\hattu f}}}={\hattu {{\piste f}}}

voidaan saada lauseke fyysisen suuren kokonaisaikajohdannaiselle, nimittäin:

{\piste {\hat {f))}={i \over \hbar }[{\hat {H)),{\hat {f))]+{\frac {\osittinen {\hat { f))}{\osittainen t))

Siksi, jos fyysisen suuren operaattori liikkuu Hamiltonin kanssa, tämä suure ei muutu ajan myötä . Tämä relaatio on identiteetin kvanttianalogi

{\piste {f))={\mathcal {\{}}H,f{\mathcal {\}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}

klassisesta mekaniikasta, jossa {,} on funktioiden Poisson-hakasulku . Klassisen tapauksen tapaan se ilmaisee tiettyjen symmetrioiden olemassaolon järjestelmässä, jolloin syntyy liikeintegraaleja . Se on säilymisominaisuus tietyissä avaruussymmetrioissa, joka on monien klassisten suureiden kvanttianalogien määritelmän taustalla, esimerkiksi liikemäärä määritellään suureksi, joka säilyy järjestelmän kaikkien käännösten aikana, ja kulmaliikemäärä määritellään suureksi, joka säilyy kierrosten aikana.

Jotkut kommutaatiorelaatiot

Osoittakaamme joidenkin yleisesti tavattujen kommutaattorien arvot.

{\hat r}_{i},{\hat p}_{i},{\hat L}_{i}

on sädevektorin, liikemäärän ja kulmamomentin i:nnen komponentin operaattori ; - Kronecker delta ; on ehdottoman antisymmetrinen kolmannen asteen pseudotensori .

\delta _{{ij}}

e_{{ijk}}

[{\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}

[{\hat {p)),f({\vec {r)))]=-i\hbar \nabla f

[{\hat {L}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {r}}_{k}

[{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {p}}_{k}

[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {L}}_{k}

[{\hat L}^{2},{\hat L}_{i}]=0

Normalisoidun hetken suhteet ovat yleensä välttämättömiä: $\ {\hat L}_{j}=\hbar {\hat l}_{j}$

[{\hat {l}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {r}}_{k}

[{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {p}}_{k}

[{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {l}}_{k}

[{\hat l}^{2},{\hat l}_{i}]=0

Näistä suhteista voidaan nähdä, että hiukkasen kulmamomenttia ei voida mitata samanaikaisesti sen koordinaattien tai liikemäärän kanssa. Lisäksi, lukuun ottamatta tapausta, jossa momentti on nolla, sen eri komponentit eivät ole mitattavissa samanaikaisesti. Tämä kulmamomentti eroaa olennaisesti liikemäärästä ja sädevektorista, jossa kaikki kolme komponenttia voidaan määrittää samanaikaisesti. Kulmaliikemäärää varten voit mitata vain sen projektion jollekin akselille (yleensä ) ja sen pituuden neliön. $z$

Fysikaalisten suureiden valhealgebra

Kommutaattori on Poissonin hakasulkeen kvanttianalogi klassisessa mekaniikassa . Kommutaattorioperaatio esittelee Lie-algebran rakenteen operaattoreille (tai algebran elementeille) , joten Lie-algebran antikommutatiivista kertolaskua kutsutaan myös kommutaattoriksi.

Muut kuin työmatkat

Ei-kommutoivia suureita kutsutaan suureiksi, joiden kommutaattori . $A$ $B$ $[A,B]=AB-BA\neq 0$

Kaksi fyysistä suuretta ovat samanaikaisesti mitattavissa silloin ja vain, jos niiden operaattorit liikkuvat [1] .

Antikommutaattori

Antikommutaattori on renkaan elementtien symmetrisointioperaattori , joka määrittää kertolaskujen "antikommutatiivisuuden" renkaassa:

{\näyttötyyli [x,y]_{+}:=xy+yx}

Kommutatiivinen " Jordan - kertolasku " otetaan käyttöön antikommutaattorin kautta . Clifford-algebra liittää antikommutaattorin aina luonnollisesti bilineaariseen muotoon, joka määrittelee sen.

Esimerkkejä

Kvaternionien eri kuvitteellisten yksiköiden parin antikommutaattori on nolla.
Antikommutaattoria käyttämällä määritetään Dirac-gamma- matriisit .

Kirjallisuus

Blokhintsev D. I. Kvanttimekaniikan perusteet. - 5. painos - M.: Nauka, 1976. - 664 s.
Boum A. Kvanttimekaniikka: perusteet ja sovellukset. — M.: Mir, 1990. — 720c.
Dirac P. Kvanttimekaniikan periaatteet. - 2. painos - M.: Nauka, 1979. - 480 s.
Landau L.D. , Lifshits E.M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - Painos 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa III). - ISBN 5-02-014421-5 .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 3.7. Eri fyysisten suureiden samanaikainen mittaus . Haettu 15. huhtikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 24. huhtikuuta 2016. (määrätön)