Analyyttinen jatko

Analyyttinen jatko monimutkaisessa analyysissä on analyyttinen funktio , joka on yhteneväinen tietyn funktion kanssa sen alkuperäisessä toimialueessa C ja on määritelty alueella D , joka sisältää C :n, joka on funktion analyyttinen jatko. Analyyttinen jatko on aina ainutlaatuinen . $f$ $f$

Karl Weierstrass esitteli konseptin vuonna 1842 , ja hän kehitti myös vastaavan tekniikan tällaisten laajennusten rakentamiseen.

Holomorfisten funktioiden erikoistapaus on holomorfinen laajennus .

Määritelmä

Ainutlaatuisuus

Joka tapauksessa analyyttistä jatkoa ei ole olemassa, mutta se on aina ainutlaatuinen : mitkä tahansa kaksi samasta funktiosta laajennettua analyyttistä funktiota ovat aina samat. Holomorfisille funktioille (analyyttisten funktioiden erikoistapaus) ainutlaatuisuus voidaan johtaa seuraavasta tosiasiasta: jos funktio f on identtisesti yhtä suuri kuin nolla , niin mikä tahansa sen laajennus on nolla kaikkialla. Koska holomorfiset funktiot muodostavat lineaarisen avaruuden , tämä riittää holomorfisen laajennuksen ainutlaatuisuudelle.

Tapoja rakentaa

Elementary Methods

Kaikkein alkeellisimmille funktioille, kuten potenssifunktiolle ja eksponenttifunktiolle , analyyttinen jatkaminen on lähes yksinkertaista. Tämä johtuu siitä, että analyyttinen jatkaminen tällaisissa tapauksissa suoritetaan tietyntyyppisestä joukosta, joka on todellinen viiva - tässä joukossa ei ole monimutkaisia sisäpisteitä .

Monimutkaisemmissa tapauksissa käytetään keinotekoisempia menetelmiä. Tarkastellaan esimerkiksi joitain Taylor -sarjoja, jotka suppenevat ympyrässä , missä on tämän sarjan konvergenssisäde . Yhden vastaavan määritelmän mukaan saadaan siis ympyrän analyyttinen funktio . Mitä se tarkoittaa? Tämä ei tarkoita, että missään vaiheessa tuloksena olevan funktion ulkopuolella ei olisi enää analyyttistä, tämä ei ole tällä hetkellä tiedossa, se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että on olemassa piste , jossa sarja hajoaa tässä vaiheessa. Voit kuitenkin valita tietyn pisteen - koska tässä vaiheessa funktio on analyyttinen, se voidaan laajentaa sarjaksi, joka suppenee tietyssä ympyrässä . Jos relaatio täyttyy uudelle konvergenssisäteelle , silloin on jo pisteitä, jotka kuuluvat , mutta eivät , ja tästä seuraa uniikiteettilauseen perusteella, että funktio, joka on määritelty alun perin vain vuonna , laajenee jokin suurempi joukko, nimittäin . Jos tämä ei ole mahdollista, ympyrä on analyyttisen jatkon luonnollinen raja . $\Delta _{a}=\{z\colon |za|<\rho \}$ $\rho$ $\Delta _{a}$ $f(z)$ $\Delta _{a}$ $z_{0}\colon |z_{0}-a|=\rho$ $b\in \Delta _{a}$ $f(z)$ $\Delta _{b}=\{z\colon |zb|<\theta \}$ $\theta$ $\theta >\rho -|ab|$ $\Delta _{b}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}\cup \Delta _{b}$ $\partial \Delta _{a}$

Monille erikoisfunktioille analyyttinen jatkaminen suoritetaan käyttämällä jotakin funktionaalista yhtälöä. Otetaan jokin alue, jolla tämän yhtälön ratkaisu on ilmeisen analyyttinen, ja tulokset siirretään suuremmalle alueelle. Pohjimmiltaan tällä tavalla rakennetaan reaalianalyysin erikoisfunktioiden jatkoja - esimerkiksi gammafunktio ja Riemannin zetafunktio .

Analyyttinen jatko verkkotunnusten ketjussa

Analyyttisten jatkojen rakentamiseen ei-triviaalisissa tapauksissa käytetään analyyttisen elementin käsitettä .

Elementtejä ja kutsutaan toistensa analyyttisiksi jatkoksi alueketjun läpi, jos elementtejä on sarja ja seuraavat kolme ehtoa täyttyvät: $P=(G,f)$ $Q=(H,g)$ $\{\Delta \}_{1}^{n}$ $P_{k}=(G_{k},f_{k}),\,k=0,1,\pisteet ,n$

$P_{0}=P,\,P_{n}=Q$ ;
Ketjun mielivaltaisissa peräkkäisissä verkkotunnuksissa niiden leikkauspiste on ei-tyhjä ja on sen määrätty yhdistetty komponentti; $D_{k}\cap D_{{k+1}}$ $\Delta _{k}$
Elementti on analyyttinen jatko joukolle . $P_{{k+1}}$ $P_{k}$ $\Delta _{k}$

Alkiota voidaan pitää analyyttisenä elementtinä, joka koostuu konvergenssiympyrästä ja oikeasta analyyttisestä funktiosta, sarjan summasta. Tämän tyyppisillä elementeillä on oma nimensä - kanoniset elementit ja niitä merkitään , missä on sarjan lähentymisympyrä ja sen summa. Sen määrittävän sarjan konvergenssiympyrän keskustaa kutsutaan kanonisen elementin keskipisteeksi. $(K, f)$ $K$ $f$

Analyyttinen jatko polkua pitkin

Analyyttisen jatkon rakentamiseksi polulle "diskreetin" rakentamisen tekniikan kehittämiseen suhteessa domeenien ketjuun, on välttämätöntä tehdä siirtymä, joka on samanlainen kuin siirtyminen sekvenssistä funktioon.

Tarkastellaan kanonista elementtiä , joka on keskitetty pisteeseen ja jonkin jatkuvan Jordan-käyrän ( ) kanssa ominaisuuden kanssa . $P_{0}=(K_{0},f_{0})$ $z=z_{0}$ $\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\Gamma =\varphi([0;1])$ $z_{0}=\varphi(0)$

Oletetaan, että on olemassa kanonisten elementtien perhe, joilla on nollasta poikkeava konvergenssisäde, joka on elementin keskipiste, ja mielivaltaiselle on olemassa sellainen naapurusto (jotka ymmärretään todellisen linjan lähiöissä), joka täyttää ehdon ; sitten, jos jollekin elementti on välitön jatkoa elementille , niin elementin katsotaan siten olevan analyyttisesti jatkunut polkua pitkin . $\{P_{t}\}_{{t\in [0;1]}}$ $\varphi (t)$ $P_{t}$ $t_{0}\in [0;1]$ ${{\mathcal U}}_{{t_{0}}}\subset [0;1]$ $\varphi ({{\mathcal U}}_{{t_{0}}})\subset K_{{t_{0}}}$ $t\in {{\mathcal U}}_{{t_{0}}}$ $P_{t}$ $P_{{t_{0}}}}$ $P_0$ $\Gamma$

Alueperhe voidaan valita mielivaltaisesti, koska voidaan osoittaa, että analyyttisen jatkamisen tulos ei riipu alueperheen valinnasta.

Melko mielenkiintoisella ominaisuudella on myös funktio - konvergenssiympyrän säde . Perheelle, joka on mainittu polun jatkamisen määritelmässä, funktio on jatkuva todellisen analyysin merkityksessä . $R(t)\kaksoispiste [0;1]\to (0;+\infty )$ $K_{{t}}.$ $R(t)$ $[0;1]$

Oletetaan, että kanoninen elementti saadaan elementistä analyyttisesti jatkamalla jotakin polkua välialkuperheen läpi . Sitten, jos valitsemme jonkin kasvavan segmentin elementtien sekvenssin , jossa ympyrät ja leikkaavat, elementti on elementin analyyttinen jatko alueiden ketjun läpi . $K$ $P$ $\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\{P_{t}\}_{{t\in [0;1]}}$ $0,t_{1},t_{2},\pisteet ,t_{n},1$ $[0;1]$ $K_k$ $K_{{k+1}}$ $Q=P_{1}$ $P=P_{0}$ $K_{{t_{1}}},K_{{t_{2}}},\pisteet ,K_{{t_{n}}}$

Yksi mielenkiintoisimmista tuloksista on teoreema analyyttisen jatkuvuuden homotopian invarianssista ja sen seuraus, monodromialause .

Täysi analyyttinen toiminto

Kehitettyään analyyttisen jatkamisen laitteiston polkuja pitkin, on nyt mahdollista siirtyä alkuperäisestä analyyttisestä funktiosta analyyttisten ja kanonisten elementtien kautta yleisempään käsitteeseen - täydelliseen analyyttiseen funktioon . Tämä termi tarkoittaa kaikkien kanonisten elementtien joukkoa, jotka on saatu mistä tahansa alkuelementistä analyyttisen jatkon menetelmällä suhteessa kaikkiin mahdollisiin Jordanin käyriin, jotka mahdollistavat tällaisen laajennuksen ja ovat peräisin pisteestä - elementin keskustasta . $P$ $z_{0}$ $P$

Tällaisen hyvin abstraktin käsitteen sisäistä rakennetta selventää Poincarén-Volterran lause , jonka mukaan täydellisellä analyyttisellä funktiolla voi olla jokaisessa määritelmäalueensa kohdassa enintään laskettava joukko elementtejä, jotka on keskitetty tähän pisteeseen.

Täydellisen analyyttisen funktion käsitteen merkitys piilee siinä, että sen avulla voidaan tutkia yksittäisen pisteen käsitettä yleisemmästä näkökulmasta . Nimittäin täydellisen analyyttisen funktion singulaaripisteet ovat yksinkertaisesti sen määritelmäalueen rajapisteitä. Riippuen funktion käyttäytymisestä näiden pisteiden läheisyydessä, niiden luonne määräytyy.

Tarkastellaan jotakin yksittäistä pistettä täydelliselle analyyttiselle funktiolle ja jotkin sen puhkaisualueesta , joka kuuluu määritelmäalueeseen . Valitsemme suljetun Jordan-käyrän . Jos analyyttinen jatkumo käyrää pitkin johtaa samaan elementtiin, pistettä kutsutaan yksiarvoiseksi singulaaripisteeksi, ja se tulkitaan yksinkertaisesti eristetyksi singulaaripisteeksi ; jos analyyttisen jatkon tulos on jo toinen elementti, niin pistettä kutsutaan moniarvoisen merkin singulaaripisteeksi tai haarapisteeksi . $z_{0}$ $\mathbf {f}$ ${\piste {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\mathbf {f}$ $\Gamma \subset {\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\Gamma$

Hadamardin lause

Power-sarjoille

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

jonka lähes kaikki kertoimet ovat nollia siinä mielessä, että nollasta poikkeavien kertoimien numerosarja täyttää $k(i)$

\lim_{i\to\infty} \frac{k(i+1)}{k(i)} > 1 + \delta \,

jollekin kiinteälle δ > 0 ympyrä, jonka keskipiste on z 0 ja säde on yhtä suuri kuin konvergenssisäde, on luonnollinen raja - sellaisen sarjan määrittelemän funktion analyyttinen jatkuminen on mahdotonta ympyrän ulkopuolella.

Yleistykset ja niihin liittyvät käsitteet

Analyyttistä jatkoa voidaan harkita alueilla, ei vain kompleksitasossa, vaan myös Riemannin pinnoilla ja yleisemmin monimutkaisilla monistoisilla : D : n on oltava monimutkainen monisto ja C :n sen osajoukko. Jos C on domeeni D :ssä ja mille tahansa alueelle C′ : C ⊂ C′ ⊂ D' on olemassa funktio, joka on holomorfinen C :ssä, mutta jota ei voida laajentaa C′ : ksi , niin C :tä kutsutaan holomorfiseksi alueeksi . Kompleksisessa yksiulotteisessa tapauksessa jokainen alue on holomorfian alue, moniulotteisessa tapauksessa näin ei ole.

Voidaan myös harkita analyyttistä jatkoa joukoista C , jotka eivät ole alueita, esimerkiksi todelliselta riviltä . Tässä tapauksessa funktio f määritellään alun perin jossakin (funktiosta riippuvaisessa) avoimessa joukossa, joka sisältää C :n .

Katso myös

Kirjallisuus

Evgrafov M. A. Analyyttiset toiminnot. - 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Monimutkaisen muuttujan funktioteorian menetelmät. - 4. painos - M .: Nauka , 1972 .
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Monimutkaisen muuttujan funktioiden teoria. - M .: Nauka, 1967. - 304 s.
Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. - M .: Nauka , 1969 . — 577 s.