Omega (pysyvä)

Omega-vakio on matemaattinen vakio , joka määritellään ainoaksi reaaliluvuksi , joka täyttää yhtälön

\Omega e^{\Omega }=1

Tämä arvo on , missä on Lambert W-funktio . Nimi tulee Lambertin W-funktion vaihtoehtoisesta nimestä, omega-funktiosta. Numeerinen arvo : $W(1)$ $W$ $\Omega$

\Omega =0,567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\,355\,549\,753\,815\,787\ ,186\,512\,508\,135\,131\,079\ldots

(sekvenssi A030178 OEIS : ssä )

{\frac {1}{\Omega }}=1,763\,222\,834\,351\,896\,710\,225\,201\,776\,951\,707\,080\ ,436\,017\,986\,667\,473\,634\,570\,456\,905\ldots

(sekvenssi A030797 OEIS : ssä )

Ominaisuudet

Esitys näytön kiinteänä pisteenä

Määrittävä suhde voidaan ilmaista esimerkiksi muodossa

\ln {\biggl (}{\frac {1}{\Omega }}{\biggr )}=\Omega

tai

-\ln(\Omega )=\Omega

tai

e^{-\Omega }=\Omega

Laskenta

Voidaan laskea iteratiivisesti aloittamalla alkuperäisestä arvauksesta ja ottamalla huomioon järjestyksen $\Omega$ ${\displaystyle \Omega _{0))$

\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n))

Tämä sekvenssi konvergoi, kun n menee äärettömään. Tämä johtuu siitä , että se on funktion houkutteleva kiinteä piste . On kuitenkin paljon tehokkaampaa käyttää toistuvuussuhdetta $\Omega$ $\Omega$ ${\displaystyle e^{-x))$

\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}

koska toiminto

{\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x))))

sen lisäksi, että sillä on sama kiinteä piste, sillä on myös derivaatta, joka katoaa sinne. Tämä takaa neliöllisen konvergenssin; eli oikeiden numeroiden määrä suunnilleen kaksinkertaistuu jokaisella iteraatiolla.

Halleyn menetelmää käyttämällä voidaan likiarvo tehdä kuutiokonvergenssilla: $\Omega$

\Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j))-1}{e^{\Omega _{ j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{ 2\Omega _{j}+2}}}}}

Integraaliesitykset

Viktor Adamczykin henkilöllisyys:

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac { 1}{1+\Omega}}

Toinen I. Mesoon liittyvä suhde [1] [2] :

\Omega ={\frac {1}{\pi }}\operaattorinimi {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it} }-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt

\Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{ t\cott}\right)dt

Transcendence

Vakio on transsendentti . Tämä voidaan nähdä suorana seurauksena Lindemann-Weierstrassin lauseesta . Oletetaan, että se on algebrallinen. Lauseen mukaan se on transsendenttinen, mutta ; ristiriita. Siksi sen on oltava transsendenttinen luku. $\Omega$ $\Omega$ ${\displaystyle e^{-\Omega ))$ ${\displaystyle \Omega =e^{-\Omega ))$ $\Omega$

Katso myös

Lambertin W-funktio

Muistiinpanot

↑ István, Mező Integraalinen esitys Lambertin päähaaralle W - funktiolle . Haettu 7. marraskuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 28. joulukuuta 2016. (määrätön)
↑ Mező, István (2020), Lambert W -funktion integraalinen esitys, arΧiv : 2012.02480 . .

Lähteet

Weisstein, Eric W. Omega Constant (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Omega-vakio (1 000 000 numeroa) , < http://ankokudan.org/d/d.htm?mathlistindex-e.html > . Haettu 25. joulukuuta 2017.

Numerot oikeilla nimillä

Matemaattiset vakiot

Algebrallinen

Transsendenttinen ,
luultavasti transsendenttinen

Tuhannen astetta

Vanhat venäläiset numerot

Muut kymmenen tehot

Kahdentoista voimat

Muu kokonaisuus

Muut numerot

kuvitteellinen yksikkö