Harmoninen oskillaattori

Harmoninen oskillaattori ( klassisessa mekaniikassa ) - järjestelmä , joka, kun se poistetaan tasapainoasennostaan, kokee siirtymään x verrannollisen palautusvoiman F :

F=-kx

missä k on vakiokerroin.

Jos F on ainoa järjestelmään vaikuttava voima, järjestelmää kutsutaan yksinkertaiseksi tai konservatiiviseksi harmoniseksi oskillaattoriksi . Tällaisen järjestelmän vapaat värähtelyt edustavat jaksoittaista liikettä tasapainoasennon ympäri (harmoniset värähtelyt). Taajuus ja amplitudi ovat vakioita, eikä taajuus riipu amplitudista.

Jos on myös liikkeen nopeuteen ( viskoosi kitka ) verrannollinen kitkavoima ( vaimennus ) , niin tällaista järjestelmää kutsutaan vaimennetuksi tai dissipatiiviseksi oskillaattoriksi . Jos kitka ei ole liian suuri, järjestelmä suorittaa melkein jaksollisen liikkeen - sinivärähtelyt vakiotaajuudella ja eksponentiaalisesti pienenevällä amplitudilla. Vaimennetun oskillaattorin vapaiden värähtelyjen taajuus osoittautuu jonkin verran pienemmäksi kuin vastaavan oskillaattorin ilman kitkaa.

Jos oskillaattori jätetään itselleen, sen sanotaan suorittavan vapaita värähtelyjä . Jos on olemassa ulkoinen voima (ajasta riippuen), he sanovat, että oskillaattori kokee pakotettuja värähtelyjä .

Mekaanisia esimerkkejä harmonisesta oskillaattorista ovat matemaattinen heiluri (pienillä poikkeutuskulmilla), jousen paino , vääntöheiluri ja akustiset järjestelmät. Harmonisen oskillaattorin ei-mekaanisista analogeista voidaan erottaa sähköinen harmoninen oskillaattori (katso LC-piiri ).

Konservatiivisen harmonisen oskillaattorin vapaat värähtelyt

Yhtälö ja sen ratkaisut

Olkoon x aineellisen pisteen siirtymä sen tasapainoasemaan nähden ja F palauttava voima, joka vaikuttaa minkä tahansa muotoiseen pisteeseen

F=-kx

missä k = vakio. Sitten Newtonin toista lakia käyttäen voidaan kirjoittaa kiihtyvyys muodossa

a=-{\frac {k}{m}}x

Merkitsemällä ja korvaamalla a koordinaatin toisella derivaatalla ajan suhteen , meillä on ${\omega _{0}}^{2}=k/m$ ${\ddot x}$

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0

Tämä differentiaaliyhtälö kuvaa konservatiivisen harmonisen oskillaattorin käyttäytymistä. Suuruutta kutsutaan sykliseksi taajuudeksi . (Tämä viittaa ympyrätaajuuteen, joka mitataan radiaaneina sekunnissa. Jos haluat muuntaa sen hertseinä ilmaistuksi taajuudelle , se on jaettava luvulla .) $\omega_0$ $2\pi$

Etsimme ratkaisua tähän yhtälöön muodossa [1]

x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)

Tässä on amplitudi, on värähtelytaajuus, on alkuvaihe . $A$ $\omega$ $\varphi$

Korvaamme differentiaaliyhtälön ja saamme:

{\ddot {x}}(t)=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi )

-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi )+\omega _{0}^{2}A\sin(\omega t+\varphi )=0

Amplitudi pienenee. Tämä tarkoittaa, että sillä voi olla mikä tahansa arvo (mukaan lukien nolla - tämä tarkoittaa, että aineellinen piste on levossa tasapainoasennossa). Sini voidaan myös pienentää, koska yhtälön on oltava voimassa milloin tahansa t . Siten värähtelytaajuuden ehto säilyy:

-\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}=0,

\omega =\pm \omega _{0}.

Negatiivinen taajuus voidaan hylätä, koska mielivaltaisuus merkin valinnassa tässä peittyy mielivaltaisuudessa alkuvaiheen valinnassa.

Yhtälön yleinen ratkaisu kirjoitetaan seuraavasti:

x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right),

missä ja ovat mielivaltaisia vakioita. Tämä merkintä tyhjentää kaikki differentiaaliyhtälön ratkaisut, koska sen avulla voidaan täyttää kaikki alkuehdot. $A$ $\varphi$

Tämän seurauksena konservatiivinen harmoninen oskillaattori voi suorittaa puhtaasti harmonisia värähtelyjä taajuudella, joka on yhtä suuri kuin sen oma taajuus , minkä tahansa suuruuden amplitudilla ja mielivaltaisella alkuvaiheella.

Yksinkertainen harmoninen liike

Konservatiivisen harmonisen oskillaattorin tekemää liikettä kutsutaan yksinkertaiseksi harmoniseksi liikkeeksi . Tämä liike ei ole pakotettu eikä vaimennettu .

Se on jaksollista: keho värähtelee taajuudella ω 0 sinimuotoisen lain mukaan tasapainoasennon ympärillä . Jokainen seuraava värähtely on sama kuin edellinen; jakso , värähtelyjen taajuus ja amplitudi pysyvät vakiona.

Ottaen huomioon sen , saamme $\omega_0 = 2\pi f_0$

{\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m))))

ja koska , missä on värähtelyjakso, $T_{0}=1/f_{0}$ $T_{0}$

{\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k))))

Nämä kaavat osoittavat, että jakso ja taajuus eivät riipu liikkeen amplitudista ja alkuvaiheesta.

Liikkeen taajuuden määräävät järjestelmän tunnusomaiset ominaisuudet (esimerkiksi liikkuvan kappaleen massa ), kun taas amplitudin ja alkuvaiheen määräävät alkuolosuhteet - kehon koordinaatti ja nopeus värähtelyjen hetkellä alkaa. Näistä ominaisuuksista ja olosuhteista riippuvat myös järjestelmän kineettiset ja potentiaaliset energiat.

Differentiaalilaskennan menetelmillä saadaan materiaalipisteen nopeus ja kiihtyvyys ajan funktiona:

v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t))=A\omega _{0}\cos(\omega _{0}t+\varphi )

a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2))}=-A\omega _{0}^{2}\ sin(\omega _{0}t+\varphi )

Kineettinen energia on kirjoitettu muodossa

K={\frac {1}{2}}mv^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{ 0}t+\varphi )

ja potentiaalinen energia on

U={\frac {1}{2}}kx^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{ 0}t+\varphi )

Sitten käy ilmi, että kokonaisenergia

E={\frac {1}{2}}kA^{2}

on pysyvä arvo. Tämä kuvastaa oskillaattorin "konservatiivisuutta", toisin sanoen energiahäviöiden puuttumista.

Yksinkertaista harmonista liikettä voidaan pitää matemaattisena mallina erityyppisistä liikkeistä, kuten jousen värähtelystä . Muita tapauksia, joita voidaan karkeasti pitää yksinkertaisena harmonisena liikkeenä, ovat heilurin liike ja molekyylien värähtelyt .

Yksinkertainen harmoninen liike on perusta joillekin tavoille analysoida monimutkaisempia liiketyyppejä. Yksi näistä menetelmistä perustuu Fourier-muunnokseen , jonka ydin on hajottaa monimutkaisempi liiketyyppi yksinkertaisiksi harmonisiksi liikkeiksi.

Esimerkkejä oskillaattorista

Kaikilla järjestelmillä, joissa tapahtuu yksinkertaista harmonista liikettä, on kaksi keskeistä ominaisuutta:

kun järjestelmä on poissa tasapainosta, täytyy olla palautusvoima, joka pyrkii saattamaan järjestelmän takaisin tasapainoon;
palautusvoiman on oltava täsmälleen tai suunnilleen verrannollinen siirtymään.

Alla on esimerkkejä.

Vaakasuora kuorma-jousijärjestelmä

Tyypillinen esimerkki järjestelmästä, jossa tapahtuu yksinkertaista harmonista liikettä, on idealisoitu massa-jousijärjestelmä, jossa massa kiinnitetään jouseen ja asetetaan vaakasuoralle pinnalle. Jos jousi ei ole puristettu eikä venytetty, kuormaan ei vaikuta muuttuvia voimia ja se on mekaanisessa tasapainotilassa. Kuitenkin, jos kuorma poistetaan tasapainoasennosta, jousi vääntyy ja sen sivulta vaikuttaa voima, joka pyrkii palauttamaan kuorman tasapainoasentoon. Kuorma-jousijärjestelmän tapauksessa tällainen voima on jousen elastinen voima, joka noudattaa Hooken lakia :

F=-kx

missä k :llä on hyvin erityinen merkitys - tämä on jousen jäykkyyskerroin .

Kerran siirrettyyn kuormaan kohdistuu palautusvoima, joka kiihdyttää sitä ja pyrkii palauttamaan sen alkupisteeseen eli tasapainoasentoon. Kun kuorma lähestyy tasapainoasentoa, palautusvoima pienenee ja pyrkii nollaan. Kuitenkin asennossa x = 0 kuormalla on tietty määrä liikettä ( liikemäärä ), joka saadaan palautuvan voiman vaikutuksesta. Siksi kuorma ohittaa tasapainoasennon ja alkaa muuttaa jousta uudelleen (mutta vastakkaiseen suuntaan). Palautusvoimalla on taipumus hidastaa sitä, kunnes nopeus on nolla; ja voima pyrkii jälleen palauttamaan kuorman tasapainoasentoonsa.

Jos energiahäviötä ei tapahdu, kuorma värähtelee edellä kuvatulla tavalla; tämä liike on säännöllistä.

Pystysuuntainen kuorma-jousijärjestelmä

Jouseen pystysuoraan ripustetun kuorman tapauksessa painovoima vaikuttaa kimmovoiman kanssa, eli kokonaisvoima on

F=-kx-mg

Jos teemme muuttujan muutoksen operoidaksemme ei arvon , vaan arvon kanssa , liikeyhtälö saa muodoltaan identtisen vaakageometrian tapauksessa, vain muuttujalle . $x$ $X=x+mg/k$ $X$

Värähtelyjä tapahtuu samalla taajuudella . Kuitenkin, jos vaakasuuntaisessa tapauksessa muotoutumattoman jousen tila vastasi tasapainoa, niin pystyversiossa tasapainossa oleva jousi venytetään. Tässä tapauksessa taajuudella ei ole riippuvuutta vapaan pudotuksen kiihtyvyyden suuruudesta ; vaikuttaa vain tasapainoasennon siirtymiseen . $\omega _{0}={\sqrt {k/m))$ $g$ $g$ $mg/k$

Jousen kuorman heilahtelujen taajuuden (tai jakson) mittauksia käytetään kappaleen massan määrityslaitteissa - ns. massamittareissa , joita käytetään avaruusasemilla, kun vaaka ei voi toimia painottomuuden vuoksi.

Universaali pyöreä liike

Yksinkertaista harmonista liikettä voidaan joissain tapauksissa pitää yleisen ympyräliikkeen yksiulotteisena projektiona .

Jos esine liikkuu vakiokulmanopeudella ω pitkin ympyrää, jonka säde on x - y -tason origo , niin tällainen liike kutakin koordinaattiakselia pitkin on yksinkertaista harmonista amplitudilla r ja ympyrätaajuudella ω .

Paino kuin yksinkertainen heiluri

Pienten kulmien approksimaatiossa yksinkertaisen heilurin liike on lähellä yksinkertaista harmonista. Tällaisen heilurin värähtelyjakso, joka on kiinnitetty sauvaan, jonka pituus on ℓ , saadaan kaavalla

{\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g))))

missä g on vapaan pudotuksen kiihtyvyys. Tämä osoittaa, että värähtelyjakso ei riipu heilurin amplitudista ja massasta, vaan riippuu g :stä, joten samalla heilurin pituudella se heiluu Kuussa hitaammin, koska painovoima on siellä heikompaa ja vapaan pudotuksen kiihtyvyyden arvo on pienempi.

Määritetty approksimaatio on oikea vain pienillä poikkeutuskulmilla, koska kulmakiihtyvyyden lauseke on verrannollinen koordinaatin siniin :

-\ell mg\sin \theta =I{\ddot {\theta ))

missä I on hitausmomentti ; tässä tapauksessa I = m ℓ 2 . Pienet kulmat toteutuvat olosuhteissa, joissa värähtelyamplitudi on paljon pienempi kuin tangon pituus. Miinuksen läsnäolo heijastaa sitä tosiasiaa, että voima pyrkii tuomaan kehon lähemmäs tasapainoasemaa.

Kun kulma θ on pieni, voidaan olettaa, että sin θ ≈ θ , ja lausekkeesta tulee:

-\ell mg\theta =I{\ddot {\theta ))

mikä tekee kulmakiihtyvyydestä suoraan verrannollisen kulmaan θ , ja tämä täyttää yksinkertaisen harmonisen liikkeen määritelmän.

Vaimennetun harmonisen oskillaattorin vapaat värähtelyt

Yhtälö ja sen ratkaisut

Vaimennettua oskillaattoria harkittaessa lähtökohtana on konservatiivisen oskillaattorin malli, johon lisätään viskoosi kitkavoima. Viskoosin kitkan voima kohdistuu kuorman nopeutta vastaan väliaineeseen nähden ja on suoraan verrannollinen tähän nopeuteen. Sitten kuormaan vaikuttava kokonaisvoima kirjoitetaan seuraavasti:

F=-kx-\alpha v.

Newtonin toista lakia käyttämällä saamme differentiaaliyhtälön, joka kuvaa vaimennettua oskillaattoria:

{\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.

Tässä merkinnät:

$2\gamma =\alpha /m$ . Kerrointa kutsutaan vaimennusvakioksi. Sillä on taajuuden ulottuvuus. $\gamma$
$\omega _{0}={\sqrt {k \over m))$ . Suuruutta kutsutaan järjestelmän ominaistaajuudeksi. Sillä on myös taajuuden ulottuvuus. $\omega_0$

Ratkaisu jakautuu kolmeen tapaukseen.

Pienellä kitkalla ( ) yleinen ratkaisu kirjoitetaan seuraavasti: $\gamma <\omega _{0}$

x(t)=Ae^{-\gamma t}\sin(\omega _{f}t+\varphi ),

missä on vapaiden värähtelyjen taajuus. $\omega _{f}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))}$

Vaimennusta kutsutaan kriittiseksi . Tästä vaimennusindeksin arvosta alkaen oskillaattori suorittaa ns. ei-värähtelevän liikkeen. Rajatapauksessa liike tapahtuu lain mukaan: $\gamma =\omega _{0}$

\ x(t)=(A+Bt)e^{-\gamma t}.

Voimakkaalla kitkalla ratkaisu näyttää tältä: $\gamma >\omega _{0}$

x(t)=Ae^{-\beta _{1}t}+Be^{-\beta _{2}t},

missä $\beta _{1,2}=\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2))}.$

Liike häipymisen yhteydessä

Vaimennetun oskillaattorin liikkeen luonne riippuu vaimennusvakiosta . Osoitetun vakion lisäksi oskillaattorin vaimennukselle on usein tunnusomaista myös dimensioton parametri, jota kutsutaan laatutekijäksi . Laatutekijä merkitään yleensä kirjaimella . Määritelmän mukaan laatutekijä on: $\gamma$ $K$

Q={\frac {\omega _{0}}{2\gamma }}.

Mitä korkeampi laatutekijä, sitä hitaammin oskillaattorin vaimeneminen heilahtelee.

Kriittinen vaimennus on huomionarvoista siinä mielessä, että juuri sellaisella vaimennuksella oskillaattori löytää itsensä nopeimmin tasapainoasennosta. Jos kitka on pienempi kuin kriittinen, se saavuttaa tasapainoaseman nopeammin, mutta "liukua" sen läpi hitaudesta ja värähtelee. Jos kitka on suurempi kuin kriittinen, oskillaattori pyrkii eksponentiaalisesti tasapainoasentoon, mutta mitä hitaampi, sitä suurempi kitka. $\gamma =\omega _{0}$

Siksi osoitinindikaattoreissa (esimerkiksi ampeerimetreissä) ne yleensä yrittävät ottaa käyttöön tarkan kriittisen vaimennuksen, jotta nuoli rauhoittuu mahdollisimman nopeasti lukemaansa lukemiaan.

Oskillaattorin, jossa on kriittinen vaimennus, laatukerroin on 0,5. Vastaavasti laatutekijä ilmaisee oskillaattorin käyttäytymisen luonteen. Jos laatutekijä on suurempi kuin 0,5, oskillaattorin vapaa liike on värähtelyä; teoriassa ajan myötä se ylittää tasapainoasennon rajoittamattoman määrän kertoja. Laatukerroin, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 0,5, vastaa oskillaattorin ei-värähtelevää liikettä; vapaassa liikkeessä se ylittää tasapainoasennon enintään kerran.

Laatutekijää kutsutaan joskus oskillaattorin vahvistukseksi, koska joillakin herätemenetelmillä, kun herätetaajuus osuu värähtelyjen resonanssitaajuuteen , niiden amplitudi asetetaan noin kertaa suuremmaksi kuin viritettynä samalla intensiteetillä alhaisella taajuudella. $K$

Myös laatutekijä on suunnilleen yhtä suuri kuin värähtelyjaksojen lukumäärä, joiden värähtelyjen amplitudi pienenee kertoimella . $e$ $\pi$

Värähtelevän liikkeen tapauksessa vaimennukselle on tunnusomaista myös seuraavat parametrit:

Värähtelyjen elinikä (se on myös vaimenemisaika , se on myös rentoutumisaika ) τ on aika, jonka aikana värähtelyjen amplitudi pienenee e kertaa.

\tau=1/\gamma .

Tätä aikaa pidetään värähtelyjen vaimentamiseen (lopettamiseen) tarvittavana ajana (vaikka muodollisesti vapaat värähtelyt jatkuvat loputtomiin).

Logaritmisen vaimennuksen vähennys . Se määritellään kahden peräkkäisen maksimipoikkeaman suhteen logaritmina yhteen suuntaan: d : n käänteisluku on vaimennusajan τ aikana kulkevien värähtelyjen lukumäärä . $d=\operaattorin nimi {ln}(x_{{{\text{max}}\;n}}/x_{{{\text{max}}\;n+1}}).$

Huomautus harmonisen oskillaattorin pakotetuista värähtelyistä

Oskillaattorin värähtelyjä kutsutaan pakotetuiksi, kun siihen kohdistuu ulkopuolinen lisävaikutus. Tämä vaikutus voidaan tuottaa eri tavoin ja erilaisten lakien mukaan. Esimerkiksi voimaherätys on tietyn lain mukaan vain ajasta riippuvan voiman vaikutus kuormaan. Kinemaattinen heräte on vaikutusta oskillaattoriin jousen kiinnityspisteen liikkeellä tietyn lain mukaisesti. Kitkan vaikutus on myös mahdollinen, kun esimerkiksi väliaine, jolla kuorma kokee kitkaa, liikkuu tietyn lain mukaan.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Yllä olevan differentiaaliyhtälön ratkaisu voidaan kirjoittaa sinifunktiolla: $x(t)=A\sin(\omega t+\varphi )$ , ja kosinin kautta: $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi )$ . Molemmat vaihtoehdot ovat oikein, koska yleinen yhtälö cos θ = sin(π/2 - θ) tunnetaan . Trigonometristen suhteiden avulla voidaan kirjoittaa $A\cos(\omega t+\varphi )=A\cos(\varphi )\cos(\omega t)-A\sin(\varphi )\sin(\omega t),$ ja näin $a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ on myös oikea ratkaisu oikein valituille vakioille a ja b .

Kirjallisuus

Butikov EI Lineaarioskillaattorin luonnolliset värähtelyt. Opetusohjelma