Raja ongelma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Raja-arvoongelma (raja-arvoongelma) on ongelma, jossa löydetään ratkaisu tietylle differentiaaliyhtälölle (differentiaaliyhtälöjärjestelmä), joka täyttää raja-ehdot intervallin päissä tai alueen rajalla. Hyperbolisten ja parabolisten yhtälöiden raja- arvoongelmia kutsutaan usein alkurajaksi tai sekaarvoiksi , koska ne määrittelevät paitsi rajan myös alkuehdot .

Tavalliset differentiaaliyhtälöt

N:nnen kertaluvun lineaariset yhtälöt

N:nnen kertaluvun lineaarisen yhtälön raja-arvoongelmalla on muoto

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \pisteet, m,

missä

L(y) = \sum_{\nu = 0}^{n} f_{\nu}(x) y^{(\nu)},

funktiot ja ovat jatkuvia välillä , , reunaehdot annetaan lineaarisilla muodoilla $f(x)$ $f_{\nu}(x)$ $a\leq x\leq b$ $f_n(x) \ne 0$

U_{\mu}(y) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \vasen[ \alpha_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(a) + \beta_ {\mu}^{(k)} y^{(k)}(b) \oikea], \quad \mu = 1, 2, \pisteet, m,

$\gamma_{\mu}$ annetaan numeroita. Kertoimista koostuvalla matriisilla on järjestys , kun taas reunaehdot ovat lineaarisesti riippumattomia . Jos ja , raja-arvoongelmaa kutsutaan homogeeniseksi , jos vain - puolihomogeeniseksi . [yksi] $\alpha_{\mu}, \beta_{\mu}$ $m$ $\gamma_{\mu} = 0$ $f(x) \equiv 0$ $\gamma_{\mu} = 0$

Ominaisarvoongelma

Ominaisarvot ovat niitä parametrin arvoja,joiden homogeeninen raja-arvo on ongelma $\lambda$

L(y) + \lambda g(x) y = 0, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \pisteet, m,

sillä on ei-triviaali (eli ei identtisesti nolla) ratkaisu. Ominaisuusarvojen joukkoa kutsutaan spektriksi ja vastaavia ei-triviaaleja ratkaisuja kutsutaan tämän ongelman ominaisfunktioiksi .

If on tarkastellun differentiaaliyhtälön perusratkaisujärjestelmä sellainen, että $\varphi_1(x, \lambda), \varphi_2(x, \lambda), \dots, \varphi_n(x, \lambda)$

\varphi_p^{(q)}(a, \lambda) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad q = p - 1, \\ 0, \quad q \ne p - 1. \end{array}\right. \quad p = 1, 2, \dots, n, \quad q = 0, \dots, n - 1,

silloin ominaisarvot ovat ominaisdeterminantin ( determinantin ) nollia

\Delta(\lambda) = \det [U_{\mu}(\varphi_{\nu})]

. Jos , niin ominaisarvojen joukko on enintään laskettavissa koko funktion nollien joukkona . [2]

\Delta(\lambda) \not \equiv 0

Rajaominaisuuden ongelmalle ratkaistaan seuraavat kaksi standarditehtävää:

Ongelma ominaisarvojen löytämisessä . Millä raja-arvoongelman oletuksilla sillä on ominaisarvoja? Missä tapauksessa niiden lukumäärä on ääretön? Milloin ne ovat voimassa? Mitä niiden koosta voi sanoa?
Laajentumisongelma ominaisfunktioissa . Jos ovat raja-arvotehtävän ominaisfunktiot, niin millä ehdoilla annettu funktio voidaan laajentaa konvergenttisarjaksi $u_{\nu}(x)$ $F(x)$

F(x) = \sum c_{\nu} u_{\nu}(x)

toiminnon mukaan ? [3] [4] $u_{\nu}(x)$

Erikoistapaus ominaisarvojen raja-arvoongelmasta on Sturm-Liouvillen ongelma :

\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y + \lambda \rho(x) y = 0

{\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _ {1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2} +\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}

Vihreän funktio

Lause 1. Jos homogeenisella raja -arvotehtävällä on vain triviaali (nolla) ratkaisu, niin mille tahansa janalla jatkuvalle funktiolle on olemassa ratkaisu kaavan antamaan puolihomogeeniseen raja-arvotehtävään $L(y) = 0, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \pisteet, n$ $f(x)$ $[a,b]$ $L(y) = f, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \pisteet, n$

y(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi,

missä on vihreän homogeenisen raja-arvoongelman funktio. [5] $G(x, \xi)$

Operaattoreiden teorian näkökulmasta raja-arvoongelma määrittelee lineaarisen differentiaalioperaattorin , jonka määritelmäalue koostuu rajaehdot täyttävien ja säännön mukaan toimivien funktioiden aikavälillä jatkuvasti differentioituvista ajoista . Lauseen 1 ehdoissa tällä operaattorilla on käänteisoperaattori, joka on integraalinen operaattori ytimen kanssa . $n$ $[a,b]$ $y$ $U_{\mu}(y) = 0$ $L(y)$ $G(x, \xi)$

Homogeenisen raja-arvon ongelman Greenin funktio määritellään funktioksi, joka täyttää seuraavat ehdot: $G(x, \xi)$

$G(x, \xi)$ on jatkuva ja sillä on jatkuvia derivaattoja suhteessa -: nnen kertaluvun kaikkiin arvoihin ja väliin . $x$ $(n-2)$ $x$ $\xi$ $[a,b]$
Jokaista segmentin kiinteää varten funktiolla on jatkuvat derivaatat -th ja -th järjestyksessä suhteessa kunkin väliin ja , ja derivaatta -: nnen kertaluvun on hyppy . $\xi$ $[a,b]$ $G(x, \xi)$ $(n-1)$ $n$ $x$ $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $(n-1)$ $x = \xi$ $\frac{1}{f_n(x)}$
Kullakin aikavälillä ja täyttää yhtälön ja reunaehdot funktiona . $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $G(x, \xi)$ $x$ $L(G) = 0$ $U_{\mu}(G) = 0, \, \mu = 1, 2, \pisteet, n$

Lause 2. Jos homogeenisella raja-arvotehtävällä on vain triviaali (nolla) ratkaisu, niin sillä on ainutlaatuinen Greenin funktio. [6]

Greenin funktiota käyttämällä voidaan myös ratkaista epähomogeeninen raja-arvoongelma

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \pisteet, n.

Ratkaisu näyttää

y = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d\xi + \sum_{k = 1}^n \gamma_k \psi_k(x),

missä ovat ratkaisut raja-arvoongelmiin $\psi_k(x)$

L(y) = 0, \quad U_k(y) = 1, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu \ne k, \quad \mu = 1, 2, \pisteet, n .

[7]

Raja-arvoongelma parametrin kanssa

L(y) = \lambda y + f(x), \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \pisteet, n,

on ekvivalentti toisen tyyppisen Fredholmin integraaliyhtälön kanssa :

y(x) = \lambda \int_a^b G(x, \xi) y(\xi) d\xi + g(x),

missä

g(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi.

Vastaavan homogeenisen raja-arvon ongelman ominaisarvot ja ominaisfunktiot ovat yhtäpitäviä ytimen tunnuslukujen ja ominaisfunktioiden kanssa . [kahdeksan] $G(x, \xi)$

Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden järjestelmät

Raja-arvotehtävä on löytää funktiojärjestelmä, joka täyttää lineaarisen differentiaaliyhtälön järjestelmän $u_1(x), u_2(x), \pisteet, u_n(x)$

u'_{\mu} = \sum_{\nu = 1}^m f_{\mu, \nu}(x) u_{\nu} + f_{\mu}(x), \quad \mu = 1 , 2, \pisteet, m,

ja rajaehdot

U_{\mu}(u) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \pisteet, n,

missä segmentillä jatkuvat funktiot , $f_{\mu}, f_{\mu, \nu}$ $a \le x \le b$

U_{\mu}(u) = \sum_{k = 1}^n \vasen[ \alpha_{\mu, k} u_k(a) + \beta_{\mu, k} u_k(b)\oikea],

matriisi

(\alpha ,\beta )=\left({\begin{array}{llllll}\alpha _{1,1}&\dots &\alpha _{1,n}&\beta _{1, 1}&\pisteet &\beta _{1,n}\\\pisteet &\pisteet &\pisteet &\pisteet &\pisteet &\pisteet \\\alpha _{n,1}&\pisteet &\alpha _ {n,n}&\beta _{n,1}&\pisteet &\beta _{n,n}\\\end{array}}\right)

on sijoitus , niille annetaan numeroita. [9] $n$ $\gamma_{\mu}$

Numeeriset ratkaisumenetelmät

Suurin osa numeerisista menetelmistä raja-arvoongelmien ratkaisemiseksi on kehitetty toisen kertaluvun yhtälöitä varten.

Ampumistapa (nollaus) . Cauchyn ongelma on ratkaistu , jossa yksi alkuehdoista on yhtäpitävä rajaehdon kanssa ja toinen riippuu parametrista. Parametrin arvo valitaan siten, että ratkaisu täyttää toisen rajaehdon. Voit valita parametrin esimerkiksi puolittamismenetelmällä tai Newtonin menetelmällä . [kymmenen]
Rinnakkaispolttomenetelmä . Se on yleistys ammuntamenetelmästä.
Äärillisen eron menetelmä . Rakennetaan yhtälön ja reunaehtojen äärellisen eron approksimaatio ja ratkaistaan lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä . [11] [12]
Variaatiomenetelmät ( Ritzin menetelmä , Galerkinin menetelmä ). [13] [14] [15]
Integraaliyhtälöiden menetelmä . Raja -arvotehtävä korvataan Greenin funktiolla integraaliyhtälöllä , joka ratkaistaan kvadratuurikaavojen avulla . [16]
superpositiomenetelmä . Ratkaisu raja-arvoongelmaan löytyy useiden Cauchyn ongelmien ratkaisujen lineaarisesta yhdistelmästä . [17]
Pyyhkäisymenetelmä (ei pidä sekoittaa pyyhkäisymenetelmään lineaaristen algebrallisten yhtälöiden kolmiulotteisten järjestelmien ratkaisemiseksi ) . Raja-arvoongelman ratkaisu

y'' = p(x) y + q(x), \quad y'(a) = \alpha_0 y(a) + \alpha_1, \quad y'(b) = \beta_0 y(b) + \beta_1

täyttää differentiaaliyhtälön

y'(x) = \alpha_0(x) y(x) + \alpha_1(x) \quad (*)

jossa funktiot löytyvät ratkaisuina Cauchyn ongelmaan $\alpha_0(x), \alpha_1(x)$

\alpha'_0(x) + \alpha_0^2(x) = p(x), \quad \alpha_0(a) = \alpha_0,

\alpha'_1(x) + \alpha_0(x) \alpha_1(x) = q(x), \quad \alpha_1(a) = \alpha_1.

Sitten se löydetään ratkaisuna yhtälöön (*), joka täyttää alkuehdon . [18] [19] $y(x)$ $y'(b) = \alpha_0(b) y(b) + \alpha_1(b)$

Sovellus

Elastisen tangon pituus- ja vääntövärähtelyongelmat johtavat raja-arvoongelmiin toisen kertaluvun yhtälöön, kun taas tangon poikittaisvärähtelyjen ongelma johtaa neljännen kertaluvun yhtälöön. [1] Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen Fourier - menetelmällä johtaa ongelmaan raja-arvoongelman ominaisarvojen ja ominaisfunktioiden löytämisessä sekä mielivaltaisen funktion laajentamisessa sarjaksi ominaisfunktioiden suhteen. [kaksikymmentä]

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Merkintä

Antaa olla rajattu verkkotunnus paloittain tasaisella rajalla , olla normaalivektori alueen ulkopuolelle suunnatun rajan , on johdannainen pitkin normaalia, . Toiminnot täyttävät ehdot: $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $S$ $n$ $S$ $G$ $\frac{\partial u}{\partial n}$ $Q_{\infty} = G \kertaa (0, \infty)$ $p, q, \alpha, \beta, \rho$

p \in C^1(\bar G), \quad q \in C(\bar G), \quad p(x) > 0, \quad q(x) \ge 0, \quad x \in G,

\alpha \in C(S), \quad \beta \in C(S), \quad \alpha(x) \ge 0, \quad \beta(x) \ge 0, \quad \alpha(x) + \beta(x) > 0, \quad x \in S,

\rho \in C(\bar G), \quad \rho(x) > 0, \quad x \in \bar G.

Tässä on toimialueen sulkeminen, se on joukko funktioita, jotka ovat jatkuvassa muodossa , ja joukko funktioita, jotka ovat jatkuvasti differentioituvia . $\bar G = G \cup S$ $G$ $C(\bar G)$ $\baari G$ $C^k(\bar G)$ $k$ $\baari G$

Hyperbolisen tyypin yhtälöt

Sekoitettu (raja)ongelma hyperbolisen tyyppiselle yhtälölle on ongelma löytää yhtälön täyttävä funktio $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \ quad (x, t) \in Q_{\infty},

alkuolosuhteet

u_{|t = 0} = u_0(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}_{|t = 0} = u_1(x), \quad x \in \bar G,

ja rajaehto

\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} |_{S} = 0.

Jotta ratkaisu olisi olemassa, on välttämätöntä, että sileysehdot täyttyvät

F \in C(Q_\infty), \quad u_0 \in C^1(\bar G), \quad u_1 \in C(\bar G)

ja johdonmukaisuusehto

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n} = 0

Sekaongelman ratkaisu on ainutlaatuinen ja riippuu jatkuvasti . [21] $u_0, u_1, F$

Parabolisen tyypin yhtälöt

Seka- (raja)tehtävä paraboliselle yhtälölle on löytää funktio , joka täyttää yhtälön $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty}), \, \mbox{grad}_x\, u \in C(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\partial u}{\partial t} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \quad (x, t) \in Q_{\infty},

alkutila

u_{t = 0} = u_0(x), \quad x \in \bar G,

ja rajaehto

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = v(x, t), \quad (x, t) \in S \times [0, \infty).

Jotta ratkaisu olisi olemassa, seuraavat sileysehdot ovat välttämättömiä

F \in C(Q_{\infty}, \quad u_0 \in C(\bar G), \quad v \in C(S \times [0, \infty)),

ja johdonmukaisuusehto

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n}|_S = v(x, 0).

Sekaongelman ratkaisu on ainutlaatuinen ja riippuu jatkuvasti . [22] $F, u_0, v$

Elliptiset tyyppiyhtälöt

Tutkimme seuraavia kolmiulotteisen Laplacen yhtälön raja-arvoongelmia

\Delta u=0

Olkoon alue sellainen, että . $G \in \mathbb{R}^3$ $G_1 = \mathbb{R}^3 \kenoviiva G$

Dirichletin sisäinen ongelma : etsi funktio , joka on alueella harmoninen ja ottaa rajalla annetut ( jatkuvat ) arvot . $G$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_0^-$
Ulkoinen Dirichlet-ongelma : etsi alueella harmoninen funktio , joka ottaa annetut (jatkuvat) arvot ja katoaa äärettömyyteen. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $u_0^+$
Neumannin sisäinen ongelma : etsi funktio , joka on harmoninen alueella ja jolla on säännöllinen normaali derivaatta tietyllä (jatkuvalla) . $G$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_1^-$
Ulompi Neumann -tehtävä : etsi alueella harmoninen funktio , jolla on annettu (jatkuva) säännöllinen normaaliderivaatta ja joka katoaa äärettömässä. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $u_1^+$

Samanlaisia raja-arvoongelmia esitetään Poissonin yhtälölle :

\Delta u = -f

Sisäisten ja ulkoisten Dirichlet-ongelmien ratkaisu riippuu yksilöllisesti ja jatkuvasti rajatiedoista. Sisäisen Neumann-ongelman ratkaisu määräytyy mielivaltaiseen lisäainevakioon asti. Ulkoisen Neumannin ongelman ratkaisu on ainutlaatuinen. [23]

Ratkaisumenetelmät

Muuttujien erottelumenetelmä [24] [25]
Etenevä aaltomenetelmä ( hyperbolisen tyyppisille yhtälöille ) [26]
Greenin funktiomenetelmä ( elliptisille yhtälöille ) [27]
Eromenetelmät . [28]
Vaihtelevat menetelmät . [29]
Elementtimenetelmä .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 187.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 193.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , osa 2, luku I, §2.
↑ Naimark M. A. Lineaariset differentiaalioperaattorit, 1969 , osa yksi, luvut I, II.
↑ Naimark M. A. Lineaariset differentiaalioperaattorit, 1969 , s. 40.
↑ Naimark M. A. Lineaariset differentiaalioperaattorit, 1969 , s. 38-39.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 190.
↑ Naimark M. A. Lineaariset differentiaalioperaattorit, 1969 , s. 44.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 249.
↑ Kalitkin N. N. Numeeriset menetelmät, 1978 , s. 262.
↑ Kalitkin N. N. Numeeriset menetelmät, 1978 , s. 268.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Laskennalliset menetelmät, 1959 , s. 372.
↑ Kalitkin N. N. Numeeriset menetelmät, 1978 , s. 276.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Laskennalliset menetelmät, 1959 , s. 391.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 222.
↑ Na Ts. Laskennalliset menetelmät sovellettujen raja-arvoongelmien ratkaisemiseksi, 1982 , luku 12.
↑ Na Ts. Laskennalliset menetelmät sovellettujen raja-arvoongelmien ratkaisemiseksi, 1982 , luku 2.
↑ Berezin I. S., Zhidkov N. P. Computational Method, 1959 , luku 9, § 9.
↑ Na Ts. Laskennalliset menetelmät sovellettujen rajaongelmien ratkaisemiseksi, 1982 , luku 3.
↑ Naimark M. A. Lineaariset differentiaalioperaattorit, 1969 , s. 88.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 2004 , §6.2.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 2004 , §6.3.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 2004 , §5.6.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 2004 .
↑ Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 1999 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 1999 , s. 70.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 2004 , §5.7.
↑ Samarsky A. A. Numeeriset menetelmät, 1989 , osa III.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Computational Method, 1959 , luku 10, §9.

Kirjallisuus

Tavalliset differentiaaliyhtälöt

Kamke E. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden käsikirja. Per. sen kanssa .. - 4. painos, korjattu .. - M . : Nauka, Ch. toim. fysiikka ja matematiikka lit., 1971. - 576 s.
Naimark M. A. Lineaariset differentiaalioperaattorit. - M . : Nauka, Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1969.

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matemaattisen fysiikan yhtälöt. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt: Oppikirja .. - 6. painos, Rev. ja muita .. - M . : Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1999. - 798 s. — ISBN 5-211-04138-0 .

Numeeriset menetelmät

Na Ts Laskennalliset menetelmät sovellettujen rajaongelmien ratkaisemiseksi. Per. englannista - M . : Mir, 1982. - 286 s.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Laskennalliset menetelmät. Osa II. - M . : Valtio. Fysiikan ja matematiikan kustantaja, 1959.
Kalitkin N. N. Numeeriset menetelmät. - M .: Nauka, 1978.
Gulin A. V. , Samarsky A. A. Numeeriset menetelmät: oppikirja yliopistoille. - M . : Tiede, ch. toim. Fys.-Math. lit., 1989. - 432 s. — ISBN 5-02-013996-3 .