Numerosarja

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24.9.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Numeerinen sekvenssi (aiemmin venäjänkielisessä matemaattisessa kirjallisuudessa oli termivariantti [1] [2] , joka kuului Sh. Merelle [ 1] ) on numerosarja .

Numeeriset sekvenssit ovat yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä tarkastelukohteista .

Määritelmä

Antaa olla joko joukko reaalilukuja tai joukko kompleksilukuja . Tällöin joukon elementtijonoa kutsutaan numeeriseksi sekvenssiksi . $X$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $(x_{n})_{{n=1}}^{{\infty }}$ $X$

Esimerkkejä

Funktio on ääretön kokonaislukujen sarja . Tämän sarjan elementeillä ensimmäisestä alkaen on muoto . $\left((-1)^{n}\oikea)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\langle -1,1,-1,1,-1,\ldots \rangle$
Funktio on rationaalilukujen ääretön sarja . Tämän sarjan elementeillä ensimmäisestä alkaen on muoto . $(1/n)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\langle 1,1/2,1/3,1/4,1/5,\ldots \rangle$

Toiminnot sekvensseillä

Kaikkien joukon elementtijonojen joukolle voidaan määrittää aritmeettisia ja muita operaatioita , jos niitä on määritelty joukossa . Tällaiset toiminnot määritellään yleensä luonnollisella tavalla, eli elementti kerrallaan. $X$ $X$

Määritetään -ary -toiminto joukkoon : $X$ $N$ $f$

f\colon X^{N}\rightarrow X

Sitten elementeille , , …, joukon kaikkien elementtijonojen joukolle, toiminto määritellään seuraavasti: $x_{1}=(x_{{1n)))_{{n=1}}^{\infty }$ $x_{2}=(x_{{2n)))_{{n=1}}^{\infty }$ $x_{N}=(x_{{Nn)))_{{n=1}}^{\infty }$ $X$ $f$

f\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}\right)=(f\left(x_{{1n}},x_{{2n}},\cdots ,x_{{ Nn}}\oikea))_{{n=1}}^{\infty }

Esimerkiksi näin määritellään aritmeettiset operaatiot numeerisille sarjoille.

Numerojonojen summa onsellainen lukujono,että $(x_{n})$ $(y_{n})$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}+y_{n}$

Numeeristen sekvenssien ero onsellainen numeerinen sekvenssi, että. $(x_{n})$ $(y_{n})$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}-y_{n}$

Numeeristen sekvenssien tulosonnumeerinen sekvenssisellainen, että. $x_{n}$ $y_{n}$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}$

Yksityistä numerosarjaaja numerosarjaa, jonka kaikki elementit eivät olenollia, kutsutaan numerosarjaksi. Jos sekvenssissä on edelleen nolla - elementti kohdassa,niin tällaisella sekvenssillä jaon tulos voidaan silti määritellä sekvenssiksi. $x_{n}$ $y_{n}$ $z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{{n=1}}^{\infty }$ $y_{n}$ $k\neq 1$ $z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{{n=1}}^{{k-1}}$

Tietysti aritmeettisia operaatioita voidaan määrittää ei vain numeeristen sekvenssien joukolle, vaan myös mille tahansa joukkoelementtien sarjoille, joille aritmeettiset operaatiot on määritelty, olivatpa ne kenttiä tai jopa renkaita .

Jatkojaksot

Jakson osasekvenssi on sekvenssi, jossa on kasvava luonnollisten lukujen joukon elementtien sarja. $(x_{n})$ $(x_{{n_{k}}})$ $(n_{k})$

Toisin sanoen osasekvenssi saadaan sekvenssistä poistamalla äärellinen tai laskettava määrä elementtejä.

Esimerkkejä

Alkulukujen sarja on luonnollisten lukujen sarjan osajono .
Luonnollisten lukujen sarja, jotka ovat luvun 12 kerrannaisia, on parillisten luonnollisten lukujen sarjan osajono.

Ominaisuudet

Jokainen sekvenssi on oma osasekvenssinsä.
Kaikille jatkojaksoille on totta, että . $(x_{{k_{n}}})$ $\forall n\in \mathbb{N} \colon k_{n}\geqslant n$
Konvergentin sekvenssin osasekvenssi konvergoi samaan rajaan kuin alkuperäinen sekvenssi.
Jos jonkin alkuperäisen sekvenssin kaikki osasekvenssit konvergoivat, niin niiden rajat ovat yhtä suuret.
Mikä tahansa äärettömän suuren sekvenssin osasekvenssi on myös äärettömän suuri.
Mistä tahansa rajoittamattomasta numerosarjasta voidaan valita äärettömän suuri osajono, jonka kaikilla elementeillä on tietty merkki.
Mistä tahansa numeerisesta sekvenssistä voidaan valita joko suppeneva osajono tai äärettömän suuri osajono, jonka kaikilla elementeillä on tietty etumerkki.

Jakson rajapiste

Jakson rajapiste on piste missä tahansa naapurustossa, jonka sekvenssissä on äärettömän monta elementtiä. Suppeneville numeerisille sarjoille rajapiste on sama kuin raja .

Sekvenssirajoitus

Jakson raja on objekti, jota sekvenssin jäsenet lähestyvät luvun kasvaessa. Näin ollen mielivaltaisessa topologisessa avaruudessa sekvenssin raja on elementti, jonka missä tahansa naapurustossa ovat kaikki sekvenssin jäsenet, alkaen jostain. Erityisesti numeerisissa sarjoissa raja on luku missä tahansa naapurustossa, jonka kaikki sekvenssin jäsenet sijaitsevat jostakin yhdestä alkaen.

Sekvenssin osaraja on yhden sen osasekvenssin raja. Suppenevilla numeerisilla sarjoilla se on aina sama kuin tavallinen raja.

Jakson yläraja on sekvenssin korkein rajapiste.

Jakson alaraja on sekvenssin pienin rajapiste.

Jonkinlaiset sekvenssit

Kiinteä sekvenssi on sekvenssi, jossa kaikki jäsenet joistakin alkaen ovat samanarvoisia. $(x_{n})$ paikallaan . $\Leftrightarrow \left(\exists N\in \mathbb {N} ~\forall i,j\in \mathbb {N} \colon \left(i\geqslant N\right)\land \left(j\ geqslant N\right)\Rightarrow \left(x_{i}=x_{j}\right)\right)$

Rajoitetut ja rajoittamattomat sekvenssit

Olettaen jonon elementtijoukon lineaarista järjestystä voidaan ottaa käyttöön rajattujen ja rajoittamattomien sekvenssien käsitteet . $X$

Rajoitettu sarja on joukon elementtien sarja, jonka kaikki jäsenet eivät ylitä jotakin tämän joukon alkiota. Tätä elementtiä kutsutaan annetun sekvenssin ylärajaksi . $X$ $(x_{n})$ rajoittuu päälle . $\vasen oikea nuoli \exists M\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}\leqslant M$
Alla oleva sekvenssi on joukon elementtien sarja, jolle tässä joukossa on alkio, joka ei ylitä kaikkia sen jäseniä. Tätä elementtiä kutsutaan annetun sekvenssin infimumiksi . $X$ $(x_{n})$ rajattu alhaalta . $\vasen oikea nuoli \exists m\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}\geqslant m$
Rajoitettu sarja ( rajoitettu molemmilta puolilta ) on sekvenssi, joka on rajoitettu sekä ylä- että alapuolelta. $(x_{n})$ rajoitettu . $\vasen oikea nuoli \exists m,M\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon m\leqslant x_{n}\leqslant M$
Rajoittamaton sarja on sekvenssi, jota ei ole rajoitettu. $(x_{n})$ rajoittamaton . $\Leftrightarrow \forall m,M\in X~\exists n\in \mathbb {N} \colon \left(x_{n}<m\right)\lor \left(x_{n}>M\ oikein)$

Numeerisen sekvenssin rajallisuuden kriteeri

Numeerinen sarja on rajoitettu, jos ja vain jos on olemassa sellainen luku, että sekvenssin kaikkien jäsenten absoluuttiset arvot eivät ylitä sitä.

(x_{n})

rajoitettu .

\vasen oikea nuoli \exists A\in \mathbb{R} ~\forall n\in \mathbb{N} \colon |x_{n}|\leqslant A

Rajattujen sekvenssien ominaisuudet

Ylärajaisella numeerisella sekvenssillä on äärettömän monta ylärajaa.
Alhaalta rajatulla numeerisella sekvenssillä on äärettömän monta alarajaa.
Rajatulla sekvenssillä on vähintään yksi rajapiste .
Rajatulla sekvenssillä on ylä- ja alaraja .
Jokaiselle etukäteen otetulle positiiviselle luvulle kaikki rajoitetun numeerisen sekvenssin elementit , alkaen jostain numerosta riippuen , ovat intervallin sisällä . $\varepsilon$ $\left(x_{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\varepsilon$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}+\varepsilon \right)$
Jos vain äärellinen määrä rajoitetun numeerisen sekvenssin alkioita on intervallin ulkopuolella , väli sisältyy väliin . $\vasen(a,b\oikea)$ $\left(x_{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n},\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}\right)$ $\vasen(a,b\oikea)$
Bolzano- Weierstrassin lause on pätevä . Mistä tahansa rajoitetusta sekvenssistä voidaan erottaa konvergentti osasekvenssi.

Äärettömän pienet ja äärettömät sekvenssit

Äärettömän pieni jono on sekvenssi, jonka raja on nolla .
Äärettömän suuri sekvenssi on sekvenssi, jonka rajana on ääretön .

Infinitesimaalien sekvenssien ominaisuudet

Äärettömän pienillä sarjoilla on useita merkittäviä ominaisuuksia, joita käytetään aktiivisesti laskennassa sekä siihen liittyvillä ja yleisemmillä tieteenaloilla.

Kahden äärettömän pienen sekvenssin summa on myös itse äärettömän pieni sekvenssi.
Kahden äärettömän pienen sekvenssin ero on myös itse äärettömän pieni sekvenssi.
Minkä tahansa äärellisen määrän äärettömän pienten sekvenssien algebrallinen summa on myös itse äärettömän pieni jono.
Rajoitetun sekvenssin ja äärettömän pienen sekvenssin tulo on äärettömän pieni sekvenssi.
Minkä tahansa äärellisen määrän äärettömän pienimuotoisten sekvenssien tulo on äärettömän pieni sekvenssi.
Mikä tahansa äärettömän pieni sekvenssi on rajoitettu.
Jos stationäärinen sekvenssi on äärettömän pieni, niin kaikki sen alkiot joistakin alkaen ovat nolla.
Jos koko äärettömän pieni sekvenssi koostuu identtisistä alkioista, niin nämä alkiot ovat nollia.
Jos on äärettömän suuri jono, joka ei sisällä nollaa termiä, niin on olemassa sekvenssi , joka on äärettömän pieni. Jos se sisältää edelleen nolla alkiota, sekvenssi voidaan silti määritellä jostain luvusta alkaen ja silti olla äärettömän pieni. $(x_{n})$ $(1/x_{n})$ $(x_{n})$ $(1/x_{n})$ $n$
Jos on äärettömän pieni jono, joka ei sisällä nolla termiä, niin on olemassa sekvenssi , joka on äärettömän suuri. Jos se sisältää edelleen nolla alkiota, sekvenssi voidaan silti määritellä jostain luvusta alkaen , ja se on silti äärettömän suuri. $(\alpha _{n})$ $(1/\alpha _{n})$ $(\alpha _{n})$ $(1/\alpha _{n})$ $n$

Konvergentti ja divergentti sekvenssit

Konvergenttisekvenssi on joukon elementtien sarja, jolla on raja tässä joukossa. $X$
Divergenttisekvenssi on sekvenssi, joka ei ole konvergentti.

Konvergenttien sekvenssien ominaisuudet

Jokainen äärettömän pieni sekvenssi on konvergentti. Sen raja on nolla .
Minkä tahansa äärellisen määrän elementtejä poistaminen äärettömästä sekvenssistä ei vaikuta tämän sekvenssin konvergenssiin tai rajaan.
Kaikilla Hausdorffin avaruuden elementtien konvergenssilla on vain yksi raja.
Mikä tahansa suppeneva sekvenssi on rajoitettu. Jokainen rajoitettu sekvenssi ei kuitenkaan konvergoi.
Sekvenssi konvergoi silloin ja vain, jos se on rajoitettu ja sen ylä- ja alarajat yhtyvät.
Jos jono konvergoi, mutta ei ole äärettömän pieni, niin jostain luvusta alkaen määritellään jono , joka on rajoitettu. $(x_{n})$ $(1/x_{n})$
Suppenevien sekvenssien summa on myös konvergenttisekvenssi.
Konvergenttien sekvenssien ero on myös konvergenttisekvenssi.
Konvergenttien sekvenssien tulo on myös konvergenttisekvenssi.
Kahden konvergentin sekvenssin osamäärä määritellään jostain alkiosta alkaen, ellei toinen sekvenssi ole äärettömän pieni. Jos kahden konvergentin sekvenssin osamäärä on määritelty, se on suppeneva sekvenssi.
Jos suppeneva sekvenssi on rajattu alle, mikään sen alarajoista ei ylitä rajaansa.
Jos konvergentti jono on rajattu ylhäältä, niin sen raja ei ylitä yhtään sen ylärajaa.
Jos jollakin luvulla yhden suppenevan sekvenssin ehdot eivät ylitä toisen suppenevan sekvenssin termejä, niin ensimmäisen sekvenssin raja ei myöskään ylitä toisen rajaa.
Jos tietyn sekvenssin kaikki alkiot, alkaen tietystä luvusta, sijaitsevat kahden muun sekvenssin vastaavien alkioiden välisellä segmentillä, jotka konvergoivat samaan rajaan, niin myös tämä sarja konvergoi samaan rajaan.
Mikä tahansa konvergentti sekvenssi voidaan esittää muodossa , jossa on sekvenssin raja ja se on jokin äärettömän pieni sekvenssi. $(x_{n})$ $(x_{n})=(a+\alpha _{n})$ $a$ $(x_{n})$ $\alpha_{n}$
Jokainen konvergentti sarja on perustavanlaatuinen . Lisäksi perustavanlaatuinen numeerinen sekvenssi konvergoi aina (samoin kuin mikä tahansa koko avaruuden elementtien perussekvenssi).

Monotoniset sekvenssit

Monotoninen sekvenssi on ei-nouseva tai ei-laskeva sekvenssi. Oletetaan, että joukossa, josta sekvenssin elementit on otettu, otetaan käyttöön järjestyssuhde .

Perussekvenssit

Perussekvenssi ( itsekonvergoiva sekvenssi , Cauchy-sekvenssi ) on metrisen avaruuden elementtien sarja , jossa millä tahansa ennalta määrätyllä etäisyydellä on sellainen elementti, jonka etäisyys mihinkään sitä seuraavaan elementtiin ei ylitä annettu yksi. Numeerisissa sarjoissa perus- ja konvergenttien sekvenssien käsitteet ovat samanarvoisia, mutta yleisessä tapauksessa näin ei ole.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kulku / Toim. 7., stereotyyppinen. - M . : Nauka , 1969. - T. 1. - S. 44. - 608 s.
↑ Mikisha A. M., Orlov V. B. Selittävä matemaattinen sanakirja. Perustermit: noin 2500 termiä / Ed. Ph.D. A.P. Savina. - M . : Venäjän kieli , 1989. - S. 16 . — 244 s. — ISBN 5-200-01253-8 .

Katso myös

Encyclopedia of Integer Sequences

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi