Ryhmän luonne

Merkki on monimutkainen kompleksiarvoinen funktio ryhmässä . Toisin sanoen, jos on ryhmä , niin merkki on homomorfismi kentästä kertovaan ryhmään (yleensä kompleksilukujen kenttä ). $G$ $G$

Joskus huomioidaan vain unitaarisia merkkejä - homomorfismeja multiplikatiiviseen kenttäryhmään, jonka kuva on yksikköympyrässä , tai kompleksilukujen tapauksessa homomorfismeja kohtaan . Kaikkia muita homomorfismeja kutsutaan tässä tapauksessa kvasihahmoiksi . $U(1)$ $k^{*}$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Topologisen ryhmän luonne määritellään jatkuvana homomorfismina kentän multiplikatiiviseen ryhmään. Vastaavasti algebrallisen ryhmän luonne on rationaalinen homomorfismi $k^{*}.$

Ryhmänäkymän luonne on läheinen määritelmä ryhmänäkymille , elementti näytetään sen näkymän jäljessä .

Ominaisuudet

Mielivaltaiselle ryhmälle merkkijoukko muodostaa Abelin ryhmän operaatiolla $G$ ${\mathrm {Ch}}(G)$ $\chi _{a}\cdot \chi _{b}=\chi _{{ab}}.$
- Tätä ryhmää kutsutaan hahmojen ryhmäksi .

Hahmot ovat lineaarisesti riippumattomia , eli jos ovat eri ryhmän G merkkejä , niin tasa-arvosta seuraa, että $\chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ $a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0$ $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0.$

U(1) -merkit

Merkkien tärkeä erikoistapaus ovat yhdistäminen kompleksilukujen ryhmään modulo one . Tällaisten merkkien muoto on , missä , ja niitä tutkitaan laajasti [1] [2] [3] [4] lukuteoriassa alkulukujakauman yhteydessä äärettömässä aritmeettisessa progressiossa . Tässä tapauksessa tutkittava ryhmä on jäännösrengas, jossa on summausoperaatio ja funktio on lineaarinen . Lisäksi funktion lineaarisen kertoimen eri arvojen joukko määrittää ryhmän kanssa isomorfisia merkkejä . ${\displaystyle \chi (a)=e^{2\pi \varphi (a)i))$ $\varphi :G\to {\mathbb {R} },\ \forall a,b\in (G,\circ ):\ \varphi (a)+\varphi (b)=\varphi (a\ ympyrä b)$ ${\mathbb {Z} }_{n}$ $\varphi$ $\varphi$ ${\mathbb {Z} }_{n}$

Esimerkki

Harkitse ${\mathbb {Z} }_{3}=\left\lbrace {[0],[1],[2]}\right\rbrace$

Sillä me määrittelemme $\lambda =0,1,2$

{\displaystyle \chi _{\lambda }(x)=e^{2\pi {\frac {\lambda x}{3}}i))

Joukko, jossa on pistekertolasku , muodostaa ryhmän merkkejä . Tämän ryhmän neutraali elementti on , koska . $\left\lhakasulku {\chi _{0},\chi _{1},\chi _{2}}\oikea\rhaulu$ $U(1)$ $\chi_0$ $\forall x\in {\mathbb {Z} }_{3}:\ \chi _{0}(x)=e^{2\pi {\frac {0\cdot x}{i)) }=e^{0}=1$

Klassinen esimerkki merkkien käytöstä modulo on Dirichlet'n alkulukulause aritmeettisessa progressiossa .

Äärettömälle isomorfisille syklisille ryhmille tulee olemaan ääretön joukko merkkejä muotoa , jossa . ${\mathbb {Z} }$ ${\chi _{\alpha }}(n)=e^{2\pi n\alpha i}$ $\alpha \in(0;1)$

Äärillisesti luotujen ryhmien merkit

Satunnaiselle äärellisesti generoidulle Abelin ryhmälle on myös mahdollista [5] kuvata eksplisiittisesti ja rakentavasti merkin joukkoa . Tätä varten käytetään lausetta tällaisen ryhmän hajoamisesta syklisten ryhmien suoraksi tuotteeksi . ${\näyttötyyli (G,\circ )}$ $U(1)$

Koska mikä tahansa syklinen järjestysryhmä on isomorfinen ryhmälle ja sen merkit kartoitetaan aina joukkoon , niin ryhmälle, jota edustaa syklisten ryhmien suora tulo , voimme parametroida merkin näiden syklisten ryhmien merkkien tuloksi: $h$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{h))$ $U(1)$ $\left\lbrace {e^{2\pi {\frac {k}{h}}i}:\ k=0,\dots ,h-1}\right\rbrace$ ${\displaystyle G=G_{1}\otimes \dots \otimes G_{s))$ $G_{i}=\left\lhakasulku {{g_{i}}^{k}\ :\ 0\leq k<n_{i}}\right\rbrace$

\chi _{k_{1},\dots ,k_{s}}(x)=e^{2\pi {\frac {k_{1}}{n_{1}}}}\cdot e ^{2\pi {\frac {k_{s}}{n_{s}}}}=e^{2\pi ({\frac {k_{1}}{n_{1}}}+\pisteet + {\frac {k_{s}}{n_{s}}})},0\leq k_{i}<n_{i}

Tämä mahdollistaa sen, että voimme suorittaa eksplisiittisen isomorfismin ryhmän itsensä ja sen hahmojen ryhmän välillä, joka on yhtä suuri elementtien lukumäärässä. $G$

{g_{1}}^{k_{1}}\circ \dots \circ {g_{s}}^{k_{s}}\mapsto \chi _{k_{1},\dots ,k_ {s}}

Äärillisten ryhmien merkkiominaisuudet

Sillä merkitsemme elementtiä vastaavalla merkillä yllä kuvatun kaavion mukaisesti. $g\in G$ $\chi _{g}:G\to U(1)$ $g$

Seuraavat identiteetit ovat voimassa [6] :

\sum \limits _{g\in G}{\chi (g)}=\left\lsulku {\begin{matrix}0,&\chi \not =\chi _{0}\\|G |,&\chi =\chi _{0}\end{matrix}}\right.

\sum \limits _{x\in G}{\chi _{g}(x)}=\left\lsulku {\begin{matrix}0,&x\not =0\\|G|,&x =0\loppu{matriisi}}\oikea.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Jos on assosiatiivinen algebra kentän päällä , niin merkki on nollasta poikkeava algebran homomorfismi osaksi . Jos lisäksi on tähtialgebra , $A$ $k$ $A$ $A$ $k$ $A$ [ selventää ] silloin merkki on tähtihomomorfismi kompleksiluvuiksi.

Katso myös

Pontryaginin kaksinaisuus

Muistiinpanot

↑ A. O. Gelfond, Yu. V. Linnik , Alkeismenetelmät analyyttisessä lukuteoriassa, M: Fizmatgiz, 1962, s. 61-66, 78-97
↑ K. Chandrasekharan , Johdatus analyyttiseen lukuteoriaan, M: Mir, 1974, s. 142-165
↑ G. Davenport , Kerrannaislukuteoria, M: Nauka, 1971, s. 44-64
↑ A. Karatsuba , Analyyttisen lukuteorian perusteet, M: Nauka, 1983, s. 114-157
↑ K. Chandrasekharan , Johdatus analyyttiseen lukuteoriaan, M: Mir, 1974, s. 145-147
↑ K. Chandrasekharan , Johdatus analyyttiseen lukuteoriaan, M: Mir, 1974, s. 147-159

Kirjallisuus

Kirillov A. A. Edustusteorian elementit. - 2. - M .: Nauka, 1978. - 343 s.
Naimark M. A. Ryhmien esitysteoria. - M. , 1978. - 560 s.

Hahmot lukuteoriassa ja ryhmäteoriassa
Neliölliset merkit	Legendren symboli Jacobin symboli Kronecker-symboli - Jacobi
Tehojäämien merkit	Kuutiojäännöksen luonne Bikvadraattisen jäännöksen luonne Tehojäämän symboli

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muuta ryhmää Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos