Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä

Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä - suoraviivainen koordinaattijärjestelmä, jossa on keskenään kohtisuorat akselit tasossa tai avaruudessa. Yksinkertaisin ja siksi yleisimmin käytetty koordinaattijärjestelmä. Se yleistyy erittäin helposti ja suoraan minkä tahansa ulottuvuuden tiloihin, mikä myös edistää sen laajaa käyttöä.

Aiheeseen liittyvät termit: Descartesiaa kutsutaan yleisesti suorakaiteen muotoiseksi koordinaattijärjestelmäksi, jossa on samat asteikot akseleilla (nimetty René Descartesin mukaan), ja yleistä karteesista koordinaattijärjestelmää kutsutaan affiiniksi koordinaattijärjestelmäksi (ei välttämättä suorakaiteen muotoiseksi).

Historia

René Descartes oli ensimmäinen , joka otti käyttöön suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän Geometriassa vuonna 1637 . Siksi suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää kutsutaan myös - suorakulmainen koordinaattijärjestelmä . Geometristen kohteiden kuvaamisen koordinaattimenetelmä loi pohjan analyyttiselle geometrialle. Pierre Fermat osallistui myös koordinaattimenetelmän kehittämiseen , mutta hänen työnsä julkaistiin ensimmäisen kerran hänen kuolemansa jälkeen [1] . Descartes ja Fermat käyttivät koordinaattimenetelmää vain tasossa. Ranskalainen pappi Nicholas Oresme käytti karteesisia koordinaatteja muistuttavia rakenteita kauan ennen Descartesin ja Fermat'n aikaa [2] .

Karteesisen koordinaatiston kehittämisellä olisi tärkeä rooli Isaac Newtonin ja Leibnizin [3] laskennan kehittämisessä . Tason kahden koordinaatin kuvaus yleistettiin myöhemmin käsitteeksi vektoriavaruudet [4] .

Kolmiulotteisen avaruuden koordinaattimenetelmää käytti ensimmäisen kerran Leonhard Euler jo 1700-luvulla. Orttien käyttö näyttää palaavan Hamiltoniin ja Maxwelliin .

Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä tasossa

Suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasossa muodostuu kahdesta keskenään kohtisuorasta koordinaattiakselista ja . Koordinaattiakselit leikkaavat pisteessä, jota kutsutaan origoksi , ja jokaisella akselilla on positiivinen suunta. $X'X$ $Y'Y$ $O$

Pisteen sijainti tasossa määräytyy kahdella koordinaatilla ja . Koordinaatti on yhtä suuri kuin janan pituus , koordinaatti on janan pituus valituissa yksiköissä. Segmentit ja määritetään viivoilla, jotka on vedetty akselien ja vastaavasti samansuuntaisesta pisteestä. $A$ $x$ $y$ $x$ $OB$ $y$ $OC$ $OB$ $OC$ $A$ $Y'Y$ $X'X$

Tässä tapauksessa koordinaatille annetaan miinusmerkki, jos piste sijaitsee säteellä (eikä säteellä , kuten kuvassa). Koordinaatille annetaan miinusmerkki, jos piste sijaitsee säteen päällä . Siten ja ovat koordinaattiakselien negatiiviset suunnat (jokaista koordinaattiakselia käsitellään todellisena akselina ). $x$ $B$ $HÄRKÄ'$ $HÄRKÄ$ $y$ $C$ $OY'$ $HÄRKÄ'$ $OY'$

Akselia kutsutaan abskissa - akseliksi ( lat. abscissus - lit. " leikattu pois, erotettu " [5] ), ja akselia kutsutaan ordinaatta-akseliksi ( lat. ordinatus - lit. " järjestetty, asetettu tiettyyn järjestykseen " [ 5] ). Koordinaattia kutsutaan pisteen abskissaksi , koordinaatiksi pisteen ordinaatiksi . $X'X$ $Y'Y$ $x$ $A$ $y$ $A$

Symbolisesti se on kirjoitettu näin:

A(x,\;y)

tai

A = (x,\;y)

tai osoita koordinaattien kuuluvuus tiettyyn pisteeseen indeksillä:

x_A, x_B

jne.

Oikeakätisessä koordinaatistossa akselien positiivinen suunta valitaan siten, että kun akseli on suunnattu ylöspäin, akseli näyttää oikealle. Yleensä on tapana käyttää oikeakätisiä koordinaattijärjestelmiä (ellei toisin mainita tai ilmene - esim. piirustuksen perusteella; joskus jostain syystä on kätevämpää silti käyttää vasenkätistä koordinaattijärjestelmää). $Y'Y$ $X'X$
Neljä kulmaa (I, II, III, IV), jotka muodostuvat koordinaattiakseleista ja joita kutsutaan koordinaattikulmiksi , neljännesiksi tai $X'X$ $Y'Y$
<taso> kvadrantit (katso kuva 1).
- Pisteet koordinaattikulman sisällä Minulla on positiiviset abskissat ja ordinaatit.
- Koordinaattikulman II sisäpuolella olevilla pisteillä on negatiiviset abskissat ja positiiviset ordinaatit.
- Koordinaattikulman III sisäpuolella olevilla pisteillä on negatiiviset abskissat ja ordinaatit
- Koordinaattikulman IV sisäpuolella olevilla pisteillä on positiiviset abskissat ja negatiiviset ordinaatit.

Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä avaruudessa

Suorakaiteen muotoinen avaruuskoordinaattijärjestelmä (tässä kappaleessa tarkoitetaan kolmiulotteista avaruutta; moniulotteisemmat tilat, katso alla) muodostuu kolmesta keskenään kohtisuorasta koordinaattiakselista , ja . Koordinaattiakselit leikkaavat pisteessä , jota kutsutaan koordinaattien origoksi, jokaiselle akselille valitaan nuolilla osoittama positiivinen suunta ja akseleiden segmenttien mittayksikkö. Yksiköt ovat yleensä (ei välttämättä [6] ) samat kaikille akseleille. - abskissa-akseli, - ordinaatta-akseli, - soveltamisakseli. $HÄRKÄ$ $OY$ $oz$ $O$ $HÄRKÄ$ $OY$ $oz$

Pisteen sijainti avaruudessa määräytyy kolmella koordinaatilla ja . Koordinaatti on yhtä suuri kuin janan pituus , koordinaatti on janan pituus , koordinaatti on janan pituus valituissa mittayksiköissä. Segmentit , ja määritetään tasoilla, jotka on vedetty tasojen kanssa samansuuntaisesta pisteestä ja vastaavasti. $A$ $x$ $y$ $z$ $x$ $OB$ $y$ $OC$ $z$ $OD$ $OB$ $OC$ $OD$ $A$ $YOZ$ $XOZ$ $XOY$

Koordinaattia kutsutaan pisteen abskissaksi ,

x

A

koordinaattipiste , _

y

A

koordinaatti - soveltaa ( lat. applicata - viereinen) [7] pistettä .

z

A

Symbolisesti se on kirjoitettu näin:

A(x,\;y,\;z)

tai

A = (x,\;y,\;z)

tai sitoa koordinaattitietue tiettyyn pisteeseen käyttämällä indeksiä:

x_A,\;y_A,\;z_A

jne.

Jokaista akselia pidetään numeroviivana , toisin sanoen sillä on positiivinen suunta ja negatiiviset koordinaattiarvot on osoitettu negatiivisella säteellä oleville pisteille (etäisyys otetaan miinusmerkillä). Eli jos esimerkiksi piste ei sijaitsisi kuten kuvassa - palkissa , vaan sen jatkuessa pisteen vastakkaiseen suuntaan (akselin negatiivisella puolella ), niin pisteen abskissa olisi negatiivinen (miinus etäisyys ). Samoin kahdelle muulle akselille. $B$ $HÄRKÄ$ $O$ $HÄRKÄ$ $x$ $A$ $OB$

Kaikki kolmiulotteisen avaruuden suorakaiteen muotoiset koordinaattijärjestelmät on jaettu kahteen luokkaan - oikea (käytetään myös termejä positiivinen , standardi ) ja vasen . Yleensä oletusarvoisesti ne yrittävät käyttää oikeakätisiä koordinaatistoja ja graafisesti esitettyinä ne sijoitetaan myös mahdollisuuksien mukaan johonkin useista tavallisista (perinteisistä) paikoista. (Kuva 2 esittää oikean koordinaattijärjestelmän). Oikeaa ja vasenta koordinaattijärjestelmää ei voida yhdistää rotaatioilla [8] siten, että vastaavat akselit (ja niiden suunnat) osuvat yhteen. Voit määrittää, mihin luokkaan tietty koordinaattijärjestelmä kuuluu oikean käden säännöllä, ruuvisäännöllä jne. (akselien positiivinen suunta valitaan siten, että kun akselia kierretään vastapäivään 90°, sen positiivinen suunta osuu yhteen akselin positiivinen suunta , jos tämä pyöriminen havaitaan akselin positiivisen suunnan puolelta ). $HÄRKÄ$ $OY$ $oz$

Mitä tahansa kahdeksasta alueesta, joihin avaruus on jaettu kolmella keskenään kohtisuoralla koordinaattitasolla, kutsutaan oktantiksi .

Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä moniulotteisessa avaruudessa

Suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää voidaan käyttää myös minkä tahansa äärellisen ulottuvuuden avaruudessa samalla tavalla kuin kolmiulotteisessa avaruudessa. Koordinaattiakselien lukumäärä on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin avaruuden mitta (tässä osiossa merkitään se nimellä ). $n$

Koordinaatteja ei yleensä merkitä [9] eri kirjaimilla, vaan samalla kirjaimella numeroindeksillä. Useimmiten se on:

x_1, x_2, x_3,\pisteet x_n.

Satunnaisen koordinaatin määrittämiseksi tästä joukosta käytetään kirjainindeksiä: $i$

x_{i},

ja usein merkintää käytetään myös ilmaisemaan koko joukko, mikä tarkoittaa, että indeksi kulkee koko arvojoukon läpi: . $x_{i},$ $i = 1, 2, 3, \pisteet n$

Missä tahansa tilan ulottuvuudessa suorakaiteen muotoiset koordinaattijärjestelmät jaetaan kahteen luokkaan, oikeaan ja vasempaan (tai positiiviseen ja negatiiviseen). Moniulotteisissa avaruudessa yhtä koordinaattijärjestelmistä kutsutaan mielivaltaisesti (ehdollisesti) oikeaksi ja loput oikeaksi tai vasemmaksi riippuen siitä, onko niillä sama suuntaus vai ei [10] .

Yleistys käsitteistä kaksiulotteinen kvadrantti ja kolmiulotteinen oktantti -ulotteiselle euklidiselle avaruudelle on ortantti tai hyperoktantti. $n$

Suorakaidevektorikoordinaatit

Vektorin suorakulmaisten koordinaattien määrittämiseksi (käytetään edustamaan minkä tahansa ulottuvuuden vektoreita) voidaan lähteä siitä tosiasiasta, että vektorin (suunnatun segmentin) koordinaatit, jonka alku on origossa, ovat samat kuin sen koordinaatit. loppu [11] .

Siten esimerkiksi kuvion 1 koordinaatit ovat vektorin koordinaatteja . $(x,y)$ $\vec{OA}$

Vektoreille (suunnatuille segmenteille), joiden origo ei ole sama kuin origon, suorakulmaiset koordinaatit voidaan määrittää kahdella tavalla:

Vektoria voidaan siirtää niin, että sen origo on sama kuin origo). Sitten sen koordinaatit määritetään kappaleen alussa kuvatulla tavalla: vektorin koordinaatit, joka on käännetty siten, että sen origo on sama kuin origon, ovat sen lopun koordinaatit.
Sen sijaan voit yksinkertaisesti vähentää vektorin lopun koordinaateista (suunnattu segmentti) sen alun koordinaatit.

Suorakaiteen muotoisille koordinaateille vektorin koordinaatin käsite on sama kuin vektorin ortogonaalinen projektio vastaavan koordinaattiakselin suuntaan.

Suorakaiteen muotoisissa koordinaateissa kaikki vektorien operaatiot kirjoitetaan hyvin yksinkertaisesti:

Yhteen- ja kertolasku skalaarilla:

\mathbf a + \mathbf b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \pisteet, a_n + b_n)

tai

(\mathbf a + \mathbf b)_i = a_i + b_i,

c\ \mathbf a = (c\ a_1, c\ a_2, c\ a_3, \dots, c\ a_n)

tai

(c\ \mathbf a)_i = c\ a_i.

ja siten vähennys ja jako skalaarilla:

\mathbf a - \mathbf b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3, \dots, a_n - b_n)

tai

(\mathbf a - \mathbf b)_i = a_i - b_i,

\frac{\mathbf a}{\lambda} = \Big(\frac{a_1}{\lambda}, \frac{a_2}{\lambda}, \frac{a_3}{\lambda}, \pisteet, \frac {a_n}{\lambda}\Big)

tai

\Big(\frac{\mathbf a}{\lambda}\Big)_i = \frac{a_i}{\lambda}.

(Tämä pätee mihin tahansa mittaan n ja parilliseen suorakulmaisten koordinaattien kanssa vinoihin koordinaatteihin).

Pistetuote :

\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \dots + a_n b_n

tai

\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i,

(Vain suorakulmaisissa koordinaateissa yksikkömittakaavassa kaikilla akseleilla).

Skalaaritulon avulla voit laskea vektorin pituuden

|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}

ja vektorien välinen kulma

\angle{(\mathbf a, \mathbf b)} = \mathrm{arccos}\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|}

Ulkopuoliset työt :

(\mathbf a \ja \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i

mihin tahansa tilan ulottuvuuteen,

Vektoritulo (vain samalle kolmiulotteiselle avaruudelle, jolle se on määritetty):

(\mathbf a \times \mathbf b)_x = a_y b_z - a_z b_y

(\mathbf a \times \mathbf b)_y = a_z b_x - a_x b_z

(\mathbf a \times \mathbf b)_z = a_x b_y - a_y b_x

Ilmeisesti tämä kaikki mahdollistaa tarvittaessa kaikkien vektorien operaatioiden pelkistämisen melko yksinkertaisiksi lukuoperaatioiksi.

Horts

Suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä [12] (mikä tahansa ulottuvuus) kuvataan myös [13] joukolla ortteja (yksikkövektoreita), jotka ovat samassa suunnassa koordinaattiakselien kanssa. Orttien lukumäärä on yhtä suuri kuin koordinaattijärjestelmän mitta, ja ne ovat kaikki kohtisuorassa toisiinsa nähden. Tällaiset ortit muodostavat lisäksi ortonormaalin perustan [14] .

Kolmiulotteisessa tapauksessa sellaiset vektorit yleensä merkitään

\mathbf{i}

, ja

\mathbf {j}

\mathbf {k}

tai

\mathbf{e}_x

, ja .

\mathbf{e}_y

\mathbf{e}_z

Voidaan käyttää myös nuolimerkintää ( , ja tai , ja ) tai muuta merkintää tavanomaisen vektorien merkintätavan mukaisesti jossakin kirjallisuudessa. $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ $\vec{e}_z$

Lisäksi, kun kyseessä on oikea koordinaattijärjestelmä, seuraavat kaavat vektorien vektorituloilla ovat voimassa:

$[\mathbf{i}\,,\mathbf{j}]=\mathbf{k};$
$[\mathbf{j}\,,\mathbf{k}]=\mathbf{i};$
$[\mathbf{k}\,,\mathbf{i}]=\mathbf{j}.$

Yli 3:a suuremmilla dimensioilla (tai yleisessä tapauksessa, kun mitta voi olla mikä tahansa) on yleistä, että yksikkövektorit käyttävät sen sijaan merkintää numeeristen indeksien kanssa, melko usein [ 15]

\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3,\dots \mathbf{e}_n,

missä n on tilan mitta.

Minkä tahansa ulottuvuuden vektori hajotetaan perusteen mukaan (koordinaatit toimivat laajennuskertoimina):

\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 + \pisteet + a_n\mathbf e_n

tai

\mathbf a = \sum\limits_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,

ja ortonormaalin perusteella koordinaatit on myös erittäin helppo löytää skalaaritulojen avulla, joissa on orts:

a_i = \mathbf a \cdot \mathbf e_i.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. Analyyttinen geometria . Encyclopædia Britannica . Haettu 6. elokuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 6. elokuuta 2017. (määrätön)
↑ Kent, Alexander J. The Routledge Handbook of Mapping and Cartography : [ eng. ] / Alexander J. Kent, Peter Vujakovic. — Routledge, 2017-10-04. — ISBN 9781317568216 . Arkistoitu 24. marraskuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Tour of the Calculus, David Berlinski
↑ Axler, Sheldon. Lineaarinen algebra tehty oikein - Springer. - 2015. - S. 1. - ISBN 978-3-319-11079-0 . - doi : 10.1007/978-3-319-11080-6 .
↑ 1 2 Vieraiden sanojen sanakirja. - M.: Venäjä. yaz., 1989. - 624 s. ISBN 5-200-00408-8
↑ Joskus on yksinkertaisesti mahdotonta, jos akseleille piirretään eri fyysisten ulottuvuuksien arvot; Tämä huomautus ei kuitenkaan geometrisestä näkökulmasta ole kovin merkittävä, koska silloin akselien mittakaavoja voidaan pitää ehdollisesti samanlaisina (esim. asteikot niin, että yksiköt ovat samat, kun ne kuvataan geometrisella tasolla).
↑ Vieraiden sanojen sanakirja. - M .: " Venäjän kieli ", 1989. - 624 s. ISBN 5-200-00408-8
↑ Voit muuttaa oikeanpuoleisen koordinaatiston vasemmaksi ja päinvastoin peilaamalla.
↑ Mutta ei välttämättä: merkintäkysymys määräytyy viime kädessä tietyn sovelluksen mukaan.
↑ Tämä voidaan selvittää sen perusteella, onko mahdollista tietyillä rotaatioilla (ja käännöksillä, jos koordinaattien origot eivät täsmää) yhdistää annettua koordinaattijärjestelmää sellaisen koordinaattijärjestelmän kanssa, jonka suunta on määritelmän mukaan oikeakätinen. Jos kyllä, tämä järjestelmä katsotaan oikeaksi, jos ei, niin vasemmaksi. Se on teknisesti vielä helpompaa saada selville muunnosmatriisin determinantin etumerkin kautta oikeasta kantasta annettuun.
↑ Suunnatun janan loppu on piste; pisteen suorakulmaisia koordinaatteja käsitellään yllä olevassa artikkelissa.
↑ Tässä kappaleessa tarkoitamme tavallista suorakulmaista koordinaattijärjestelmää, eli suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää, jolla on sama mittakaava kaikilla akseleilla; eri mittakaavaisten koordinaattijärjestelmien huomioon ottaminen eri akseleilla aiheuttaisi tässä aiheettomia muotoongelmia melko pienellä sisällön lisäyksellä.
↑ Tämä kuvaus vastaa ilmeisesti täysin tavallista koordinaattiakselien asetusta, sinun tarvitsee vain määrittää koordinaattien origo (jälkimmäinen on usein itsestään selvää).
↑ Jos hylkäät ehdon koordinaattiakselien yhtäläisestä mittakaavasta - vain ortogonaalinen kanta .
↑ Usein voidaan kuitenkin käyttää muita kirjaimia e - kirjaimen sijasta. Yleensä tämä on nimenomaisesti mainittu.

Linkit

V. I. Gervids. Suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän malli (flash). NRNU MEPhI (10.03.2011). Haettu: 3.5.2011. (määrätön)

Koordinaattijärjestelmät
Koordinaattien nimi	Abskissa Ordinate Applikointi
Koordinaattijärjestelmien tyypit	Suoraviivainen koordinaattijärjestelmä Kaareva koordinaattijärjestelmä
2D koordinaatit	Kaksikulmaiset koordinaatit Kaksikeskiset koordinaatit Hyperboliset koordinaatit Polaarikoordinaatit Bipolaariset koordinaatit Paraboliset koordinaatit Elliptiset koordinaatit Tetrasykliset koordinaatit Trilineaariset koordinaatit
3D-koordinaatit	Sylinterimäiset koordinaatit Pallomaiset koordinaatit Bisfääriset koordinaatit Toroidaaliset koordinaatit Lieriömäiset paraboliset koordinaatit Kaksisylinteriset koordinaatit Ellipsoidiset koordinaatit Kartiokoordinaatit Pentasfääriset koordinaatit Dipolaarinen koordinaattijärjestelmä
$n$ -ulotteiset koordinaatit	Suorakulmaiset koordinaatit Affine koordinaatit Projektiiviset koordinaatit Plückerin koordinaatit barysentriset koordinaatit
Fyysiset koordinaatit	Rindlerin koordinaatit Syntymäkoordinaatit Taivaallinen koordinaattijärjestelmä Maantieteelliset koordinaatit Ortodrominen pääkoordinaattijärjestelmä
Aiheeseen liittyvät määritelmät	Koordinaattimenetelmä Alkuperä Koordinaattiakseli Vektori Orth viitejärjestelmä Vertailuarvo Huonot kertoimet Metrinen tensori